若两个独立的随机变量 ξ ~ N ( 0 , 1 ) ， ζ ~ χ 2 ( n ) ，那么随机变量 X = ξ ζ / n 服从自由度为n的t分布 [10]。

其概率密度函数为

f t ( x , n ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 , ( − ∞ < x < + ∞ ) (1)

性质1 (t分布的等价定义)：若 n + 1 个独立的随机变量 ξ ~ N ( 0 , 1 ) ，

ζ 1 ~ N ( 0 , 1 ) , ζ 2 ~ N ( 0 , 1 ) , ⋯ , ζ n ~ N ( 0 , 1 ) ，那么随机变量 X = ξ ∑ i = 1 n ζ i / n ，服从自由度为n的t分布；

性质2 (对称性)：由t分布的概率密度函数可得 f t ( x , n ) = − f ( − x , n ) 成立，因此t分布的概率密度函数关于x轴对称；

性质3 (均值和方差)：若随机变量 X ~ t ( n ) ，则X的方差与均值为 E ( X ) = 0 ， D ( X ) = n n − 2 ；

性质4 (有界性)：若随机变量，因为 D ( X ) = n n − 2 ，所以当 n > 2 时X的方差有界，因此X的概率密度函数有界。

设随机变量的取值为x，则有标准正态分布的概率密度函数为 f N ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 ，自由度为n的t分

布的概率密度函数为

f t ( x , n ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 (2)

这样，自由度为n的t分布与标准正态分布的差函数表达式为：

f t ( x , n ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 (3)

性质1 (对称性)：已知标准正态分布和t分布的概率密度函数均关于x轴对称，因此差函数也关于x轴对称；

性质2 (极值点)：对 φ ( x , n ) 关于x求导数，得到

d φ ( x , n ) d x = x [ n + 1 n Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 3 2 − 1 2 π e − x 2 2 ] (4)

令 d φ ( x , n ) d x = 0 得到极值点 x 0 = 0 ，另有极值点 x k 满足方程

n + 1 n Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 3 2 = 1 2 π e − x 2 2 (5)

利用上式方程得到差函数的极值

φ ( x k , n ) = Γ ( n + 1 n ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x k n ) − n + 1 2 [ 1 − n + 1 n ( 1 + x k 2 n ) − 1 ] (6)

引理1 (瓦里斯公式推论)：

lim n → ∞ [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] n π = 1       ( n ∈ N ) (7)

证明：

已知瓦里斯公式为

∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n − 1 × 2 n 2 n + 1 = π 2       ( n ∈ N ) (8)

公式左端变形后为

lim n → ∞ [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 1 2 n − 1 = π 2 (9)

再次变形得到

lim n → ∞ [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 ( 2 n − 1 ) π = 1 ∴ lim n → ∞ [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 1 n π = 1 (10)

证毕

定理1：当 n → ∞ 时，差函数的极值均趋于0。

证明：

首先，带入极值点 x 0 = 0 得到

lim n → ∞ φ ( x 0 , n ) = Γ ( n + 1 n ) n π Γ ( n 2 ) − 1 2 π (11)

当n为偶数时，不妨令 n = 2 k

当n为奇数时同理可证明 lim k → ∞ φ ( x 0 , n ) = 0 。

下面，考虑其他极值点的极值

又由于t分布的概率密度函数的有界性得到

lim n → ∞ f t ( x k , n ) = p , (p为一有限数) (14)

另外因为

lim n → ∞ [ 1 − n + 1 n ( 1 + x k 2 n ) − 1 ] = 0 (15)

所以

lim n → ∞ φ ( x k , n ) = 0 (16)

综上，当 n → ∞ 时，差函数的极值趋于0。

因此，t分布的极限分布为标准正态分布。

输入如下代码，绘制此函数当参数n 从1变化到100的函数图像。

clc;clear all;

x=-4:0.01:4;

n=linspace(1,100);

axis([-4 4 -0.2 0.41]);

ylabel('$t(n)-N(0,1)$','interpreter','latex', 'FontSize', 18);

xlabel('x')

z=normpdf(x,0,1)

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i))-z;

end

plot(x,A);

title('自由度从1到100的t分布密度函数与标准正态分布的差函数');

legend('n从1变化到100');

结果如图2所示。从图2中可以看出，当参数n固定时，差函数是一个关于y轴对称的函数，这表明标准正态分布和t分布都是关于y轴对称的函数。

另外，当参数n固定时，很容易看出，一条差函数曲线具有5个极值点。由于其对称性，其中一个极值点为 x = 0 ，但它不是最值点。因此，虽然t分布和标准正态分布的最大值点都在 x = 0 处取得，但是他们的差的最大值并不是在 x = 0 处取得，而是在其他的极值点处取得。

当参数n从1增加到100时，差函数图像逐渐趋于x轴，整体变得平阔，函数范围越来越小，这直观地反映了当n增加时，t分布逐渐趋近于标准正态分布。

图2. 差函数的变化图像

为了进一步分析差函数的性质，输入如下代码，求其当参数n从1变化到100时的差函数的最值。

clc;clear all;

MAX=[];MIN=[];a=zeros(1,5)

x=-4:0.01:4;

n=linspace(1,100);

axis([-4 4 -0.2 0.41]);

z=normpdf(x,0,1)

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i))-z;

MAX(i)=max(A(i,:));

MIN(i)=min(A(i,:));

end

ma=vpa(MAX,3);

ma1=[ma a]

ma2=reshape(ma1,7,[])

ma3=vpa(ma2.',4)

mi=vpa(MIN,5)

mi1=[mi a]

mi2=reshape(mi1,7,[])

mi3=vpa(mi2.',3)

结果为：

从表1、表2所得数据可以看出，当差函数的参数从1变化到100时，差函数最大值从0.028099变化到0.001139，最小值从−0.099264变化到−0.0013572，显然，他们的绝对值都减小了很多。

表1. 差函数最大值

表2. 差函数最小值

为了使差函数最值随n的变化更直观，输入如下代码，绘制其当n从1变化到100函数的图像。

clc;clear all;

syms E F;

X1=[];X2=[];SUP=[];INF=[];

x=-4:0.001:4;

n=linspace(1,100);

z=normpdf(x,0,1)

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i))-z;

SUP(i)=max(A(i,:));

INF(i)=min(A(i,:));

E=find(A(i,:)==SUP(i))

X1(i)=(E(:,2)-4000)*0.01

F=find(A(i,:)==INF(i))

X2(i)=(F(:,2)-4000)*0.01

end

plot(n,SUP,'o-','color','r','linewidth',2);

hold on;

plot(n,INF,'s-','color','b','linewidth',2);

title('参数从1到100的的差函数最值');

legend('差函数最大值','差函数最小值');

ylabel('$t(n)-N(0,1)最值$','interpreter','latex', 'FontSize', 18);

xlabel('n')

grid on;

图3. 差函数最值随n的变化

结果如图3所示。从图3可以看出差函数的最大值和最小值随参数n的增大都趋于0。当n增加时，函数的变化速度减慢，因此看出，自由度n增加时，t分布渐进于标准正态分布的速度减慢。