基于Lord-Shulman 广义热弹性理论,本文研究了一维实心肋片、多孔肋片在竖直方向的均匀磁场作用下受瞬态热冲击的电磁热弹性耦合问题,通过数值方法求解控制方程,得到了温度和应力分布规律。此外,还研究了在非傅立叶条件下,多孔肋片的孔隙效应(Np)、对流效应(Nc)和辐射效应(Nr)对温度和应力的影响。结果表明:在非傅立叶条件下,孔隙效应、辐射效应和对流效应有利于传热的进行,多孔肋片的传热效率随各参数的增大而增大,且与其他参数相比,辐射效应对温度和应力的影响最显著。 Based on the Lord-Shulman generalized thermoelastic theory, this paper studies the electromag-netic thermoelastic coupling problem of one-dimensional solid fins and porous fins subjected to transient thermal shock under the action of a vertical uniform magnetic field. The control equation is solved by numerical method, and the distribution of temperature and stress is obtained. In addi-tion, the effects of the pore effect (Np), convection effect (Nc) and radiation effect (Nr) on the tem-perature and stress of the porous rib are also studied. The results show that the pore effect, radia-tion effect and convection effect are beneficial to heat transfer under non-Fourierheat condition. The heat transfer efficiency of porous fin increases with the increase of parameters, and the radia-tion effect has the most significant effect on temperature and stress compared with other parame-ters.
基于Lord-Shulman 广义热弹性理论,本文研究了一维实心肋片、多孔肋片在竖直方向的均匀磁场作用下受瞬态热冲击的电磁热弹性耦合问题,通过数值方法求解控制方程,得到了温度和应力分布规律。此外,还研究了在非傅立叶条件下,多孔肋片的孔隙效应(Np)、对流效应(Nc)和辐射效应(Nr)对温度和应力的影响。结果表明:在非傅立叶条件下,孔隙效应、辐射效应和对流效应有利于传热的进行,多孔肋片的传热效率随各参数的增大而增大,且与其他参数相比,辐射效应对温度和应力的影响最显著。
非傅立叶传热,多孔肋片,热应力,磁场
Sifan Yu, Ling Li*
School of Energy and Power, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Nov. 30th, 2020; accepted: Feb. 17th, 2021; published: Feb. 25th, 2021
Based on the Lord-Shulman generalized thermoelastic theory, this paper studies the electromagnetic thermoelastic coupling problem of one-dimensional solid fins and porous fins subjected to transient thermal shock under the action of a vertical uniform magnetic field. The control equation is solved by numerical method, and the distribution of temperature and stress is obtained. In addition, the effects of the pore effect (Np), convection effect (Nc) and radiation effect (Nr) on the temperature and stress of the porous rib are also studied. The results show that the pore effect, radiation effect and convection effect are beneficial to heat transfer under non-Fourierheat condition. The heat transfer efficiency of porous fin increases with the increase of parameters, and the radiation effect has the most significant effect on temperature and stress compared with other parameters.
Keywords:Non-Fourier Heat Conduction, Porous Fin, Thermal Stress, Electromagnetic Field
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
超集成化产品工作时,其表面会在短时间之内产生超高的温度或者热流,进而影响产品的性能和寿命,因此如何实现其表面的快速散热是近些年来学者们关注的焦点 [
Kraus等 [
由Lord和Shulman发展起来的热弹性理论,通过在经典傅里叶热传导定律中引入热流密度及热松弛时间τ获得了一种新的波形热传导定律,确保了热波的有限传播速度。本文基于Lord-Shulman广义热弹性理论建立了肋片内的电磁热弹耦合方程,主要从两个方面进行研究。首先,以一维实心肋片为研究对象,着重分析肋片在瞬态热冲击下,磁场强度对肋片内应力及温度分布的影响。其次,研究了多孔肋片在非傅里叶条件下受瞬态热冲击的多场耦合问题,分析了多孔肋片的孔隙效应,对流效应及辐射效应对多孔肋片的温度及应力分布的影响。
物理模型如图1所示,多孔肋片处于一个磁场强度为H0方向竖直向上的磁场中。假设肋片在垂直纸面方向上不发生变化,并且肋片表面上的换热热阻远小于导热热阻,即任一截面上的温度是均匀的,因此将肋片受热冲击简化为一维问题 [
图1. 物理模型
描述传热过程的导热方程为:
k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c E ∂ T ∂ t + τ ρ c E ∂ 2 T ∂ t 2 + γ T 0 ∂ 2 u ∂ t ∂ x + τ γ T 0 ∂ 3 u ∂ t 2 ∂ x + S + τ S ′ (1)
式中, γ = ( 3 λ + 2 μ ) α t , α t 为线性膨胀系数。S项分别对应肋片的对流、辐射及孔隙率的影响 [
S = h P ( 1 − φ ) A ( T − T 0 ) + ε σ F f - a P ( 1 − φ ) A ( T 4 − T 0 4 ) + φ ρ f c E , f � β f K P ν f A ( T − T 0 ) 2 = h a P ( 1 − φ ) A ( T − T 0 ) m + 1 ( T b − T 0 ) m + ε σ F f - a P ( 1 − φ ) A ( T 4 − T 0 4 ) + φ ρ f c E , f � β f K P ν f A ( T − T 0 ) 2 (2)
上式中,h为对流换热系数, h = h a ( T − T 0 ) m ( T b − T 0 ) m ,m表示不同的热传递模式。从导热方程中可以看出,温度场的分布受运动场的影响。
描述应变过程的运动方程为:
ρ ∂ 2 u ∂ t 2 = ( λ + 2 μ ) ∂ 2 u ∂ x 2 − γ ∂ T ∂ x + μ e H 0 2 ∂ 2 u ∂ x 2 (3)
运动方程中, μ e H 0 2 ∂ 2 u ∂ x 2 表征磁场项,运行场的分布受到温度场和磁场的共同影响。
应力方程为:
σ = ( λ + 2 μ ) ∂ u ∂ x − γ T + μ e H 0 2 ∂ u ∂ x (4)
上述各式中的物理量代表的含义如表1所示。
引入如下无量纲量:
x * = c 1 η 1 x , u * = c 1 η 1 u , t * = c 1 2 η 1 t , τ * = c 1 2 η 1 τ , θ * = T / T 0 , σ * = σ / μ ,
b = γ T 0 μ , g = γ ρ c E , h = μ e H 0 2 μ , β 2 = λ + 2 μ μ , ϵ = μ e H 0 2 μ ,
N c = k ( ρ c E c 1 ) 2 h a P ( 1 − φ ) A ( θ b − θ 0 ) m , N r = k ε σ F f - a P ( 1 − φ ) ( ρ c E c 1 ) 2 A T 0 3 , N p = k ( ρ c E c 1 ) 2 φ ρ f c E , f � β f K T 0 P ν f A 。其中,c1为等温弹性波的传播速度, c 1 2 = λ + 2 μ ρ , η 1 = ρ c E k 。
对方程(1) (3) (4)进行无量纲处理:
∂ 2 θ ∂ x 2 = ( 1 + τ ∂ ∂ t ) ( ∂ θ ∂ t + g ∂ 2 u ∂ t ∂ x + N c ( θ − θ 0 ) m + 1 + N r ( θ 4 − θ 0 4 ) + N p ( θ − θ 0 ) 2 ) (5)
β 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ( β 2 + ϵ ) ∂ 2 u ∂ x 2 − b ∂ θ ∂ x (6)
σ = ( β 2 + ϵ ) ∂ u ∂ x − b θ (7)
初始条件:
θ ( x , t ) = 0 , t = 0
u ( x , t ) = 0 , t = 0
边界条件:
θ ( x , t ) = θ 0 H ( t ) , x = 0
σ ( x , t ) = 0 , x = 0
∂ θ ∂ x = 0 , x = L
σ ( x , t ) = 0 , x = L
名词 | 意义 | 名词 | 意义 |
---|---|---|---|
k | 热传导系数 | νf | 流体的运动粘度 |
ρ | 密度 | Tb | 肋基温度 |
cE | 比热 | P | 肋片横截面周长 |
τ | 热松弛时间 | A | 肋片横截面面积 |
αt | 线性膨胀系数 | φ | 孔隙率 |
T0 | 环境温度 | λ | 第一拉梅常数 |
h | 对流换热系数 | μ | 第二拉梅常数 |
ε | 表面发射率 | μe | 磁导率 |
σ | 斯蒂芬玻尔兹曼常数 | H0 | 磁场强度 |
Ff-a | 辐射传热的形状因子 | c1 | 等温弹性波波速 |
---|---|---|---|
ρf | 流体的密度 | Nc | 对流效应参数 |
cE,f | 流体的比热 | Nr | 辐射效应参数 |
g | 引力常数 | Np | 孔隙率效应参数 |
βf | 流体的体积膨胀系数 | θ | 温度 |
K | 多孔肋片的渗透率 |
表1. 名词符号表
本文采用数值离散方法对该问题进行求解。为验证程序的可靠性,利用该程序计算了不同时刻自由状态下实心铜肋片内的温度和热应力分布情况,并与拉普拉斯变换的数值反演 [
λ = 7 . 76 , μ = 3.86 × 10 10 , α t = 1.78 × 10 − 5 , С = 383.1 , ρ = 8954 , T 0 = 293 ,
ε = 0.161 , β 2 = 4 , b = 0.042 , g = 1.61 , θ 0 = 1 , L x = 1 , τ = 0.02
可以发现,数值计算结果与解析解基本一致。因此,编写的程序是可靠的。
图2. 模型验证
固体在热冲击下会发生变形从而产生应力,由于磁场的作用,肋片内的温度及应力分布均会受到影响。论文研究了在磁感强度恒定的电磁场作用下,实心肋片在其表面受热冲击时的电磁热弹性耦合问题。肋片材料为铜,相关参数同上,磁感强度H0 = 5 × 108,热松弛时间τ= 0.02,θ0 = 1,Lx = 1。
无量纲时间分别为0.05、0.1时不同磁场强度下的温度及应力响应如图3所示。从图中可以看到,在同样的无量纲时间下,磁场强度对温度分布的影响甚微,其影响主要体现在应力上。如图3(b)所示,靠近肋基的部分由于受到热冲击膨胀而产生拉应力,沿X轴方向向后介质产生压应力,发生压缩变形,热波没有传递到的部分则保持零值。变形是一个动态过程,随着时间的推移,膨胀区逐渐向后移动,并且数值变大。其次,同样的无量纲时间下,磁场强度会对应力场分布有影响。若物理模型加入磁场项,得到的应力分布拉压应力拐点会向后偏移,但是并不影响热波跳跃不连续的位置,会在同一时刻跳跃到零值。相对于无磁场的情况,磁场的存在会使拉应力与压应力增大,应力波的传播速度加快波动更剧烈,对实际的工程项目有重要指导意义。
图3. 电磁力对温度和应力的影响
论文进而考虑了多孔肋片孔隙率、对流效应及辐射效应对肋片性能的影响,研究了一维多孔肋片在其表面受热冲击时的电磁热弹性耦合问题。引入孔隙参数φ,肋片材料取铜,参数同上,取H0 = 0,热松弛时间τ = 0.02,θ0 = 1,Lx = 1。
图4显示了在傅里叶和非傅里叶条件下,温度和应力分布随孔隙参数(Np)的变化,忽略辐射和对流效应(Nc = 0, Nr = 0)。当不考虑非傅里叶效应,即无量纲弛豫时间为0 (τ = 0)时,温度及应力分布不存在间断性,这可以解释为热波以无限的速度传播。
图4. 温度和应力分布(Nr = 0, Nc = 0, t = 0.05)
当考虑非傅里叶效应时,图4(a)为无量纲时间0.05时多孔肋片的温度分布图,从图中可看出,不连续性发生在X = 0.35,即热扰动只传递到X < 0.35区域。另外,无量纲温度随Np的增加而降低,这是因为Np值越高,多孔肋片的温度梯度越大,传热速率越快,所以随着Np的增加,肋片接近周围温度的速度更快。此外,尽管Np值的变化会影响温度分布,但是并不影响跳跃不连续的位置。图4(b)显示了热应力随不同孔隙率参数Np的分布情况。同温度分布一样,不连续性发生X = 0.35。另外,Np值对拉压应力区域的影响不一致,在靠近肋基侧拉应力区域,随着Np参数的增加,拉应力逐渐增大;在压应力区域,应力值随Np参数的增大而减小。并且,Np值的变化并不影响拉压应力拐点和热波不连续的位置。
图5描述了辐射换热效应Nr对肋片内温度和应力分布的影响(Nc = 0,Np = 8,Nr = 1、8、15)。图6显示的是不同Nc值对肋片换热的影响(Np = 8,Nr = 1,Nc = 1、5、10)。根据图4、图5、图6可以得到,Np,Nr,Nc对肋片散热和应力均具有积极影响,增大各个参数值可以使肋片散热更快,同时降低热应力。与其他参数相比,Nc对肋片传热及应力的影响最小,Nr影响最大。
图5. 温度和应力分布(Np = 8, Nc = 0, t = 0.05)
图6. 温度和应力分布(Np = 8, Nr = 1, t = 0.05)
本节研究了多孔肋片在周期性边界条件热冲击下的电磁热弹耦合问题。肋基温度为 θ = θ 0 + B cos ( w t ) ,取θ0 = 1,B = 10,w = 2、8、16。图7(a)描述了傅里叶和非傅里叶条件下不同频率值对肋片温度分布的影响,从图中可以得知,频率的变化没有影响到温度的不连续性。图7(b)热应力分布中,增加w值会导致靠近肋基的膨胀区域拉应力变大,压缩区域压应力减小,同时w值的改变不会影响拉压应力拐点和波动不连续的位置。值得一提的是,在材料物性参数及热松弛时间确定的情况下,只有无量纲时间会影响热波的传播距离,其余参数均无影响。
图7. 温度和应力分布(Np = 8, Nr = 1, t = 0.05)
本文研究了多孔肋片处于电磁空间受瞬态热冲击时的电磁热弹性耦合问题。首先以实心肋片为研究对象,分析了磁场强度对肋片内温度及应力分布的影响,进而研究了孔隙率效应Np、辐射效应Nr、对流换热效应Nc对多孔肋片换热性能的影响。结果表明:1) 当肋片处于磁场环境下,磁场强度对温度分布影响很小,主要影响应力分布。磁场强度的存在会导致应力分布拉压应力拐点会向后偏移,但是热波跳跃不连续的位置不会改变。2) Np,Nr,Nc能增大肋片换热效率,其中Nr对传热的影响最大,Nc影响最小。3) 无量纲温度及热应力分布间断的位置受弛豫时间和无量纲时间的影响,而Np,Nr,Nc等参数对温度间断没有影响。
余斯凡,李 凌. 周期性边界条件下多孔肋片电磁热弹性力学性能分析Analysis of Electromagnetic Thermoelastic Mechanical Properties of Porous Fins under Periodic Boundary Condition[J]. 建模与仿真, 2021, 10(01): 178-186. https://doi.org/10.12677/MOS.2021.101019