黄文超

曲阜师范大学数学科学学院，山东 曲阜

收稿日期：2020年7月31日；录用日期：2020年8月18日；发布日期：2020年8月26日

本文总结归纳了常见的被积函数是三角函数的定积分的计算技巧，主要研究了形如

∫ 0 π c o s m x s i n n x d x (其中 m , n 为正整数) (1)

的一类定积分，得到了相应的一个计算公式，并举例说明了公式的实用性和便捷性。

关键词 :三角函数，定积分

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积分学是数学分析的核心内容，含三角函数的定积分又是极为常见的一类积分。目前，对三角函数的定积分问题，已有一些研究成果 [1] - [7]。本文针对平时学习中比较常见的含三角函数的定积分进行研究，主要研究形如

∫ 0 π cos m x sin n x d x (其中 m , n 为正整数)(1)

的一类含三角函数的积分，如果用分部积分等方法计算(1)，当m或n很大时，计算比较复杂，因此寻找简化积分运算的方法十分必要。

在数学分析中，定积分(1)在理论和应用中都十分重要，而且经常遇见，怎样计算这个积分比较简便， [1] 已经给出了一个计算公式，但本文将通过不同的方法来研究(1)，并把积分技巧进行归纳总结，得到了一些方便计算的定理和推论以及不同于 [1] 的计算公式，此方法可以节省计算时间，同时保证准确率，以减少在对三角函数积分时所遇到的困难。

定理1 ∫ 0 π 2 f ( sin x , cos x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x , sin x ) d x 。

证明 ∫ 0 π 2 f ( sin x , cos x ) d x = x = π 2 − t ∫ π 2 0 f ( sin ( π 2 − t ) , cos ( π 2 − t ) ) d ( π 2 − t )

= ∫ 0 π 2 f ( cos t ， sin t ) d t = ∫ 0 π 2 f ( cos x , sin x ) d x 。

证毕。

例1 求 ∫ 0 π 2 cos x cos x + sin x d x 。

解 ∫ 0 π 2 cos x cos x + sin x d x = ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 cos x + sin x cos x + sin x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 1 d x = π 4 。

定理2 [8] 设 J ( m , n ) = ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x ，其中 m , n 为正整数，则

J ( m , n ) = m − 1 m + n J ( m − 2 , n ) = n − 1 m + n J ( m , n − 2 ) ,     m , n = 2 , 3 , ⋯ .

证明 设 I ( m , n ) = ∫ cos m x sin n x d x ，则当 m + n ≠ 0 时，有

I ( m , n ) = 1 n + 1 ∫ cos m − 1 x d ( sin n + 1 x ) = 1 n + 1 [ cos m − 1 x sin n + 1 x + ( m − 1 ) ∫ cos m − 2 x sin n + 2 x d x ] = 1 n + 1 [ cos m − 1 x sin n + 1 x + ( m − 1 ) ∫ cos m − 2 x ( 1 − cos 2 x ) sin n x d x ] = 1 n + 1 [ cos m − 1 x sin n + 1 x + ( m − 1 ) ∫ ( cos m − 2 x sin n x − cos m x sin n x ) d x ] = 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 I ( m − 2 , n ) − m − 1 n + 1 I ( m , n ) ,

因此

I ( m , n ) = n + 1 m + n [ 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 I ( m − 2 , n ) ] = 1 m + n cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 m + n I ( m − 2 , n ) ,     m , n = 2 , 3 , ⋯ .

又

I ( m , n ) = − ∫ cos m x sin n − 1 x d cos x = − 1 m + 1 ∫ sin n − 1 x d cos m + 1 x = − 1 m + 1 cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + 1 ∫ cos m + 2 x sin n − 2 x d x = − 1 m + 1 cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + 1 ∫ cos m x sin n − 2 x ( 1 − sin 2 x ) d x = − 1 m + 1 cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + 1 I ( m , n − 2 ) − n − 1 m + 1 I ( m , n ) ,

因此

I ( m , n ) = − 1 m + n cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + n I ( m , n − 2 ) ,     m , n = 2 , 3 , ⋯ .

所以

I ( m , n ) = 1 m + n cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 m + n I ( m − 2 , n ) = − 1 m + n cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + n I ( m , n − 2 ) ,     m , n = 2 , 3 , ⋯ ,

因此

J ( m , n ) = ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x = − 1 m + n cos m + 1 x sin n − 1 x | 0 π 2 + n − 1 m + n J ( m , n − 2 ) = n − 1 m + n J ( m , n − 2 )

且

J ( m , n ) = 1 m + n cos m − 1 x sin n + 1 x | 0 π 2 + m − 1 m + n J ( m − 2 , n ) = m − 1 m + n J ( m − 2 , n ) ,

综上，

J ( m , n ) = n − 1 m + n J ( m , n − 2 ) = m − 1 m + n J ( m − 2 , n ) ,     m , n = 2 , 3 , ⋯ .

证毕。

例2 计算 ∫ 0 π 2 cos 4 x sin 3 x d x 。

解 ∫ 0 π 2 cos 4 x sin 3 x d x = J ( 4 , 3 ) = 2 4 + 3 J ( 4 , 1 ) = 2 7 3 4 + 1 J ( 2 , 1 )

= 2 7 3 5 1 2 + 1 J ( 0 , 1 ) = 2 7 3 5 1 3 ∫ 0 π 2 sin x d x = 2 35 。

推论2 J ( m , n ) = ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x = { ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! ,     m , n     不 全 为 偶 数 ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π 2 ,     m , n     全 为 偶 数 。

证明 1) 当 m , n 不全为偶数时， m , n 或者全为奇数，或者一奇一偶。

当 m , n 全为奇数时，

J ( m , n ) = n − 1 m + n J ( m , n − 2 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 J ( m , n − 4 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 J ( m , 1 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 m − 1 m + 1 J ( m − 2 , 1 )

= n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 m − 1 m + 1 ⋯ 2 3 + 1 J ( 1 , 1 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 m − 1 m + 1 ⋯ 2 3 + 1 1 2 = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! .

当 m , n 一奇一偶时，不妨设m为奇数，n为偶数，则

J ( m , n ) = n − 1 m + n J ( m , n − 2 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 J ( m , n − 4 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 J ( m , 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m J ( m − 2 , 0 )

= n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 2 3 J ( 1 , 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 2 3 = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! .

因此，当 m , n 不全为偶数时， J ( m , n ) = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! 。

2) 当 m , n 全为偶数时，

J ( m , n ) = n − 1 m + n J ( m , n − 2 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 J ( m , n − 4 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 J ( m , 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m J ( m − 2 , 0 )

= n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 1 2 J ( 0 , 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 1 2 π 2 = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π 2 .

因此，当 m , n 全为偶数时， J ( m , n ) = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π 2 。

证毕。

定理3 [2] 设函数 f ( x ) 在对称区间 [ − a , a ] ( a > 0 ) 上连续，则

∫ − a a f ( x ) d x = { 2 ∫ 0 a f ( x ) d x , 当   f ( x ) 为 偶 函 数 时 ; 0 ,     当   f ( x ) 为 奇 函 数 时 ; ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x , 当   f ( x ) 为 一 般 函 数 时 .

推论3 1) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称，则对于任意的 a > 0 ， ∫ x 0 − a x 0 + a f ( x ) d x = 0 ；

2) 若 f ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则对于任意的 a > 0 ， ∫ x 0 − a x 0 + a f ( x ) d x = 2 ∫ x 0 x 0 + a f ( x ) d x 。

定理4 [8] 1) 两个奇函数之积为偶函数；

2) 奇函数与偶函数之积为奇函数；

3) 两个偶函数之积为偶函数。

推论4 1) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称， g ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称，则 f ( x ) g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称；

2) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称， g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则 f ( x ) g ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称；

3) 若 f ( x ) 关于 x = x 0 轴对称， g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则 f ( x ) g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称。

定理5 [8] 1) 若函数 f ( x ) 在区间 [ − a , a ] ( a > 0 ) 上是奇函数，则 f 2 k ( x ) 是偶函数， f 2 k + 1 ( x ) 是奇函数， k = 0 , 1 , ⋯ ；

2) 若函数 f ( x ) 在区间 [ − a , a ] ( a > 0 ) 上是偶函数，则 f k ( x ) 都是偶函数， k = 0 , 1 , ⋯ 。

推论5 1) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称，则 f 2 k ( x ) 关于 x = x 0 轴对称， f 2 k + 1 ( x ) 关于 ( x 0 , 0 ) 中心对称， k = 0 , 1 , ⋯ ；

2) 若 f ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则 f k ( x ) 关于 x = x 0 轴对称， k = 0 , 1 , ⋯ 。

定理6

∫ 0 π cos m x sin n x d x = { 0 , m     为 奇 数 2 ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x , m     为 偶 数 = { 0 , m     为 奇 数 2 ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! , m     为 偶 数 ,   n     为 奇 数 ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π , m , n     均 为 偶 数 ，其中 m , n 为正整数。

证明 因为 sin x 在 [ 0 , π ] 上关于 x = π 2 轴对称，由推论5， sin n x 在 [ 0 , π ] 上关于 x = π 2 轴对称。

因为 cos x 在 [ 0 , π ] 上关于 ( π 2 , 0 ) 中心对称，则当m为奇数时，由推论5， cos m x 在 [ 0 , π ] 上关于 ( π 2 , 0 ) 中心对称。由推论4， cos m x sin n x 在 [ 0 , π ] 上关于 ( π 2 , 0 ) 中心对称。因此，由推论3， ∫ 0 π cos m x sin n x d x = 0 。

当m为偶数时，由推论5， cos m x 在 [ 0 , π ] 上关于 x = π 2 轴对称。由推论4， cos m x sin n x 在 [ 0 , π ] 上关于 x = π 2 轴对称。因此，由推论3， ∫ 0 π cos m x sin n x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x 。再由推论2，定理得证。

例3 计算 ∫ 0 π cos 99 x sin 3 x d x 。

解 因为 m = 99 , n = 3 ，所以m为奇数，由定理6， ∫ 0 π cos 99 x sin 3 x d x = 0 。

例4 计算 ∫ 0 π cos 10 x sin 5 x d x 。

解 因为 m = 10 , n = 5 ，所以m为偶数，n为奇数，由定理6，

∫ 0 π cos 10 x sin 5 x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos 10 x sin 5 x d x = 2 J ( 10 , 5 ) = 2 9 ! ! 4 ! ! 15 ! ! = 16 2145 .

例5 计算 ∫ 0 π cos 8 x sin 4 x d x 。

解 因为 m = 8 , n = 4 ，所以 m , n 均为偶数，由定理6，

∫ 0 π cos 8 x sin 4 x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos 8 x sin 4 x d x = 2 J ( 8 , 4 ) = 2 7 ! ! 3 ! ! 12 ! ! π 2 = 7 ! ! 3 ! ! 12 ! ! π = 7 π 2 10 .

上述几个例题如果用其他方法来做，可能计算比较困难，且容易出错，但是将上面的定理和推论应用到例题后，计算变得比较快捷，且不易出错。

通过上面的讨论，得到了形如

∫ 0 π cos m x sin n x d x (其中 m , n 为正整数) (1)

的一类含三角函数的定积分计算公式，即定理6，并举例说明了计算公式的实用性和便捷性。在学习中，如果遇到这类含三角函数的定积分，只需根据 m , n 的值，直接代入相应的计算公式即可得到结果。

三角函数的定积分在数学分析教材中还有很多类型，本文只是针对积分(1)进行了归纳总结。适当对不同类型的定积分进行总结，有利于掌握好定积分的计算方法与技巧，同时可以提高自身的学习效率，节省计算时间。

黄文超. 关于三角函数定积分的积分方法On the Integral Method of Definite Integral of Trigonometric Functions[J]. 理论数学, 2020, 10(08): 784-790. https://doi.org/10.12677/PM.2020.108091