本文主要研究了紧致光滑流形上的向量丛E值p形式的Weitzenböck公式、复流形上的 ∂-Laplace算子的Weitzenböck恒等式及其应用。先证明Gårding不等式,然后证明了整体理论的Hodge定理。 This paper mainly investigates the Weitzenböck formula for vector bundle E-valued on compact smooth manifolds and Weitzenböck identity of ∂-Laplace operator and its applications on complex manifolds. After proving Gårding inequality, we prove the Hodge theorem with global theory.
本文主要研究了紧致光滑流形上的向量丛E值p形式的Weitzenböck公式、复流形上的 ∂ ¯ -Laplace算子的Weitzenböck恒等式及其应用。先证明Gårding不等式,然后证明了整体理论的Hodge定理。
Weitzenböck公式,Bochner公式,Gårding不等式,Hodge定理
Qing Huang, Qiuhua Yang, Weijun Lu
College of Mathematics and Physics, Guangxi University for Nationalities, Nanning Guangxi
Received: Aug. 16th, 2020; accepted: Sep. 2nd, 2020; published: Sep. 9th, 2020
This paper mainly investigates the Weitzenböck formula for vector bundle E-valued on compact smooth manifolds and Weitzenböck identity of ∂ ¯ -Laplace operator and its applications on complex manifolds. After proving Gårding inequality, we prove the Hodge theorem with global theory.
Keywords:Weitzenböck Formula, Bochner Formula, Gårding Inequality, Hodge Theorem
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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Weitzenböck公式在研究黎曼流形上曲率对调和形式的影响起了很大的作用,本文主要研究它在Bochner公式以及Gårding不等式证明上的应用。Gårding不等式说明了Dirichlet范数等价于 H 1 p , q ( M ) 上的Sobolev 1-范数,它可以证明Hodge定理。本文首先证明了紧致光滑流形上的向量丛E值p形式的Weitzenböck公式、复流形上的 ∂ ¯ -Laplace算子的Weitzenböck恒等式,在实现了它们在Gårding不等式上的应用后,证明了整体理论的Hodge定理。
定义2.1 [
d ω ( X 0 , ⋯ , X p ) = ( − 1 ) k ( ∇ X k ω ) ( X 0 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) , ( 0 ≤ k ≤ p ) . (2.1)
注记:对普通外微分形式的外微分算子有 d 2 = 0 。但是,对向量丛值微分形式所定义的外微分算子,不具有这个性质。从(2.1)式,可以推出
d 2 : Γ ( Λ p T ∗ M ⊗ E ) → Γ ( Λ p + 2 T ∗ M ⊗ E ) ,
d 2 ω ( X 0 , ⋯ , X p + 1 ) = ∑ l < k ( − 1 ) l + k ( R ( X l , X k ) ω ) ( X 0 , ⋯ , X ^ l , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p + 1 ) . (2.2)
定义2.2 [
δ ω ( X 1 , ⋯ , X p − 1 ) = − ∑ i = 1 m ( ∇ e i ω ) ( e i , X 1 , ⋯ , X p − 1 ) , (2.3)
其中 { e i } 是M上的局部幺正标架场。规定 δ 0 : Γ ( Λ 0 T ∗ M ⊗ E ) → Γ ( Λ 0 − 1 T ∗ M ⊗ E ) ,即 δ 0 = 0 。
定义2.3 [
Δ = d δ + δ d . (2.4)
它将任何一个E值p形式映照成E值p形式。
命题3.1 [
Δ ω = − ∇ 2 ω + S , (3.1.1)
其中 ∇ 2 = T r g ∇ · , · = ∇ · ∇ · − ∇ ∇ · · 表示Laplace算子的迹,即迹-Laplace算子,且对任意的 X 1 , ⋯ , X p ∈ Γ ( T M ) ,
S ( X 1 , ⋯ , X p ) = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 p ( − 1 ) k ( R ( e i , X k ) ω ) ( e i , X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) . (3.1.2)
证明:在M上的任何一点q附近取局部幺正标架场 { e i } ,并且 ∇ e i e j | q = 0 。那么,对 ∀ X 1 , ⋯ , X p ∈ Γ ( T M ) ,
∇ X k δ ω ( X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) = ( ∇ X k δ ω ) ( X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) + ∑ l δ ω ( X 1 , ⋯ , X l − 1 , ∇ X k X l , X l + 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) (3.1.3)
因为 ∇ e i e j | q = 0 ,所以
∑ l δ ω ( X 1 , ⋯ , X l − 1 , ∇ X k X l , X l + 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) = 0. (3.1.4)
由余微分算子的定义得
∇ X k δ ω ( X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) = − ∇ X k ∇ e i ω ( e i , X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) . (3.1.5)
其中由 ∇ e i e j | q = 0 知,
∇ e i ω ( ∇ X k e i , X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) = 0 , ∑ l ∇ e i ω ( e i , X 1 , ⋯ , ∇ X k X l , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) = 0. (3.1.6)
由此
d δ ω ( X 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , X p ) = ( − 1 ) k − 1 ∇ X k δ ω ( X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) − ∑ l ( − 1 ) k − 1 δ ω ( X 1 , ⋯ , ∇ X k X l , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) = ( − 1 ) k ( ∇ X k ∇ e i ω ) ( e i , X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) (3.1.7)
另一方面,
δ d ω ( X 1 , ⋯ , X p ) = − ( ∇ e i ∇ e i ω ) ( X 1 , ⋯ , X p ) − ( − 1 ) k ( ∇ e i ∇ X k ω ) ( e i , X 1 , ⋯ , X ^ k , ⋯ , X p ) + ( − 1 ) l ( ∇ ∇ e i X l ω ) ( e i , X 1 , ⋯ , X ^ l , ⋯ , X p ) (3.1.8)
从而
Δ ω ( X 1 , ⋯ , X p ) = − ( ∇ 2 ω ) ( X 1 , ⋯ , X p ) + S ( X 1 , ⋯ , X p ) = ( − ∇ 2 ω + S ) ( X 1 , ⋯ , X p ) . (3.1.9)
即
Δ ω = − ∇ 2 ω + S . □
由Weitzenböck公式可推导出调和映照的能量密度的Bochner公式 [
对光滑映照 f : M → N ,取 ω = d f ∈ Γ ( T ∗ M ⊗ f − 1 T N ) ,对 ∀ X ∈ Γ ( T M ) ,
S ( X ) = − R N ( f ∗ e i , f ∗ X ) f ∗ e i + f ∗ R i c M X . (3.2.1)
命题3.2:设 f : M → N 是调和映照,那么证明下式成立,
Δ e ( f ) = | B ( f ) | 2 − 〈 R N ( f ∗ e i , f ∗ e j ) f ∗ e i , f ∗ e j 〉 + 〈 f ∗ R i c M e i , f ∗ e i 〉 . (3.2.2)
证明:取M上的任何一点q附近局部幺正标架场 { e i } ,并且 ∇ e i e j | q = 0 ,因为
e ( f ) = ( 1 / 2 ) | d f | 2 = ( 1 / 2 ) 〈 d f , d f 〉 , | B ( f ) | 2 = 〈 ∇ d f , ∇ d f 〉 .
因此
Δ e ( f ) = Δ ( 1 / 2 ) 〈 d f , d f 〉 = 〈 ∇ 2 d f , d f 〉 + 〈 ∇ d f , ∇ d f 〉 = 〈 ∇ 2 d f , d f 〉 + | B ( f ) | 2 . (3.2.3)
又由Weitzenböck公式可得,
〈 ∇ 2 d f , d f 〉 = 〈 − Δ d f + S , d f 〉 = 〈 − Δ d f , d f 〉 − 〈 R N ( f ∗ e i , f ∗ e j ) f ∗ e i , f ∗ e j 〉 + 〈 f ∗ R i c M e i , f ∗ e i 〉 . (3.2.4)
考虑到f是调和映照, Δ d f = 0 ,因此就可得到所证公式,即
Δ e ( f ) = | B ( f ) | 2 − 〈 R N ( f ∗ e i , f ∗ e j ) f ∗ e i , f ∗ e j 〉 + 〈 f ∗ R i c M e i , f ∗ e i 〉 . □
命题3.3:复流形M上 ∂ ¯ -Laplace算子 Δ ∂ ¯ = ∂ ¯ ∘ ∂ ¯ ∗ + ∂ ¯ ∗ ∘ ∂ ¯ 的Weitzenböck恒等式为:
( Δ ψ ) I , J ¯ = ( − ∑ k = 1 n ∇ k ∇ k ¯ ψ I , J ¯ ) + A 1 ( ψ ) , (3.3.1)
其中 ψ ∈ A p , q ( M ) ,
ψ = ( 1 / p ! q ! ) ∑ # I = p # J = q ψ I , J ¯ φ I ∧ φ ¯ J = ( 1 / p ! q ! ) ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i p ≤ n 1 ≤ j 1 < ⋯ < j q ≤ n ψ i 1 , ⋯ , i p j ¯ 1 , ⋯ , j ¯ q φ i 1 ∧ ⋯ ∧ φ i p ∧ φ ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ j q (3.3.2)
其中 ψ I , J ¯ 对指标 i α 和 j ¯ β 是反对称的,对 φ 1 , ⋯ , φ n 是Hermite度量 d s 2 = ∑ i = 1 n φ i φ ¯ i 的局部幺正余标架。
精确的Weitzenböck公式与低阶项有关。对于一个一般的厄米特度量, A 1 ( ψ ) 是在它的第一阶项中包含挠率的麻烦的算子。然而,当度量是Kähler度量时,它们消失了,并且 A 1 ( ψ ) 是一个代数算子,
A 1 ( ψ ) I J ¯ = ∑ k , j α R j α k ¯ ψ I j ¯ 1 ⋯ j ¯ α − 1 k ¯ j ¯ α + 1 ⋯ j ¯ q ,
其中
R j k ¯ = ∑ i R i j k ¯ i
是Ricci曲率。
证明:令 v 1 , ⋯ , v n 是 φ 1 , ⋯ , φ n 的对偶向量标架场,记 v i ¯ = v ¯ i 。对于函数f, ∂ ¯ f = ∑ i ( v i ⋅ f ) φ ¯ i ,对于张量 τ = { τ I } ,它的 z ¯ -协变微分 ∇ ¯ τ 的分量为 ( ∇ ¯ τ ) I = ∂ ¯ τ I + A 0 ( τ ) ,为方便,使用“ ≡ ”表示“模掉低价项”,则有 ( ∇ ¯ τ ) I ≡ ∂ ¯ τ I 。
设 Φ ′ = φ 1 ∧ φ 2 ∧ ⋯ ∧ φ n ,下面只需证 ψ = f φ I ∧ φ ¯ J (不求和)时,(3.3.1)式成立。
由于 d z 的作用尤如向量丛指标,我们将假定 p = 0 ,根据式(3.3.1)的对称性,取 J = ( 1 , ⋯ , q ) ,有
ψ = f φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∈ A 0 , q ( M ) .
则
∂ ¯ ψ ≡ ∂ ¯ f ∧ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q = ∑ k = p + 1 n f k ¯ φ ¯ k ∧ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q = ∑ k = p + 1 n f k ¯ ( − 1 ) q φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∧ φ ¯ k ∈ A 0 , q + 1 ( M ) , (3.3.3)
∗ ∂ ¯ ψ = ( − 1 ) q ⋅ 2 q + 1 − n ∑ k = p + 1 n ( − 1 ) ( k − ( q + 1 ) ) n ( − 1 ) n ( n − k ) f ¯ k ¯ ⋅ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ∈ A n , n − q − 1 ( M ) , (3.3.4)
∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ψ = 2 q + 1 − n ( ∑ k = p + 1 n ( − 1 ) k − 1 ∑ l = 1 q f ¯ k ¯ , l φ ¯ l ∧ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ + ∑ k = p + 1 n f ¯ k ¯ , k φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ) ∈ A n , n − q ( M ) (3.3.5)
∗ ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ψ = 2 ∑ k = p + 1 n f k ¯ , k φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q + 2 ∑ k = q + 1 n ∑ l = 1 q ( − 1 ) l − 1 + q f k ¯ , l φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ l ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∧ φ ¯ k ∈ A 0 , q ( M ) , (3.3.6)
对另一项 ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ ,同理得
∗ ψ = 2 0 + q − n f ¯ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ∈ A n , n − q ( M ) , (3.3.7)
∂ ¯ ∗ ψ = 2 q − n ∑ l = 1 q f ¯ l φ ¯ l ∧ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ∈ A n , n − q + 1 ( M ) , (3.3.8)
∗ ∂ ¯ ∗ ψ = 2 ∑ l = 1 q ( − 1 ) l − 1 f l φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ l ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∈ A 0 , q − 1 ( M ) , (3.3.9)
∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ = 2 ∑ l = 1 q f l , l ¯ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q + 2 ∑ l = 1 q ∑ k = q + 1 n ( − 1 ) q + l f l , k ¯ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ l ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∧ φ ¯ k ∈ A 0 , q ( M ) , (3.3.10)
注意到 v i ( v j ¯ f ) − v j ¯ ( v i f ) = 0 , f j ¯ , i − f i , j ¯ ≡ A 1 ( f ) ,模掉 A 0 , q ( M ) 中的一阶项,便得
Δ ∂ ¯ ψ = ( ∂ ¯ ∂ ¯ ∗ + ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ) ψ = − ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ − ∗ ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ψ = − 2 ∑ k = 1 n f k ¯ , k φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q
这就证明了Weitzenböck公式。 □
已证得的Weitzenböck公式形如:
( Δ ψ ) I , J ¯ = ( − 2 ∑ k = 1 n ψ I , J ¯ , k ¯ , k ) + A 1 ( ψ ) , ∀ ψ ∈ A p , q ( M ) . (3.4.1)
记 Φ = C n Φ ′ ∧ Φ ¯ ′ 为体积形式,其中 C n = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 , Φ ′ = φ 1 ∧ ⋯ ∧ φ n ,设
η = C n ( − ∑ I , J , k ( − 1 ) k − 1 ψ I J ¯ , k ¯ ψ I J ¯ ¯ φ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ^ k ∧ ⋯ ∧ φ n ) ∧ Φ ′ = C ′ n ( ∇ ¯ ψ , ψ ) ∧ ω n − 1 , (3.4.2)
这表明 η 是整体定义的,并且因为它有 ( n − 1 , n ) 型, ∂ ¯ | A n − 1 , n ( M ) = 0 , η ∈ A n − 1 , n ( M ) ,所以 d η = ( ∂ + ∂ ¯ ) η = ∂ η ,由Stokes定理有
∫ M ∂ η = ∫ M d η = ∫ ∂ M η = 0 ( ∂ M = ∅ ) ,
又
∂ η = ( − 2 ∑ I , J , k ψ I J ¯ , k ¯ , k ψ ¯ I J ) Φ − ( 2 ∑ I , J , k ψ I J ¯ , k ¯ ψ I J ¯ , k ¯ ¯ ) Φ + ( A 1 ψ , ψ ) Φ ,
所以,由Weitzenböck公式,
( Δ ψ , ψ ) = ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ( A 1 ψ , ψ ) , (3.4.3)
其中, ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 = ∫ M ( ∇ ¯ ψ , ∇ ¯ ψ ) Φ 是张量 ψ 的 z ¯ 协变微分的 L 2 -范数, A 1 ( ψ ) 是包括 ψ 的 z ¯ 微分的第一阶算子,利用不等式 2 α β ≤ ε α 2 + ( 1 / ε ) β 2 ,有
2 | ( A 1 ψ , ψ ) | ≤ ε ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ( 1 / ε ) ‖ ψ ‖ 2 , (3.4.4)
即
‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 ≤ C ′ { ( Δ ψ , ψ ) + ‖ ψ ‖ 2 } , C ′ > 0. (3.4.5)
将上面的讨论重复到
γ = C n ( − ∑ I , J , k ( − 1 ) k − 1 ψ I J ¯ , k ψ I J ¯ ¯ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ) ∧ Φ ′ ,
通过Dirichlet范数,由 f k , k ¯ = f k ¯ , k + A 1 ( f ) 去估计z微分的 L 2 -范数 ‖ ∇ ψ ‖ 2 。那么,
‖ ∇ ψ ‖ 2 + ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ‖ ψ ‖ 2 ≥ C ″ ( ( Δ ψ , ψ ) + ‖ ψ ‖ 2 ) = C ″ D ( ψ ) . (3.4.6)
这就是Gårding不等式。
注:在Kähler情形,可以利用精确的Weitzenböck公式和分部积分运算来证明Kodaira恒等式
( Δ ψ , ψ ) = ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ( R ψ , ψ ) , (3.4.7)
其中,对 ψ ∈ A 0 , q ( M ) 和重复指标求和,得
( R ψ , ψ ) = q ∫ M ( R i j ψ i ¯ 1 ⋯ i ¯ q − 1 i ¯ ψ ¯ i ¯ 1 ⋯ i ¯ q − 1 j ¯ ) Φ ,
如果 ψ 是调和的,并且Hermite形式 R i j ¯ ξ i ξ ¯ j 是正定的,那么我们推到出 ψ = 0 。由Hodge定理,
0 = H 0 , q ( M ) ≅ H ∂ ¯ 0 , q ( M ) , q > 0. (3.4.8)
这是著名的Kodaira消没定理的特殊情形。
引理4.1 [
( ψ , Δ η ) = ( φ , η )
的意义上, ψ ∈ H 0 p , q ( M ) 是方程
Δ ψ = φ (4.1)
的弱解。那么 ψ ∈ H s + 2 p , q ( M ) 。
在环面 T n = ( ℝ / 2 π ℤ ) n 上,Sobolev s-范数由加权Fourier级数或由 L 2 -范数
∑ | α | ≤ s ∫ T | D α φ | 2 d x
给出。设 U ⊂ V ⊂ ℝ n ,并且U相对于V是紧致的。U上具有紧致支集的函数可以看作 T n = ( ℝ / 2 π ℤ ) n 上的函数。假设 v 1 ( x ) , ⋯ , v n ( x ) 是V上处处线性无关的 C ∞ 矢量场, ρ ( x ) 是V上的正定函数。对 φ ∈ C c ∞ ( U ) ,Sobolev 0-范数和1-范数分别等价于
∫ V ρ ( x ) | φ ( x ) | 2 d x , ∫ V ρ ( x ) { | φ ( x ) | 2 + ∑ i | v i ( x ) ⋅ φ ( x ) | 2 } d x . (5.1)
注意到交换子
[ v i , v j ] φ = v i ( v j φ ) − v j ( v i φ )
是一个阶为1的算子,其中一个阶为s的算子最多包含s次微分。表达式
v α φ = v 1 α 1 ( v 1 α 2 ⋯ ( v n α n φ ) ⋯ )
和模阶 < [ α ] 的算子的顺序无关。所以 φ ∈ C c ∞ ( U ) 的Sobolev s-范数等价于 ∑ | α | ≤ s ∫ | v α φ ( x ) | 2 d x 。
假设 E → M 是紧致流形M上的矢量丛。若 ∇ 是E和M的切丛TM上的联络, { e α } 是E的局部标架, { v i } 是TM的局部标架, { φ i } 是TM的余标架,则 E → M 的截面 f = ∑ α f α e α 的协变微分 ∇ i f α = f α , i 定义为
∇ f = ∑ α , i f α , i e α ⊗ φ i .
我们得到
f α , i = v i f α + A 0 ( f ) , (5.2)
其中, A 0 是包括联络矩阵阶为0的算子。
把这些讨论应用到 E ⊗ T ∗ ( M ) ,定义 f α , i , j = ∇ j ( ∇ i f α ) ,则有
[ ∇ i , ∇ j ] f α = A 1 ( f ) .
假设E和 T ( M ) 有度量,并且 { e α } , { v i } 是正交标架。截面 f ∈ C ∞ ( M , E ) 的整体Sobolev s-范数定义为
‖ f ‖ s 2 = ∑ k ≤ s ‖ ∇ k f ‖ 0 2 d x , (5.3)
其中,
∇ k f = ∇ ( ∇ ( ⋯ ( ∇ f ) ⋯ ) ) ︸ k 次
用 H s ( M , E ) 表示在这个范数 C ∞ ( M , E ) 的完备化。那么由单位分解,整体的Sobolev范数诱导了一个范数,这个范数与某点邻域中有紧致支集的截面上的通常Sobolev范数等价,我们可以得到:
引理5.1 [
∩ s H ( M , E ) = C ∞ ( M , E ) . (5.4)
引理5.2 [
H s ( M , E ) → H r ( M , E )
是一个紧致算子。
现在,设M是一个在切丛上有Hermite联络的紧致Hermite流形, H s p , q ( M ) 表示 A p , q ( M ) 在Sobolev s-范数 ‖ ⋅ ‖ = ‖ ‖ 0 下的完备化,把Dirichlet内积和Dirichlet范数分别定义为
D ( φ , ψ ) = ( φ , ψ ) + ( ∂ ¯ φ , ∂ ¯ ψ ) + ( ∂ ¯ ∗ φ , ∂ ¯ ∗ ψ ) = ( φ , ( I + Δ ) ψ ) D ( φ ) = D ( φ , φ ) = ‖ φ ‖ 2 + ‖ ∂ ¯ φ ‖ 2 + ‖ ∂ ¯ ∗ φ ‖ 2
理论中的基本估计来自
Gårding不等式:对 φ ∈ A p , q ( M ) ,
‖ φ ‖ 1 2 ≤ C D ( φ ) ( C > 0 ) . (5.5)
我们注意到,不只是Laplace算子 Δ ,而是算子 I + Δ 被采用,这是因为 Δ ≥ 0 意味着 I + Δ 没有核,并且因此我们可以求它的逆。
Gårding不等式的一个用处就是证明定理4.1,例如,假设 ψ ∈ H 0 p , q ( M ) 是Laplace算子的特征函数,意思就是,对常数 λ ,方程
Δ φ = λ φ (5.6)
在弱解的意义上成立,那么,由正则性引理,对所有的s有 φ ∈ H s p , q ( M ) ,并且由整体Sobolev引理,我们得到,任意 Δ 的本征函数是光滑的。
我们注意到,任意的本征函数 λ ≥ 0 ,并且 λ = 0 ⇔ φ 在弱解上的意义是调和的。由正则性和Sobolev引理,任意这样的弱解调和形式在通常意义上是和 C ∞ 调和的。
下面我们将假定Gårding不等式和正则性引理成立,继续来完成Hodge定理的证明。
基本的Hilbert空间的工具是紧致自伴算子的谱定理,以及通过与一个固定向量取内积而表示有界线性函数的原理,形式如下:
引理5.3 [
( φ , η ) = D ( ψ , η ) = ( ψ , ( I + Δ ) η ) . (5.7)
从 H 0 p , q ( M ) 到 H 1 p , q ( M ) 的映射
ψ = T ( φ )
是有界的,并且从而映射
T : H 0 p , q ( M ) → H 1 p , q ( M )
是紧致和自伴的。
证明:从Gårding不等式得到,Dirichlet范数 D ( φ ) 等价于 H 1 p , q ( M ) 上的Sobolev 1-范数 ‖ φ ‖ 1 2 。利用
| ( φ , η ) | ≤ ‖ φ ‖ 0 ‖ η ‖ 0 ≤ ‖ φ ‖ 0 D ( η ) , (5.8)
线性泛函
η → ( φ , η ) , ∀ η ∈ A p , q ( M )
扩张到有Dirichlet范数的 H 1 p , q ( M ) 上的有界线性形式。从而方程
( φ , η ) = D ( ψ , η ) (5.9)
有唯一解 ψ = T ( φ ) ,其特征为
( φ , η ) = ( T φ , ( I + Δ ) η ) ∀ η ∈ A p , q ( M ) .
因为I和 Δ 是自伴的,所以T是自伴的。从不等式
2 α β ≤ ε α 2 + ( 1 / ε ) β 2
有
‖ T φ ‖ 1 2 ≤ C D ( T φ , T φ ) ≤ C ‖ φ ‖ 0 ‖ T φ ‖ 0 ≤ ( ε C / 2 ) ‖ T φ ‖ 0 2 + ( 2 C / ε ) ‖ φ ‖ 0 2 , (5.10)
则我们可以推导出
‖ T φ ‖ 1 2 ≤ C ′ ‖ φ ‖ 0 2 . (5.11)
也就是说,从 H 0 p , q ( M ) 到 H 1 p , q ( M ) 的映射T是有界的,并且由引理5.2 (整体Rillich引理),T是紧致的。 □
按照紧致自伴算子的谱定理 [
H 0 p , q ( M ) = ⊕ m E ( ρ m ) ,
其中 ρ m 是T的本特征值并且 E ( ρ m ) 是有限维特征空间。因为T是一对一的,所以所有的 ρ m ≠ 0 ,而且方程
T φ = ρ m φ
与
( φ , η ) = ( ρ m φ , ( I + Δ ) η ) ∀ η ∈ A p , q ( M )
是一样的,它意味着在弱的意义上,
Δ φ = ( 1 − ρ m / ρ m ) φ . (5.12)
因此,T和 Δ 的特征空间是一样的,并且是由 C ∞ 形式组成的有限维向量空间。 Δ 的特征值 λ m 和T的特征值 ρ m 有下列关系
λ m = ( 1 − ρ m ) / ρ m , ρ m = 1 / ( 1 + λ m ) ,
假设
0 = λ 0 < λ 1 < ⋯ < λ m < ⋯ ,
其中当 m → ∞ 时, λ m 趋于 ∞ , ρ m 趋于0。调和空间 H p , q ( M ) 对应于 λ 0 = 0 ,对 φ ∈ H p , q ( M ) ⊥ ,
‖ φ ‖ 0 ≥ λ 1 ‖ φ ‖ 0 ( λ 1 > 0 ) ,
并且如果我们把Green算子定义为
{ G = 0 , 在 H p , q ( M ) 上 G φ = 1 / λ m φ , φ ∈ E ( 1 / ( 1 + λ m ) )
那么G是紧致自伴算子,并且有谱分解 H 0 p , q ( M ) = H p , q ( M ) ⊕ ( ⊕ m E ( ρ m ) ) ,其中,
G φ = ( ρ m / ( 1 − ρ m ) ) φ , φ ∈ E ( ρ m ) .
至此,我们已经证明了Hodge定理。本质的想法是由Hilbert空间技巧产生Green算子,再根据基本估计来证明它是紧致光滑算子。实际上,G是形式
( G φ ) ( x ) = ∫ M G ( x , y ) φ ( y ) (5.13)
的积分算子,其中 G ( x , y ) 是 M × M 上的好核,沿着对角 Δ 有一定的奇异。Hilbert空间方法的缺点是没有在这种形式中给出Green算子。如果我们使用分布而不只是 L 2 -范数,那么,我们通过解
Δ x G ( x , y ) = δ y + S y (5.14)
这种类型的分布方程来得到 G ( x , y ) ,其中, δ y 是在y处的 δ 函数, S y 是阶为 − ∞ 的算子。
课题部分受到项目2017KJQD00,2019GXNSFAA245043,gxun-chxzs2019029的资助。
黄 晴,杨秋花,卢卫君. 复流形上的Weitzenböck公式及Gårding不等式The Weitzenböck Formula and Gårding Inequality on Complex Manifolds[J]. 应用数学进展, 2020, 09(09): 1394-1403. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.99165