在有界环形区域上,研究一类无穷Laplace方程的超定边值问题,证明方程解的对称性及环形区域的对称性。首先构造与点到边界距离有关的web函数作为方程特解,此特解的存在性等价于Ω为Stadium-like区域,通过对Stadium-like区域的性质分析,证明Ω为一个同心球环。该结论可以推广到Laplace方程与p-Laplace方程。 The aim of this paper is to study a class of overdetermined boundary value problems of ∞-Laplace equations in bounded annular domains, and prove the symmetry of both the solutions and the annular domains. Firstly, we construct a web function which is related with the distance to the boundary as a special solution of ∞-Laplace equations. Then by analyzing the properties of stadi-um-like domains, we prove that Ω is a spherical ring with same center via the fact that the existence of special solutions is equivalent to that Ω is a stadium-like domain. Finally, we show that the conclusion can be extended to Laplace equations and p-Laplace equations.
在有界环形区域上,研究一类无穷Laplace方程的超定边值问题,证明方程解的对称性及环形区域的对称性。首先构造与点到边界距离有关的web函数作为方程特解,此特解的存在性等价于Ω为Stadium-like区域,通过对Stadium-like区域的性质分析,证明Ω为一个同心球环。该结论可以推广到Laplace方程与p-Laplace方程。
无穷Laplace方程,超定边值问题,Stadium-Like区域,Web函数,对称性
Yanhui Li, Xiaotao Huang
College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Jiangsu
Received: Dec. 28th, 2020; accepted: Jan. 28th, 2021; published: Feb. 4th, 2021
The aim of this paper is to study a class of overdetermined boundary value problems of ∞-Laplace equations in bounded annular domains, and prove the symmetry of both the solutions and the annular domains. Firstly, we construct a web function which is related with the distance to the boundary as a special solution of ∞-Laplace equations. Then by analyzing the properties of stadium-like domains, we prove that Ω is a spherical ring with same center via the fact that the existence of special solutions is equivalent to that Ω is a stadium-like domain. Finally, we show that the conclusion can be extended to Laplace equations and p-Laplace equations.
Keywords:Infinity Laplace Equations, Overdetermined Boundary Value Problems, Stadium-Like Domains, Web Function, Symmetry
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
超定边值问题是偏微分方程研究的重要内容之一。从上世纪70年代开始,众多学者对微分方程的超定边值问题进行研究。1971年,Serrin [
{ − Δ u = 1 x ∈ Ω , u = 0 x ∈ ∂ Ω , − ∂ u ∂ v = c x ∈ ∂ Ω ,
在有界区域上解的对称性,得到方程解的特定形式,并证明了 Ω 是一个球。1987年,Garofalo和Lewis [
{ − Δ p u = 1 x ∈ Ω , u = 0 x ∈ ∂ Ω , − ∂ u ∂ v = c x ∈ ∂ Ω ,
的超定边值问题,得到了解和区域的对称性。2014年,Fall和Jarohs [
{ ( − Δ ) s u = 1 x ∈ Ω , u = 0 x ∈ R n \ Ω , − ∂ u ∂ v = c x ∈ ∂ Ω ,
得到方程解的形式并证明了 Ω 是一个球。
关于超定边值问题,不仅各类方程被充分研究,比如Laplace方程、高阶Laplace方程、k-Hessian方程、分数阶Laplace方程等,方程所在的各种区域也被充分研究,比如有界区域、外部区域、环形区域等。研究方法主要包括移动平面法、移动球面法 [
二阶非退化椭圆方程的超定边值问题已经取得了一系列丰富的成果,但关于退化椭圆方程超定边值问题的研究相对较少。本文拟研究一类退化椭圆方程即无穷Laplace方程在环形区域上的超定边值问题。关于无穷Laplace方程的研究最早起源于上世纪六十年代。Arosson [
无穷Laplace方程的一般形式为
Δ ∞ u = 〈 D 2 u D u , D u 〉 = ∑ i , j = 1 n D i u D j u D i j u = f ,
其中Du表示u的梯度, D 2 u 表示u的Hessian矩阵。
关于∞-Laplace方程解的存在唯一性,1993年Jensen [
关于∞-Laplace方程解的正则性,2008年Evans与Savin在文献 [
明了n维欧式空间中无穷调和函数是处处可微的。由反例可猜想无穷调和函数最好的正则性是 C 1 , 1 3 ,但
是目前还没有文献证明得到这一正则性指标。
关于无穷Laplace方程解的对称性,Buttzaao和Kawohl [
u = 0 − ∂ u ∂ n = a , x ∈ ∂ Ω ( a > 0 为常数)
下的超定边值问题,利用边界距离函数的性质得到了方程的一个对称粘性解。Crasta和Fragala [
本文尝试研究下列环形区域上的超定边值问题:假设 Ω 1 ⊂ Ω 2 ⊂ R n 为边界 C 2 光滑的有界区域, Ω : = Ω 2 \ Ω 1 ¯ , u ∈ C 1 ( Ω ¯ ) 为方程
{ − Δ ∞ u = 1 x ∈ Ω , ( 1.1 ) u = c , − ∂ u ∂ η 1 = a 1 x ∈ ∂ Ω 1 , ( 1.2 ) u = 0 , − ∂ u ∂ η 2 = a 2 x ∈ ∂ Ω 2 , ( 1.3 )
的粘性解,其中 c , a 1 , a 2 为某些固定的常数。
由于无穷Laplace算子的高度退化性,方程的研究存在一定的困难。且由于方程不存在极值原理,所以无法用移动平面法来证明解和区域的对称性。本文综合 [
本文将证明下述结论:
定理1:假设 Ω 1 ⊂ Ω 2 ⊂ R n 为边界为 C 2 的有界区域, Ω : = Ω 2 \ Ω 1 ¯ , B R 2 为 Ω 2 的半径为 R 2 的外接球, d ( x ) = d ( x , ∂ Ω 2 ) 。则函数
u ( x ) = 3 4 3 4 ( R 2 4 3 − ( R 2 − d ( x ) ) 4 3 )
是(1.1)~(1.3)的唯一web粘性对称解当且仅当 M ( Ω ) = R ( Ω ) ,并且 Ω 为一同心球环。
上述证明方法可应用到p-Laplace方程,得到下面推论:
推论2:假设 Ω 1 ⊂ Ω 2 ⊂ R n 为边界为 C 2 的有界区域, Ω : = Ω 2 \ Ω 1 ¯ , B R 2 为 Ω 2 的外接球,半径为 R 2 。则
u = p − 1 p n − p p − 1 ( R 2 p p − 1 − ( R 2 − d ( x ) ) p p − 1 ) ∈ C 2 ( Ω ¯ )
为下面超定边值问题
{ − Δ p u = 1 x ∈ Ω , ( 1.4 ) u = c , − ∂ u ∂ η 1 = a 1 x ∈ ∂ Ω 1 , ( 1.5 ) u = 0 , − ∂ u ∂ η 2 = a 2 x ∈ ∂ Ω 2 , ( 1.6 )
的唯一粘性对称解,其中 c , a 1 , a 2 为某些固定的常数, d ( x ) = d ( x , ∂ Ω 2 ) ,当且仅当 M ( Ω ) = R ( Ω ) ,并且 Ω 为一同心球环。
本文第二部分主要介绍所需要的一些预备知识,第三部分将给出定理以及推论的证明。
首先给出无穷Laplace方程和p-Laplace方程的一些基础知识和结论。
正如绪论说明,目前无穷Laplace方程和p-Laplace方程解的正则性最高只到 C 1 , α ,无法给出古典解的定义,所以在此给出方程粘性解的定义。
定义1 [
F ( D φ , D 2 φ ) ( x 0 ) = − 〈 D 2 φ D φ , D φ 〉 ( x 0 ) − 1 = − Δ ∞ φ ( x 0 ) − 1 ≤ 0
成立,则称u在 Ω 中是方程 − Δ ∞ u = 1 的粘性下解。
类似地,如果对任意的 x 0 ∈ Ω 和任意的检验函数 φ ∈ C 2 ( Ω ) ,若 u − φ 在 x 0 取得局部极小值,都有
F ( D φ , D 2 φ ) ( x 0 ) = − 〈 D 2 φ D φ , D φ 〉 ( x 0 ) − 1 = − Δ ∞ φ ( x 0 ) − 1 ≥ 0
成立,则称u在 Ω 中是方程 − Δ ∞ u = 1 的粘性上解。若u在 Ω 中既是方程 − Δ ∞ u = 1 的粘性下解又是粘性上解,则称u在 Ω 中是方程 − Δ ∞ u = 1 的粘性解。
同样地p-Laplace方程粘性解定义如下。
定义2:设 u ∈ C 1 ( Ω ¯ ) ,如果对任意的 x 0 ∈ Ω 和任意的检验函数 φ ∈ C 2 ( Ω ) ,若 u − φ 在 x 0 取得局部极大(小)值,都有
F ( D φ , D 2 φ ) ( x 0 ) = − Δ P φ ( x 0 ) − 1 = ( − | D φ | P − 2 t r a c e ( D 2 φ ) − ( p − 2 ) | D φ | P − 4 〈 D 2 φ D φ , D φ 〉 ) ( x 0 ) − 1 ≤ ( ≥ ) 0
成立,则称u在 Ω 中是方程 − Δ p u = 1 的粘性下(上)解。
若u在 Ω 中既是方程 − Δ p u = 1 的粘性下解又是粘性上解,则称u在 Ω 中是方程 − Δ p u = 1 的粘性解。
接下来给出两个方程解的唯一性结论。
引理1 [
− Δ ∞ w = f ( x )
的解, f ∈ C ( Ω ) 且满足 inf Ω ( f ) > 0 或 sup Ω ( f ) < 0 。如果
u = v , x ∈ ∂ Ω ,
那么 u = v , x ∈ ∂ Ω 。
引理2 [
− Δ p ω = f ( x )
的解, f > 0 为 Ω 上二阶连续可微的凸函数。如果
u = v , x ∈ ∂ Ω ,
那么 u = v , x ∈ ∂ Ω 。
下面给出距离函数的相关概念。
定义3:u为web函数当且仅当u只依赖于点x到 ∂ Ω 的距离
M ( Ω ) : = { y ∈ Ω | d ( y , ∂ Ω ) : = max x ∈ Ω d ( x , ∂ Ω ) }
也就是 u ( x ) = w ( d ( x ) ) 。
定义4 [
G ( Ω ) = { x ∈ Ω | 若 y , z ∈ ∂ Ω 满 足 d ( x , ∂ Ω ) = d ( x , y ) = d ( x , z ) , 则 y = z } ,
令 R ( Ω ) : = Ω \ G ( Ω ) 。
当 Ω 为一个矩形时, R ( Ω ) 和 M ( Ω ) 如下图1所示。
图1. R ( Ω ) (左图)和 M ( Ω ) (右图)
定义5 [
例:图2为两类常见的stadium-like区域
图2. Stadium-like区域
后文将用到关于距离函数的如下结论。
引理3 [
引理4 [
(1) Ω 为一球、同心球环或者一维 C 1 , 1 流形的平行邻域;
(2) 如果 Ω 为一凸区域,则 Ω 必为球。
在证明定理1之前,先陈述一个事实。
对于 [
{ − Δ u = 1 x ∈ Ω u = 0 x ∈ ∂ Ω − ∂ u ∂ v = c x ∈ ∂ Ω
Serrin证明了 Ω 为一半径为R的球,方程解为
u ( | x | ) = 1 2 n ( R 2 − r 2 ) ,
r为点到球心的距离,此时 c = − 1 n R 。由此可知球半径R与法方向c可相互确定。
本文我们将证明 Ω : = Ω 2 \ Ω 1 ¯ 为边界为 C 2 的同心球环,其中 Ω 1 : = B R 1 ( O ) , Ω 2 : = B R 2 ( O ) 。超定边值问题(1.1)~(1.3)的解为
u ( x ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − r 4 3 ) ,
r为点到球心的距离。相应的超定边值条件(1.2),(1.3)将分别为
u = c = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 1 ) 4 3 ) , − ∂ u ∂ η 1 = a 1 = 3 1 3 ( R 1 ) 1 3 , u = 0 , − ∂ u ∂ η 2 = a 2 = 3 1 3 ( R 2 ) 1 3 ,
由此可知, c , a 1 , a 2 可由半径 R 2 , R 1 确定。事实上,只要知道这五个参数中的任意两个,其他三个则可由此确定。
下面从充分性和必要性两方面来证明定理。为了更好理解证明,对无穷Laplace方程作一变形。已知函数u在方向 ν 的二阶导为 〈 D 2 u ν , ν 〉 ,如果 ν 表示u的最速下降方向 − D u / | D u | ,那么方程 − Δ ∞ u = 1 可以转化为
− u ν ν | u ν | 2 = 1
1) 充分性:构造函数
u ( x ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 2 − d ( x ) ) 4 3 ) ,
其在 Ω 内几乎处处可微。由引理3, u ( x ) ∈ C 2 ( Ω \ R ( Ω ) ¯ ) 。如果 M ( Ω ) = R ( Ω ) ,那么由引理4可知 为一同心球环, Ω 2 为半径为 R 2 的球, Ω 1 的半径为 R 1 。可以验证在 Ω \ R ( Ω ) ¯ 区域内,函数
u ( x ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 2 − d ( x ) ) 4 3 ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − | x | 4 3 )
为超定边值问题(1.1)~(1.3)的古典解;在 M ( Ω ) = R ( Ω ) 区域内,函数 u ( x ) 为超定边值问题(1.1)-(1.3)的粘性解。计算可知,此时
c = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 1 ) 4 3 ) , a 1 = 3 1 3 ( R 1 ) 1 3 , a 2 = 3 1 3 ( R 2 ) 1 3 .
最后粘性解的唯一性由引理1可以得到。充分性得证。
2) 必要性:由定义可知 M ( Ω ) ⊆ R ( Ω ) 。假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ,则存在点 z ∈ R ( Ω ) \ M ( Ω ) ,下面证明在z点函数u不满足粘性解的定义,即可以找到一个检验函数 φ ∈ C 2 ( Ω ) 不满足粘性解定义。
假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ,z位于 R ( Ω ) \ M ( Ω ) 的一直线上, d ( x , ∂ Ω 2 ) 在点z垂直于 R ( Ω ) 的 η 方向上的方向导数与在 − η 上的方向导数相反。我们可以构造函数
φ = − ( | x | − u ( z ) ) K + ε ( | x | − u ( z ) ) ∈ C 2 ( Ω ) ,
在点z从上方接近u使得 ∇ η φ ( z ) ≠ 0 且 φ η η ( z ) < − K ,K为一个任意大的数。因此 − Δ ∞ φ ( z ) > 1 ,这与粘性下解定义相矛盾,类似可证粘性上解的情况。因此证得 M ( Ω ) = R ( Ω ) 。由引理3知, Ω 为一个同心球环。必要性得证。
下面类似证明推论2。
1) 充分性:如果 M ( Ω ) = R ( Ω ) ,那么 Ω 为一同心球环, Ω 2 为半径为 R 2 的球, Ω 1 的半径为 R 1 。
构造函数
u ( x ) = n − p p − 1 p − 1 p ( ( R 2 ) p p − 1 − ( R 2 − d ( x ) ) p p − 1 ) ∈ C 2 ( Ω ¯ ) ,
该函数在 Ω 内几乎处处可微。由引理3, u ( x ) ∈ C 2 ( Ω ¯ \ R ( Ω ) ¯ ) 并且在此区域内为超定边值问题(2.1) ~ (2.3)的古典解。在 M ( Ω ) = R ( Ω ) 内, u ( x ) 为超定边值问题(1.4)~(1.6)的粘性解。此时可得到
c = u = n − p p − 1 p − 1 p ( ( R 2 ) p p − 1 − ( R 1 ) p p − 1 ) ,
a 1 = n − p p − 1 ( ( R 2 ) 1 p − 1 − ( R 1 ) p p − 1 ) , a 1 = n − p p − 1 ( ( R 2 ) 1 p − 1 ) .
由引理4,粘性解唯一。充分性得证。
2) 必要性: M ( Ω ) ⊆ R ( Ω ) 可由定义得到。假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ,存在点 z ∈ R ( Ω ) \ M ( Ω ) ,下面证明在这一点u不满足粘性解的定义,即可以找到一个检验函数 φ ∈ C 2 ( Ω ) 不满足粘性解定义。
假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ,z位于 R ( Ω ) \ M ( Ω ) 的一直线上, d ( x , ∂ Ω ) 在点z垂直于 R ( Ω ) 的 η 方向的方向导数与 − η 上相反,我们可以找到一个函数
φ = − ( | x | − u ( z ) ) K + ε ( | x | − u ( z ) ) ∈ C 2 ( Ω )
在点z从上接近u使得 ∇ η φ ( z ) ≠ 0 且 φ η η ( z ) < − K ,K为一个任意大的数。因此
F ( D φ , D 2 φ ) ( z ) = ( − | D φ | P − 2 t r a c e ( D 2 φ ) − ( p − 2 ) | D φ | P − 4 〈 D 2 φ D φ , D φ 〉 ) ( x 0 ) − 1 = ( − | D φ | P − 2 t r a c e ( D 2 φ ) − ( p − 2 ) | D φ | P − 4 φ η η | φ η | 2 ) ( x 0 ) − 1 > 0 ,
这与粘性下解相矛盾,类似可证粘性上解,从而 M ( Ω ) = R ( Ω ) 。由引理4知, Ω 为一个同心球环。必要性得证。
当 p = 2 且 Ω 1 为一个点时即为著名的Laplace方程在有界区域上的超定边值问题,可验证Serrin的结论:
假设 Ω 是一个边界为 C 2 的有界凸区域。那么
u = ( R 2 − ( R − d ( x ) ) 2 ) / 2 n ∈ C 2 ( Ω ¯ )
满足下面超定边值问题
{ − Δ u = 1 x ∈ Ω u = 0 x ∈ ∂ Ω − ∂ u ∂ v = c x ∈ ∂ Ω
其中 c = − R n ,R为点到边界的最大距离,那么 Ω 为一半径为R的球,此时
u = ( R 2 − ( R − d ( x ) ) 2 ) / 2 n = ( R 2 − | x | 2 ) / 2 n .
文献 [
南京航空航天大学青年科技创新基金(NS2019044)。
李艳辉,黄小涛. 无穷Laplace方程的超定边值问题Overdetermined Boundary Value Problems for the Infinity Laplace Equation[J]. 理论数学, 2021, 11(02): 164-172. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112023