本文提出了求解时间分数阶对流扩散方程两种高效数值算法。首先基于Laplace变换及指数变换将原问题转化为整数阶扩散问题;然后采用Crank-Nicolson格式并分别结合二阶中心差分和四阶紧致差分方法,设计出两种求解时间分数阶对流扩散方程的高精度差分格式,并利用Fourier方法证明两种差分格式都是稳定的。数值实验验证了两种格式的有效性。 This paper proposes two efficient numerical algorithms for solving the time fractional convection-diffusion equation. First, the original problem is transformed into an integer-order diffusion problem based on Laplace transform and exponential transform. Then, using Crank-Nicolson format and combining second order central difference and fourth order compact difference respectively, two kinds of high precision difference formats for solving time fractional order convection-diffusion equations are designed, and both schemes are proved to be stable by using Fourier method. Numerical experiments verify the effectiveness of the two formats.
本文提出了求解时间分数阶对流扩散方程两种高效数值算法。首先基于Laplace变换及指数变换将原问题转化为整数阶扩散问题;然后采用Crank-Nicolson格式并分别结合二阶中心差分和四阶紧致差分方法,设计出两种求解时间分数阶对流扩散方程的高精度差分格式,并利用Fourier方法证明两种差分格式都是稳定的。数值实验验证了两种格式的有效性。
时间分数阶对流扩散方程,Laplace变换,指数变换,二阶中心差分格式,四阶紧致差分格式
Xu Shi1,2, Chen Cui1, Jiaqi Liu1
1School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou Fujian
2College of Optoelectronic Engineering, Chongqing University, Chongqing
Received: Sep. 26th, 2020; accepted: Oct. 8th, 2020; published: Oct. 15th, 2020
This paper proposes two efficient numerical algorithms for solving the time fractional convection-diffusion equation. First, the original problem is transformed into an integer-order diffusion problem based on Laplace transform and exponential transform. Then, using Crank-Nicolson format and combining second order central difference and fourth order compact difference respectively, two kinds of high precision difference formats for solving time fractional order convection-diffusion equations are designed, and both schemes are proved to be stable by using Fourier method. Numerical experiments verify the effectiveness of the two formats.
Keywords:Time Fractional Order Convection-Diffusion Equation, Laplace Transform, Exponential Transformation, Second Order Central Difference Scheme, Fourth Order Compact Difference Scheme
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
在研究分子扩散、粘性流体运动及物质运输过程等问题时,经常要根据实际情况建立起相应的对流扩散方程来求解。特别是分数阶对流扩散方程,有时更能准确刻画物质的运动规律、描述一些物理现象。因此,设计出比较稳定的数值格式来求解时间分数阶对流扩散方程一直备受人们的关注,具有极为重要的理论意义和实际意义。
本文研究如下的时间分数阶对流扩散方程:
{ ∂ α u ∂ t α = ∂ 2 u ∂ x 2 − β ∂ u ∂ x + f ( x , t ) , 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ t ≤ T , 0 < α < 1 , β ∈ Z + , u ( x , 0 ) = g ( x ) , 0 ≤ x ≤ L , u ( 0 , t ) = ϕ ( t ) , u ( L , t ) = ψ ( t ) , 0 ≤ t ≤ T , (1)
国内外学者们对分数阶导数、整数阶对流扩散方程及分数阶对流扩散方程进行了许多重要研究。如陈焕贞等 [
本文利用Laplace变换逼近时间分数阶对流扩散方程的分数阶项,将其转化为整数阶问题,然后分别通过二阶中心差分格式和四阶紧致差分格式求方程的数值解。
针对方程(1),首先使用Laplace变换逼近方程的分数阶导数:
L { ∂ α u ( x , t ) ∂ t α } = s α u ^ ( x , s ) − s α − 1 ( x , 0 ) = s α [ u ^ ( x , s ) − s − 1 u ( x , 0 ) ] (2)
其中, u ^ ( x , s ) 是 u ( x , t ) 的Laplace变换。由于 α ∈ ( 0 , 1 ) ,故可以将 s α 线性化:
s α ≈ α s 1 + ( 1 − α ) s 0 = α s + ( 1 − α ) (3)
将(3)式代入到(2)式中可得(4)式:
L { ∂ α u ( x , t ) ∂ t α } ≈ [ α s + ( 1 − α ) ] [ u ^ ( x , s ) − s − 1 u ( x , 0 ) ] = α s [ u ^ ( x , s ) − s − 1 u ( x , 0 ) ] + ( 1 − α ) [ u ^ ( x , s ) − s − 1 u ( x , 0 ) ] (4)
再由Laplace逆变换,可得:
∂ α u ( x , t ) ∂ t α ≈ α ∂ u ( x , t ) ∂ t + ( 1 − α ) [ u ( x , t ) − u ( x , 0 ) ] (5)
于是,原时间分数阶对流扩散方程可转化为如下的整数阶方程(6):
α ∂ u ( x , t ) ∂ t + ( 1 − α ) [ u ( x , t ) − g ( x ) ] = ∂ 2 u ∂ x 2 − β ∂ u ∂ x + f ( x , t ) (6)
引入指数变换:
u ( x , t ) = e β 2 x v ( x , t ) (7)
将(7)带入方程(6)整理可得:
α ∂ v ∂ t = ∂ 2 v ∂ x 2 − ( 1 − α + β 2 4 ) v ( x , t ) + e − β 2 x [ f ( x , t ) + ( 1 − α ) g ( x ) ] (8)
令 λ = 1 − α + β 2 4 , G ( x , t ) = e − β 2 x [ f ( x , t ) + ( 1 − α ) g ( x ) ] ,有:
α ∂ v ∂ t = ∂ 2 v ∂ x 2 − λ v ( x , t ) + G ( x , t ) (9)
以 τ 表示时间步长,以h表示空间步长。网格点为 ( x i , t k ) ,其中 x i = i h ( 0 ≤ i ≤ N ) , t k = k τ ( 0 ≤ k ≤ M ) 。
考虑方程(9)在 k + 1 / 2 时刻的值并对于时间和空间导数均利用中心差分,可得:
α δ t v i k + 1 2 = δ x 2 v i k + 1 2 − λ v i k + 1 2 + G i k + 1 2 + O ( τ 2 + h 2 ) (10)
式中:
δ t v i k + 1 2 = 1 τ ( v i k + 1 − v i k ) (11)
δ x 2 v i = 1 h 2 ( v i + 1 − 2 v i + v i − 1 ) (12)
项中 v i k + 1 2 以第k + 1层和第k层的算数平均值代替,代入(10)式并略去高阶无穷小项,得到二阶中心差分格式:
− r 2 v i − 1 k + 1 + ( α + r + λ τ 2 ) v i k + 1 − r 2 v i + 1 k + 1 = r 2 v i − 1 k + ( α − r − λ τ 2 ) v i k + r 2 v i + 1 k + τ G i k + 1 2 , 1 ≤ i ≤ N − 1 , 0 ≤ k ≤ M − 1. (13)
为了进一步改进上述算法的空间精度,我们引入如下的padé逼近:
v ″ ( x i ) = δ x 2 1 + h 2 12 δ x 2 v ( x i ) + O ( τ 2 + h 4 ) (14)
考虑方程(9)在 k + 1 / 2 时刻的值并对于时间和空间导数项分别利用中心差分和上述padé逼近,可得:
α δ t v i k + 1 2 = δ x 2 1 + h 2 12 δ x 2 v i k + 1 2 − λ v i k + 1 2 + G i k + 1 2 + O ( τ 2 + h 4 ) (15)
并略去高阶无穷小项,得到如下四阶紧致差分格式:
( α 12 + λ τ 24 − r 2 ) v i − 1 k + 1 + ( 5 6 α + 5 λ τ 12 + r ) v i k + 1 + ( α 12 + λ τ 24 − r 2 ) v i + 1 k + 1 = ( α 12 − λ τ 24 + r 2 ) v i − 1 k + ( 5 6 α − 5 λ τ 12 − r ) v i k + ( α 12 − λ τ 24 + r 2 ) v i + 1 k + τ 12 ( G i − 1 k + 1 2 + 10 G i k + 1 2 + G i + 1 k + 1 2 ) , 1 ≤ i ≤ N − 1 , 0 ≤ k ≤ M − 1. (16)
下面我们将利用Fourier分析法,给出上述两种格式的稳定性分析。
定理1. 对于任意 τ ≥ 0 ,差分格式(13)是无条件稳定的。
证明:利用Fourier分析法,令 v j n = w n e i k j h ,得:
w n + 1 = r 2 e i k h + ( α − λ τ 2 − r ) + r 2 e − i k h − r 2 e i k h + ( α + λ τ 2 + r ) − r 2 e − i k h
由此得到增长因子:
G r ( τ , k ) = r 2 e i k h + ( α − λ τ 2 − r ) + r 2 e − i k h − r 2 e i k h + ( α + λ τ 2 + r ) − r 2 e − i k h = ( α − λ τ 2 − r ) + r cos ( k h ) ( α + λ τ 2 + r ) − r cos ( k h ) = α − λ τ 2 − 2 r sin 2 k h 2 α + λ τ 2 + 2 r sin 2 k h 2 ,
于是:
| G r ( τ , k ) | ≤ 1 ⇔ 4 α ( λ τ 2 + 2 r sin 2 k h 2 ) ≥ 0.
定理2. 对于任意 τ ≥ 0 ,差分格式(22)是无条件稳定的。
证明:利用Fourier分析法,令 v j n = w n e i k j h ,得:
w n + 1 = ( α 12 − λ τ 24 + r 2 ) e i k h + ( 5 6 α − 5 λ τ 12 − r ) + ( α 12 − λ τ 24 + r 2 ) e − i k h ( α 12 + λ τ 24 − r 2 ) e i k h + ( 5 6 α + 5 λ τ 12 + r ) + ( α 12 + λ τ 24 − r 2 ) e − i k h ,
由此得到增长因子:
G r ( τ , k ) = ( α 12 − λ τ 24 + r 2 ) e i k h + ( 5 6 α − 5 λ τ 12 − r ) + ( α 12 − λ τ 24 + r 2 ) e − i k h ( α 12 + λ τ 24 − r 2 ) e i k h + ( 5 6 α + 5 λ τ 12 + r ) + ( α 12 + λ τ 24 − r 2 ) e − i k h = ( 5 6 α − 5 λ τ 12 − r ) + ( α 6 − λ τ 12 + r ) cos ( k h ) ( 5 6 α + 5 λ τ 12 + r ) + ( α 6 + λ τ 12 − r ) cos ( k h ) = α 6 cos ( k h ) + 5 6 α − [ λ τ 2 + ( 2 r − λ τ 6 ) sin 2 k h 2 ] α 6 cos ( k h ) + 5 6 α + [ λ τ 2 + ( 2 r − λ τ 6 ) sin 2 k h 2 ] ,
于是:
| G r ( τ , k ) | ≤ 1 ⇔ | α 6 cos ( k h ) + 5 6 α − [ λ τ 2 + ( 2 r − λ τ 6 ) sin 2 k h 2 ] | ≤ | α 6 cos ( k h ) + 5 6 α + [ λ τ 2 + ( 2 r − λ τ 6 ) sin 2 k h 2 ] | ⇔ 4 [ α 6 cos ( k h ) + 5 6 α ] [ λ τ 2 + ( 2 r − λ τ 6 ) sin 2 k h 2 ] ≥ 0 ,
易证 λ τ 2 + ( 2 r − λ τ 6 ) sin 2 k h 2 ≥ 0 ,那么恒有 | G r ( τ , k ) | ≤ 1 。从而此差分格式无条件稳定。
在本章,我们通过具体的数值算例来验证两种差分格式的有效性和准确性。首先,定义如下的最大相对误差:
MRE ( N , M ) = max 1 ≤ i ≤ N − 1 , 1 ≤ k ≤ M | u ( x i , t k ) − u i k u ( x i , t k ) |
其中, u ( x i , t k ) 为方程的精确解, u i k 为方程的数值解( 1 ≤ i ≤ N − 1 , 1 ≤ k ≤ M )。
考虑如下时间分数阶对流扩散方程:
{ ∂ α u ( x , t ) ∂ t α = ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 − 2 ∂ u ( x , t ) ∂ x + f ( x , t ) , u ( x , 0 ) = sin ( π x ) , 0 ≤ x ≤ 1 , u ( 0 , t ) = 0 , u ( 1 , t ) = 0 , 0 ≤ t ≤ 1 ,
其中,
{ u ( x , t ) = ( t 3 + 1 ) sin ( π x ) , f ( x , t ) = sin ( π x ) Γ ( 1 − α ) ( 3 3 − α − 6 2 − α + 3 1 − α ) t 3 − α + 2 π ( 1 + t 3 ) cos ( π x ) + π 2 ( 1 + t 3 ) sin ( π x ) ,
表1,表2给出了不同时空步长、不同 α 下的两种格式的最大相对误差。对比数据可以发现当 α 接近1或0时,数值解精度越高,而且在剖分数较少的情况下,格式2比格式1具有更高的精度。
α | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | 0.99 |
---|---|---|---|---|---|
MRE (5, 20) | 5.9054E−02 | 4.7225E−02 | 2.9890E−02 | 2.9486E−02 | 3.0911E−02 |
MRE (10, 40) | 1.4945E−02 | 1.0539E−02 | 8.2560E−03 | 6.9845E−03 | 7.8191E−03 |
MRE (15, 60) | 6.5824E−03 | 4.2147E−03 | 1.1091E−02 | 3.1522E−03 | 3.4248E−03 |
MRE (20, 80) | 3.6489E−03 | 3.1885E−03 | 1.2078E−02 | 4.0981E−03 | 1.8808E−03 |
MRE (25, 100) | 2.2969E−03 | 3.6130E−03 | 1.2542E−02 | 4.5335E−03 | 1.1709E−03 |
MRE (30, 120) | 1.5678E−03 | 3.8446E−03 | 1.2799E−02 | 4.7698E−03 | 7.8987E−04 |
表1. 算例一:二阶中心差分格式最大相对误差
α | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | 0.99 |
---|---|---|---|---|---|
MRE (5, 20) | 1.1954E−03 | 4.7797E−03 | 1.3067E−02 | 5.5494E−03 | 1.2055E−03 |
MRE (10, 40) | 6.9254E−04 | 4.4286E−03 | 1.3100E−02 | 5.3116E−03 | 7.8200E−04 |
MRE (15, 60) | 5.6618E−04 | 4.3644E−03 | 1.3170E−02 | 5.2717E−03 | 6.7685E−04 |
MRE (20, 80) | 5.2280E−04 | 4.3515E−03 | 1.3227E−02 | 5.2706E−03 | 6.3990E−04 |
MRE (25, 100) | 5.0288E−04 | 4.3501E−03 | 1.3269E−02 | 5.2752E−03 | 6.2321E−04 |
MRE (30, 120) | 4.9240E−04 | 4.3519E−03 | 1.3300E−02 | 5.2813E−03 | 6.1444E−04 |
表2. 算例一:四阶中心差分格式最大相对误差
图1给出了两种格式在 α 分别取0.3和0.8时的真实解图像和误差图像。
图1. α 分别取0.3和0.8时算例一方程的数值解图像和两种格式的误差图像
考虑如下时间分数阶对流扩散方程:
{ ∂ α u ( x , t ) ∂ t α = ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 − 2 ∂ u ( x , t ) ∂ x + f ( x , t ) , u ( x , 0 ) = 0.5 x 4 + 1 , 0 ≤ x ≤ 1 , u ( 0 , t ) = t 3 + 1 , u ( 1 , t ) = 1.5 ( t 3 + 1 ) , 0 ≤ t ≤ 1 ,
其中,
{ u ( x , t ) = ( t 3 + 1 ) ( 0.5 x 4 + 1 ) , f ( x , t ) = 0.5 x 4 + 1 Γ ( 1 − α ) ( 3 3 − α − 6 2 − α + 3 1 − α ) t 3 − α − ( − 4 x 3 + 6 x 2 ) ( t 3 + 1 ) ,
表3,表4给出了不同时空步长、不同α下的两种格式的最大相对误差。通过数据对比可以得到类似例一的结论。
α | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | 0.99 |
---|---|---|---|---|---|
MRE (5, 20) | 1.4175E−03 | 4.9297E−03 | 1.3711E−02 | 5.8107E−03 | 1.2201E−03 |
MRE (10, 40) | 6.3650E−04 | 4.4470E−03 | 1.3326E−02 | 5.3751E−03 | 7.3623E−04 |
MRE (15, 60) | 5.3306E−04 | 4.3856E−03 | 1.3356E−02 | 5.3299E−03 | 6.5342E−04 |
MRE (20, 80) | 5.0152E−04 | 4.3744E−03 | 1.3369E−02 | 5.3219E−03 | 6.2528E−04 |
MRE (25, 100) | 4.8919E−04 | 4.3641E−03 | 1.3361E−02 | 5.3129E−03 | 6.1504E−04 |
MRE (30, 120) | 4.8241E−04 | 4.3558E−03 | 1.3349E−02 | 5.3045E−03 | 6.0884E−04 |
表3. 算例二:二阶中心差分格式最大相对误差
α | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | 0.99 |
---|---|---|---|---|---|
MRE (5, 20) | 5.3816E−04 | 4.3622E−03 | 1.3260E−02 | 5.2631E−03 | 6.0867E−04 |
MRE (10, 40) | 4.6863E−04 | 4.3050E−03 | 1.3212E−02 | 5.2373E−03 | 5.8355E−04 |
MRE (15, 60) | 4.6831E−04 | 4.3374E−03 | 1.3320E−02 | 5.2835E−03 | 5.9080E−04 |
MRE (20, 80) | 4.6800E−04 | 4.3449E−03 | 1.3347E−02 | 5.2934E−03 | 5.9297E−04 |
MRE (25, 100) | 4.6753E−04 | 4.3443E−03 | 1.3346E−02 | 5.2939E−03 | 5.9349E−04 |
MRE (30, 120) | 4.6705E−04 | 4.3417E−03 | 1.3338E−02 | 5.2908E−03 | 5.9350E−04 |
表4. 算例二:四阶中心差分格式最大相对误差
图2给出了两种格式在α分别取0.3和0.8时的真实解图像和误差图像。
图2. α 分别取0.3和0.8时算例二方程的数值解图像和两种格式的误差图像
基于Laplace变换和有限差分方法,本文提出了两种求解时间分数阶对流扩散方程的高效数值算法,证明了格式的无条件稳定性。数值实验表明,四阶紧致差分格式比二阶中心差分格式具有更高的计算效率和精度优势。与此同时,Laplace变换的使用限制了算法的精度,我们下一步将对此变换做进一步的改进。
国家自然科学基金青年项目(11701196,11701197)资助。
时 旭,崔 晨,刘佳奇. 利用Laplace变换求解时间分数阶对流扩散方程Solving Time Fractional Convection-Diffusion Equation Using Laplace Transform[J]. 应用数学进展, 2020, 09(10): 1701-1709. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.910197