简谐振动的理论内容见于诸多的振动力学和理论力学等书籍中,然而在关于简谐振动的初相位表达式上却存在着一个不易察觉的错误,本文指出和论证了这一错误,并在此基础上,给出了简谐振动初相位的正确表达式。 The content of simple harmonic vibration is presented in many books on vibration mechanics and theoretical mechanics. However, there is an imperceptible error in the initial phase expression of harmonic vibration, which is pointed out and demonstrated in this paper, and the correct expres-sion of the initial phase of harmonic vibration is given.
简谐振动的理论内容见于诸多的振动力学和理论力学等书籍中,然而在关于简谐振动的初相位表达式上却存在着一个不易察觉的错误,本文指出和论证了这一错误,并在此基础上,给出了简谐振动初相位的正确表达式。
简谐振动,初相位,振幅,频率
Jinfu Zhang
Department of Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an Shaanxi
Received: Nov. 18th, 2020; accepted: Dec. 11th, 2020; published: Dec. 18th, 2020
The content of simple harmonic vibration is presented in many books on vibration mechanics and theoretical mechanics. However, there is an imperceptible error in the initial phase expression of harmonic vibration, which is pointed out and demonstrated in this paper, and the correct expression of the initial phase of harmonic vibration is given.
Keywords:Simple Harmonic Vibration, Initial Phase, Amplitude, Frequency
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简谐振动是机械振动理论中最为基础的内容之一,许多复杂的振动可以看作是由多个简谐振动叠加而成。因此,常见的振动力学和理论力学等书籍(如 [
为了说明常见的振动力学和理论力学等书籍(如 [
单自由度系统的线性无阻尼自由振动微分方程的标准形式为 [
x ¨ + ω n 2 x = 0 (1)
式中x是描述振动位置的广义坐标, ω n 是系统的固有圆频率。容易求得方程(1)的解为 [
x = x 0 cos ω n t + x ˙ 0 ω n sin ω n t (2)
式中 x 0 = x ( 0 ) , x ˙ 0 = x ˙ ( 0 ) 。式(2)也可以写成简谐振动的形式 [
x = A sin ( ω n t + θ ) (3)
式中
A = x 0 2 + ( x ˙ 0 ω n ) 2 (4)
θ = arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) (5)
式(1)~(5)就是文献 [
将该式代入简谐振动表达式(3)后,所得到的描述简谐振动的运动方程 x = A sin [ ω n t + arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) ] 也存在着对应的错误。具体证明过程如下:
针对式(2),设
sin θ * = x 0 x 0 2 + ( x ˙ 0 ω n ) 2 (6)
cos θ * = x ˙ 0 ω n x 0 2 + ( x ˙ 0 ω n ) 2 (7)
这样式(2)就可以等价地改写为
x = A sin ( ω n t + θ * ) (8)
这里振幅A的表达式见式(4),但是初相位 θ * 的正确表达式却不同于式(5)。下面将由式(6)和式(7)出发,推出初相位 θ * 的正确表达式,并以此说明式(5)的错误所在。为此,针对初始条件 x 0 和 x ˙ 0 ,分以下四种情形进行讨论:
情形(1):当 x 0 > 0 且 x ˙ 0 < 0 的情形。在这种情形下,由式(6)和式(7)可以看出: sin θ * > 0 , cos θ * < 0 ,因此, θ * 落在第二象限内,又因为 tan θ * = ω n x 0 x ˙ 0 < 0 ,故可以将初相位 θ * 表达为 θ * = π + arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) ,显然该式不同于文献 [
情形(2):当 x 0 < 0 且 x ˙ 0 < 0 的情形。在这种情形下,由式(6)和式(7)可以看出: sin θ * < 0 , cos θ * < 0 ,因此, θ * 落在第三象限内,又因为 tan θ * = ω n x 0 x ˙ 0 > 0 ,故可以将初相位 θ * 表达为 θ * = π + arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) ,显然该式不同于式(5),两者的相差正好为π,即两者是反相的,因此,在情形(2)下,式(5)还是错误的。
情形(3):当 x 0 > 0 且 x ˙ 0 > 0 的情形。在该种情形下,由式(6)和式(7)可以看出: sin θ * > 0 , cos θ * > 0 ,因此, θ * 落在第一象限内,又因为 tan θ * = ω n x 0 x ˙ 0 > 0 ,故可以将初相位表达为 θ * = arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) ,显然该式与(5)相同,因此,在情形(3)下,式(5)是正确的。
情形(4):当 x 0 < 0 且 x ˙ 0 > 0 的情形。在这种情形下,由式(6)和式(7)可以看出: sin θ * < 0 , cos θ * > 0 ,因此, θ * 落在第四象限内,又因为 tan θ * = ω n x 0 x ˙ 0 < 0 ,故可以将初相位表达为 θ * = arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) ,显然该式与式(5)相同,因此,在情形(4)下,式(5)是正确的。
通过以上的讨论,可以看出:情形(1)和情形(2)可以归并为一种情形,即 x ˙ 0 < 0 的情形,在这种情形下,初相位的正确表达式为 θ * = π + arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) ,因此,在该种情形下,文献 [
θ * = { π + arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) , x ˙ 0 < 0 sign ( x 0 ) π 2 , x ˙ 0 = 0 arctan ( ω n x 0 x ˙ 0 ) , x ˙ 0 > 0 (9)
这就是简谐振动初相位的正确表达式,该式不同于常见的振动力学和理论力学等书籍(如 [
本文指出并论证了常见的振动力学和理论力学等书籍中关于简谐振动初相位表达式上存在的错误,在此基础上,给出了简谐振动初相位的正确表达式,显然这对于进一步完善和发展简谐振动理论都具有重要的学术意义。
张劲夫. 简谐振动初相位表达式的研究Research on the Expression for the Initial Phase of Simple Harmonic Vibration[J]. 力学研究, 2020, 09(04): 135-139. https://doi.org/10.12677/IJM.2020.94015