在经典宽度理论基础上,将模糊数构成的集合作为被逼近集,讨论对角矩阵宽度的渐近阶得到1 ≤s<∞ 相应结论。本文继以上工作,利用函数的扎德扩张原理及Hausdorff距离讨论模糊对角矩阵宽度当s= ∞ 时的渐近阶。特别地,当模糊数集合限制在实数集合上时,这个误差估计和经典宽度理论相应的结果是一致的。 Based on the classical width theory, the set of fuzzy numbers is regarded as the approximated set. The asymptotic order of the width of diagonal matrix is discussed to 1 ≤s<∞ . This paper continues the above work. Using the function’s Zadeh’s expansion principle to discuss the width of diagonal matrix asymptotic order when s= ∞ . In particular, when fuzzy number set restrictions in real number set, the error estimation and the classical theory of the width of the corresponding results are consistent.
在经典宽度理论基础上,将模糊数构成的集合作为被逼近集,讨论对角矩阵宽度的渐近阶得到 1 ≤ s < ∞ 相应结论。本文继以上工作,利用函数的扎德扩张原理及Hausdorff距离讨论模糊对角矩阵宽度当 s = ∞ 时的渐近阶。特别地,当模糊数集合限制在实数集合上时,这个误差估计和经典宽度理论相应的结果是一致的。
模糊数,n-宽度,Zadeh扩张,对角算子
Xiaohang He, Shengwei Wu
School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan
Received: Jan. 8th, 2021; accepted: Feb. 10th, 2021; published: Feb. 20th, 2021
Based on the classical width theory, the set of fuzzy numbers is regarded as the approximated set. The asymptotic order of the width of diagonal matrix is discussed to 1 ≤ s < ∞ . This paper continues the above work. Using the function’s Zadeh’s expansion principle to discuss the width of diagonal matrix asymptotic order when s = ∞ . In particular, when fuzzy number set restrictions in real number set, the error estimation and the classical theory of the width of the corresponding results are consistent.
Keywords:Fuzzy Numbers, n-Widths, Zadeh’s Extension, Diagonal Operator
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
模糊数是模糊分析学中的一个重要研究领域,是实数概念的推广。它的应用也如同经典数遍及人工智能、决策优化、图像识别等诸多现代领域,充分体现了其在处理模糊性方面的优越性。宽度主要是从代数角度来研究集合或空间容量在一定意义下的最佳逼近问题,是逼近论的一个重要分支。宽度是函数逼近论中的主要的一个研究方向。主要目的是寻找函数类在一定意义下的最佳逼近方法,并对最佳逼近阶进行估计。宽度问题于1936年Kolmogorov首先 [
对于一个模糊集 u : R N → [ 0 , 1 ] 假定:
1) u是正规模糊集;
2) u是上半连续的;
3) u的承集 supp u = c l { x ∈ R N : u ( x ) > 0 }
紧集(其中cl表示集合的闭包运算);
4) u是凸模糊集,即
u ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≥ min { u ( x ) , u ( y ) } , 0 ≤ λ ≤ 1 对任意的 x , y ∈ R N ,则称u为一个模糊数,令 R N 是N维欧式空间, E N 是全体模糊数的集合。 R N 可以嵌入到 E N 中,对 ∀ u ∈ R N 定义
u ^ ( x ) = { 1 , u = x ; 0 , u ≠ x .
对于 u , v ∈ E N , α ∈ [ 0 , 1 ] ,u的 α 水平集为:
[ u ] α : = { { x ∈ R N : u ( x ) ≥ α } , 0 < α ≤ 1 ; supp u , α = 0.
在 E N 中定义代数运算:
[ u + v ] α = [ u ] α + [ v ] α , [ k u ] α = k [ u ] α , k ∈ R , α ∈ [ 0 , 1 ]
若 f : R N → R N 是一个函数,我们通过 f ˜ : E N → E N 函数定义f的Zadeh扩张
f ˜ ( u ) ( x ) = { sup z ∈ f − 1 ( x ) u ( z ) , f − 1 ( x ) ≠ φ ; 0 , f − 1 ( x ) = φ .
令 x = ( x 1 , ⋯ , x N ) ∈ R N 的n维赋范线性空间 ( R N , ‖ • ‖ ) 记为 l p N ,定义范数如下:
‖ x ‖ p = { ( ∑ i = 1 N | x i | p ) 1 / p , 1 ≤ p < ∞ ; max 1 ≤ i ≤ N | x i | , p = ∞ .
令 D = d i a g { D 1 , ⋯ , D N } 是一个 N × N 阶的对角矩阵,假设 D 1 ≥ D 2 ≥ ⋯ ≥ D N > 0 ,令 D p = { D x : ‖ x ‖ p ≤ 1 } 且 D p 的n宽度在文献 [
定理A ( [
d n ( D p ; l p N ) = d n ( D p ; l p N ) = b n ( D p ; l p N ) = δ n ( D p ; l p N ) = D n + 1
定理B ( [
d n ( D p ; l q N ) = d n ( D p ; l q N ) = δ n ( D p ; l q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 r
本文将使用以下符号。令 X n 是 R N 的n维子空间, L n 是 R N 的余维数为n的子空间, S ( X n ) 表示 X n 的单位球,令
X ˜ n = { u : u ∈ E N ; [ u ] 0 ⊆ X n } ;
L ˜ n = { u : u ∈ E N ; [ u ] 0 ⊆ L n } ;
S ( X ˜ n + 1 ) = { u : d ( u , 0 ^ ) ≤ 1 , u ∈ X ˜ n + 1 } .
令 P ˜ n 是秩为n的连续线性算子 P n : R N → R N 的Zadeh扩张。
定义1令 ( E N , d ) 是一个距离空间,且 A ⊆ E N 。
1) A在 E N 中的Kolmogorov n-宽度定义为
d n ( A ; E N ) = inf X ˜ n sup u ∈ A inf v ∈ X ˜ n d ( u , v ) .
其中左边的下确界 X ˜ n 取遍 E N 中的所有n维子空间, X ˜ n ⊂ E N 。
2) A在 E N 中的Bernstein n-宽度定义为
b n ( A ; E N ) = sup X ˜ n + 1 sup { λ : λ S ( X ˜ n + 1 ) ⊆ A } = sup X ˜ n + 1 inf x ∈ ∂ ( A ∩ X ˜ n + 1 ) d ( u , 0 ^ )
3) A在 E N 中的Gelfand n-宽度定义为
d n ( A ; E N ) = inf L ˜ n sup x ∈ A ∩ L ˜ n d ( u , 0 ^ )
其中下确界 L ˜ n 取遍 E N 的所有子空间。
4) A在 E N 中的线性n-宽度定义为
δ n ( A ; E N ) = inf v ∈ P ˜ n ( A ) sup u ∈ A d ( u , v ) .
其中下确界取遍所有的 P ˜ n 。
注:当A在实数集合中时,以上定义与经典宽度一致。
引理1 [
1) δ n ( A ; E N ) ≥ d n ( A ; E N ) ;
2) δ n ( A ; E N ) ≥ d n ( A ; E N ) 。
我们选择 E N 上一个合适的距离d来建立 ‖ x − y ‖ p 和 d ( u , v ) , x , y ∈ l p N , u , v ∈ E N ,之间的关系。 E N 中集合之间的距离可以通过 ‖ x − y ‖ p 来估计。
令 κ ( R N ) 是 l p N 中的非空紧集全体构成的空间,如果 A , B ∈ κ ( R N ) , 1 ≤ p < ∞ 则A与B的Hausdorf距离定义为
d H p ( A , B ) = max { sup a ∈ A inf b ∈ B ‖ a − b ‖ p , sup b ∈ B inf a ∈ A ‖ a − b ‖ p }
对 u , v ∈ E N , 1 ≤ p < ∞ , 1 ≤ s < ∞ , α ∈ [ 0 , 1 ] ,我们定义 1 ≤ p < ∞ , 1 ≤ s < ∞
d s p ( u , v ) = ( ∫ 0 1 d H p ( [ u ] α , [ v ] α ) s d α ) 1 / s .
令 L s , p N = ( E N , d s , p ) , d s , p 为 E N 上的 L s , p N 度量。
d ∞ , p ( u , v ) = sup α ∈ [ 0 , 1 ] d H p ( [ u ] α , [ v ] α ) ,为模糊数空间 E N 上的上确界度量(或一致Hausdorf度量) [
令 L ∞ , p N = ( E N , d ∞ , p ) , d ∞ , p 为 E N 上的 L ∞ , p N 度量。
引理2令 u ∈ E N , k ∈ R , α ∈ [ 0 , 1 ] , D = d i a g { D 1 , ⋯ , D N } , D 1 ≥ D 2 ≥ ⋯ ≥ D N > 0 是一个 N × N 阶的对角矩阵, D ˜ 是 D 的Zadeh扩张。则 d ∞ , p ( D ˜ ( k u ) , 0 ^ ) = | k | d ∞ , p ( D ˜ ( u ) , 0 ^ ) 。
证明:因为 supp 0 ^ = { 0 } ,所以
d ∞ , p ( D ˜ [ u ] α , k [ 0 ^ ] α ) = sup α ∈ [ 0 , 1 ] d H p ( D [ u ] α , k [ 0 ^ ] α ) = sup α ∈ [ 0 , 1 ] max { sup a ∈ [ u ] α inf b ∈ k [ 0 ^ ] α ‖ D a − b ‖ p , sup b ∈ k [ 0 ^ ] α inf a ∈ [ u ] α ‖ D a − b ‖ p } = sup α ∈ [ 0 , 1 ] sup a ∈ [ u ] α ‖ D a ‖ p
若 0 ≤ r 1 ≤ r 2 ≤ 1 , [ u ] r 2 ⊂ [ u ] r 1 ,于是 d ∞ , p ( D ˜ u , k 0 ^ ) = sup a ∈ [ u ] 0 ‖ D a ‖ p 。
类似的我们可以证得: d ∞ , p ( D ˜ ( k u ) , 0 ^ ) = | k | d ∞ , p ( D ˜ ( u ) , 0 ^ ) 。
在本文中,我们关注的是n-宽度的估计:
D ˜ P = { D ˜ u : u ∈ E N , d ∞ , p ( u , 0 ^ ) ≤ 1 } 和 D ˜ p − 1 = { D ˜ − 1 u : u ∈ E N , d ∞ , p ( u , 0 ^ ) ≤ 1 }
通常情况下,使用 [
定义2当 s = ∞ , 1 ≤ p ≤ ∞ 时, b n ( D ˜ P ; L ∞ , P N ) = sup X ˜ n + 1 inf u ∈ X ˜ n + 1 d ∞ p ( u , 0 ^ ) = 1 d ( D ˜ u , 0 ^ )
现在我们陈述主要结果:
定理1 当 s = ∞ ,
δ n ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) = d n ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) = d n ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) = b n ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) = D n + 1
定理2 当 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ , s = ∞ ,令 1 r = 1 q − 1 p ,则有
δ n ( D ˜ P ; L ∞ , q N ) = d n ( D ˜ P ; L ∞ , q N ) = d n ( D ˜ P ; L ∞ , q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 r
注:当 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ 时,定理1与定理2显然定理A与B的一般化。
证明这两个定理前我们需要一些引理
引理3 当 1 ≤ p ≤ ∞
1) δ n ( D ˜ P ; L ∞ , P N ) ≥ d n ( D ˜ P ; L ∞ , P N ) ≥ b n ( D ˜ P ; L ∞ , P N ) 。
2) δ n ( D ˜ P ; L ∞ , p N ) ≥ d n ( D ˜ P ; L ∞ , p N ) ≥ b n ( D ˜ P ; L ∞ , p N ) 。
证明方法类似于 [
引理4 对 p = ∞ , n < N ,时 b n ( D ˜ P ; L ∞ , p N ) d N − n − 1 ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) = 1
证明方法类似于 [
定理1的证明:令 p n = d i a g ( D 1 , ⋯ , D n , 0 , ⋯ , 0 ) ,对任意的 u ∈ E N ,有
d H p ( [ D ˜ u ] α , [ P ˜ n u ] α ) = d H p ( D [ u ] α , P n [ u ] α ) = max { sup a ∈ [ u ] α inf b ∈ [ u ] α ‖ D a − P n b ‖ p , sup b ∈ [ u ] α inf a ∈ [ u ] α ‖ D a − P n b ‖ p } = max a ∈ [ u ] α ‖ ( D − P n ) a ‖ p (1)
因此
δ n ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) = inf P ˜ n sup u ∈ E N ‖ D ˜ u − P ˜ n u ‖ p ≤ max d ∞ p ( u , 0 ^ ) ≤ 1 d ∞ , p ( D ˜ u , P ˜ n u ) = max u ≠ 0 ^ d ∞ , p ( D ˜ u , P ˜ n u ) d ∞ , p ( u , 0 ^ ) = max u ≠ 0 ^ sup α ∈ [ 0 , 1 ] d H p ( [ D ˜ u ] α , [ P ˜ n u ] α ) sup α ∈ [ 0 , 1 ] d H p ( [ u ] α , [ 0 ^ ] α ) = max u ≠ 0 ^ max a ∈ [ u ] 0 ‖ D ˜ − P ˜ n ( a ) ‖ p max a ∈ [ u ] 0 ‖ a ‖ p = max u ≠ 0 ^ max a ∈ [ u ] 0 ( ∑ i = n + 1 N | D ˜ i a i | p ) 1 p max a ∈ [ u ] 0 ‖ a ‖ p ≤ max u ≠ 0 ^ D n + 1 ( max a ∈ [ u ] 0 ( ∑ i = n + 1 N | a i | p ) 1 p ) max a ∈ [ u ] 0 ‖ a ‖ p ≤ D n + 1
同理 δ n ( D ˜ p ; L ∞ , p N ) ≤ 1 / D n + 1 。
由引理4知: b n ( D ˜ p , L ∞ , p N ) = ( d M − n − 1 ( D ˜ p − 1 , L ∞ , p N ) ) − 1 ≥ ( δ n ( D ˜ p − 1 , L ∞ , p N ) ) − 1 ,因此 b n ( D ˜ p , L ∞ , p N ) = D n + 1 通过引理3,我们证明了这四个n-宽等于 D n + 1 。
引理5令 1 ≤ p , q < ∞ ,且 1 p + 1 p ′ = 1 q + 1 q ′ = 1 。则 d n ( D ˜ p ; L ∞ , q N ) ≥ d n ( D ˜ q ′ ; L ∞ , p N ) 。
证明方法类似于 [
定理2的证明,首先证明: δ n ( D ˜ p ; L ∞ , q N ) ≤ ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 。
令 p n = d i a g ( D 1 , ⋯ , D n , 0 , ⋯ , 0 ) ,对任意的 u ∈ E N ,如定理1中(1)的证明
d H q ( [ D ˜ u ] α , [ P ˜ n u ] α ) = sup a ∈ [ u ] α ‖ ( D − P n ) a ‖ q = sup a ∈ [ u ] α ( ∑ k = n + 1 N | D k a k | q ) 1 / q ,
又由 1 r = 1 q − 1 p 和Holder不等式有
( ∑ k = n + 1 N | D k a k | q ) 1 / q ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r ( ∑ k = n + 1 N | a k | p ) 1 / p ,
所以有
d H q ( [ D ˜ u ] α , [ P ˜ n u ] α ) ≤ sup a ∈ [ u ] α ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r ( ∑ k = n + 1 N | a k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r sup a ∈ [ u ] α ( ∑ k = 1 N | a k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r d H p ( [ u ] α , [ 0 ^ ] α )
所以
δ n ( D ˜ p ; L ∞ , q N ) = inf P n sup u ∈ E N ‖ D ˜ u − P ˜ n u ‖ p ≤ max d ∞ p ( u , 0 ^ ) ≤ 1 d ∞ , p N ( [ D u ] α , [ P n u ] α ) ≤ max d ∞ p ( u , 0 ^ ) ≤ 1 sup α ∈ [ 0 , 1 ] d H q ( D ( [ u ] α ) , P n ( [ u ] α ) ) ≤ max d p ( u , 0 ^ ) ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r d ∞ , p N ( u , 0 ^ ) ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r (2)
现证明: d n ( D ˜ p , L ∞ , q N ) ≥ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r ,
由引理1得: d H q ( [ D ˜ u ] α , [ 0 ^ ] α ) = d H q ( D ( [ u ] α ) , [ 0 ^ ] α ) = max a ∈ [ u ] α ‖ D a ‖ q = max a ∈ [ u ] α ( ∑ k = 1 N | D k a k | q ) 1 / q
且 d H p ( [ u ] α , [ 0 ^ ] α ) = max a ∈ [ u ] α ( ∑ k = 1 N | a k | p ) 1 / p
又由 d n ( D ˜ p , L ∞ , q N ) 的定义和定理B得
d n ( D ˜ P , L ∞ , q N ) ≥ d n ( D P , L ∞ , q N ) = d n ( D P , l q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r (3)
结合式子(2),(3)和引理1的(2)
有 δ n ( D ˜ p , L ∞ , q N ) = d n ( D ˜ p , L ∞ , q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r
类似的有 δ n ( D ˜ q ′ , L ∞ , p N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 和 d n ( D ˜ q ′ , L ∞ , p ′ N ) ≥ ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r
又由引理1(1)和引理5得 d n ( D ˜ P ; L ∞ , q N ) ≥ ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 。
2020年“西华杯”大学生创新创业项目(2020108)。
贺小航,吴圣伟. 模糊数对角算子宽度Width of Fuzzy Number Diagonal Operator[J]. 运筹与模糊学, 2021, 11(01): 97-104. https://doi.org/10.12677/ORF.2021.111012