本文首先利用一个变换将描述肿瘤增长模型的Fokker-Planck方程转化为常微分方程,然后利用F-展开法和Mathematica软件构造出方程的一个精确解,最后描绘在不同参数情形下解的图像来展示解的性态。 We first use a transform to convert the Fokker-Planck equation describing the tumor growth model into an ordinary differential equation, then construct an exact solution of the equation by means of the F-expansion method and Mathematica software, and finally draw the figures of the solutions under the different choosing parameters to demonstrate the behaviors of the solutions.
本文首先利用一个变换将描述肿瘤增长模型的Fokker-Planck方程转化为常微分方程,然后利用F-展开法和Mathematica软件构造出方程的一个精确解,最后描绘在不同参数情形下解的图像来展示解的性态。
Fokker-Planck方程,F-展开法,Mathematica软件,雅各比椭圆函数
Zhuomadaiji, Suonanwangmao, Zhaxilamu, Yixizhuoma
College of Science, Minzu University of China, Beijing
Received: Dec. 25th, 2020; accepted: Jan. 19th, 2021; published: Jan. 27th, 2021
We first use a transform to convert the Fokker-Planck equation describing the tumor growth model into an ordinary differential equation, then construct an exact solution of the equation by means of the F-expansion method and Mathematica software, and finally draw the figures of the solutions under the different choosing parameters to demonstrate the behaviors of the solutions.
Keywords:Fokker-Planck Equation, F-Expansion Method, Mathematica Software, Jacobi Elliptic Function
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
近年来,用非线性发展方程刻画模型已引起了人们的广泛关注,并且成功地解决了一些模型的性态演化问题。如在文献 [
在许多专家学者的研究中,通过采用指数函数法、齐次平衡法、双曲正切法和F-展开法来求解非线性偏微分方程,得到了丰富的精确解。在文献 [
∂ f ∂ t + v ∂ f ∂ μ = f n ∂ 2 f ∂ v 2 , (1)
并运用F-展开法构造方程(1)的一个精确解,其中 t ∈ ( 0 , ∞ ) 是时间, v ∈ ( 0 , ∞ ) 是成熟速度, μ ∈ ( 0 , 1 ) 是成熟度。
本文的结构如下:在第2节,我们概述F-展开法的主要思路,然后利用Mathematica软件绘制图形,得到方程的精确解并且描述了方程模型。第3节对本文内容进行了简单的总结。
求解非线性偏微分方程的F-展开法可以看作是齐次平衡原则的新应用,为了简单起见,本文以两个自变量的情形为例来说明F-展开法的主要思路 [
给定非线性偏微分方程:
P ( u , u t , u x , u t t , u x t , u x x , ⋯ ) = 0 , (2)
P为其变元的多项式,其中含有非线性项和高阶偏导数项。
第一步:为了将偏微分转化为微分方程,我们令
u ( x , t ) = u ( ξ ) , ξ = m x + n t (3)
其中 m , n 为待定常数。将(3)式代入方程(2),则(2)式变为常微分方程
P ( u , m u ′ , n u ′ , ω 2 u ″ , k ω u ″ , k 2 u ″ , ⋯ ) = 0 (4)
第二步:用齐次平衡法原则确定N。
第三步:设 u ( ξ ) 为 F ( ξ ) 的洛朗级数形式
u ( x , t ) = ∑ i = − n n a i F i ( ξ ) (5)
其中 a i 是待定常数, F ( ξ ) 满足Jacobi椭圆方程
F ′ 2 = P F 4 + Q F 2 + R , (6)
其中 P , Q , R 是常数。具体的解的分类可见 [
第四步:将式(5)代入方程(4),利用方程(6)可将方程(4)的左端变成 F ( ξ ) 的多项式,合并 F ( ξ ) 多项式。
第五步:令 F ( ξ ) 的各次幂项的系数为零,得 a i 的含有 P , Q , R 的代数方程组,利用符号计算软件Mathematica解出 a i ,用 P , Q , R 表示的 a i 。
第六步:将 a i 的结果代入式子(5),得方程的行波解的一般形式,再由 F ( ξ ) 与 P , Q , R 关系代入 P , Q , R 的值得出由雅各比椭圆函数表示的解。
本节借助以上思路来构造非线性方程(1)的精确解。考虑如下形式的变换
f = t 3 u ( s ) , s = t v − μ + l 2 ln t ; (7)
其中 l = 0 或者 l = ± 1 。将变换(7)代入非线性方程(1),得到关于 u ( s ) 的常微分方程
− 3 n u ( s ) + l 2 u ′ ( s ) − u ( s ) n u ″ ( s ) = 0 , (8)
这里考虑一个特殊情形令 n = − 1 , l = 0 ,得到方程
3 u ( s ) 2 − u ″ ( s ) = 0 , (9)
利用F-展开法的思路,利用方程(9)中的非线性项与最高阶导数项 u ″ 与 u 2 ,齐次平衡后就可确定 N = 2 ,则方程(8)的解具有形式
u ( s ) = a 0 + a 1 F + b 1 F − 1 + a 2 F 2 + b 2 F − 2 , (10)
将(10)式代入方程(9)中,同时利用(6)式,合并F的同次幂项的系数,则方程(9)的左端
归结为 F ( s ) 的8次多项式:
( 3 b 2 2 − 6 b 2 R ) + ( 6 b 1 b 2 − 2 b 1 R ) F ( s ) + ( 3 b 1 2 + 6 a 0 b 2 − 4 b 2 Q ) F ( s ) 2 + ( 6 a 0 b 1 + 6 a 1 b 2 − b 1 Q ) F ( s ) 3 + ( 3 a 0 2 + 6 a 1 b 1 + 6 a 2 b 2 − 2 b 2 P − 2 a 2 R ) F ( s ) 4 + ( 6 a 0 a 1 + 6 a 2 b 1 − a 1 Q ) F ( s ) 5 + ( 3 a 1 2 + 6 a 0 a 2 − 4 a 2 Q ) F ( s ) 6 + ( 6 a 1 a 2 − 2 a 1 P ) F ( s ) 7 + ( 3 a 2 2 − 6 a 2 P ) F ( s ) 8
令 F ( s ) 的各次幂项的系数为零,得到关于 a i 代数方程组,解此代数方程组可得一组解:
a 0 = 2 Q 3 ; a 1 = 0 ; b 1 = 0 ; a 2 = 2 P ; b 2 = 2 R ; P = − Q 2 12 R ;
特别的,利用方程(6)的特解,我们可得 P = 1 ; Q = 2 m 2 − 1 ; R = − m 2 ( 1 − m 2 ) ; F = d s ξ
将 P , Q , R , F 与上面的解代入(10)式中可得
u ( s ) = − 1 3 − 1 8JacobiDS [ s , m ] 2 + 2 JacobiDS [ s , m ] 2 (11)
最后将(11)式代入(7)式中可得到方程(1)的精确解为
f = t 3 ( − 1 3 − 1 8 JacobiDS [ t v − μ , 2 − 3 2 ] 2 + 2 JacobiDS [ t v − μ , 2 − 3 2 ] 2 ) (12)
和
f = t 3 ( − 1 3 − 1 8 JacobiDS [ t v − μ , 2 + 3 2 ] 2 + 2 JacobiDS [ t v − μ , 2 + 3 2 ] 2 ) (13)
对于精确解(12)当分别取 t = 1 , t = 5 , t = 10 , v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 时,利用Mathematica软件 [
1) v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 在 t = 1 时解的演化过程见图1,此时有一个波峰。
2) v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 在 t = 5 时解的演化过程见图2,此时有两个波峰。
3) v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 在 t = 10 时解的演化过程见图3,此时有三个波峰。
图1. 当 t = 1 时解随 v , μ 的演化过程
图2. 当 t = 5 时解随 v , μ 的演化过程
图3. 当 t = 10 时解随 v , μ 的演化过程
对精确解(13)当分别取 t = 1 , t = 5 , t = 10 , v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 时利用Mathematica软件绘制解随时间演化的图形。
1) v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 在 t = 1 时解的演化过程见图4,此时只有一个波峰。
2) v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 在 t = 5 时解的演化过程如图5,此时只有一个波峰。
3) v ∈ ( 0 , 1 ) , μ ∈ ( 0 , 1 ) 在 t = 10 时解的演化过程见图6,此时有两个波峰。
图4. 当 t = 1 时解随 v , μ 的演化过程
综上:当 m = 2 − 3 2 时,由解(12)随时间的的演化图形知,随着时间的增大,波峰个数变为一个、
两个、三个。
当 m = 2 + 3 2 时,由解(13)随时间的演化图形知,随着时间的增大,波峰个数逐渐变为一个、一个、
两个,而造成这两种不同的原因可能与参数m的取值有关。
图5. 当 t = 5 时解随 v , μ 的演化过程
图6. 当 t = 10 时解随 v , μ 的演化过程
本文利用F-展开法 [
感谢中央民族大学本科生研究训练计划(URTP)——BEIJ2020110002的支持和张智勇导师的指导和帮助。
卓玛代吉,索南旺毛,扎西拉姆,义西卓玛. Fokker-Planck方程的一个精确解An Exact Solution of the Fokker-Planck Equation[J]. 应用数学进展, 2021, 10(01): 211-217. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.101024