给定李群胚
给定李群胚 Ι : G ⇉ M 以及I-空间N,本文考虑了余切群胚 T ∗ G ⇉ A ∗ G 在余切丛 T ∗ N 上的辛群胚作用,并给出了辛约化的具体表示。
李群胚,辛流形,辛群胚,余切群胚,辛约化
Yuanli Dai
Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan
Received: Feb. 11th, 2021; accepted: Mar. 11th, 2021; published: Mar. 18th, 2021
Given a Lie groupoid Ι : G ⇉ M and I-space N, this paper considers symplectic groupoid actions of the cotangent groupoid T ∗ G ⇉ A ∗ G on the cotangent bundle T ∗ N . Meanwhile, this reduction is investigated concretely.
Keywords:Lie Groupoid, Symplectic Manifold, Symplectic Groupoid, Cotangent Groupoid, Symplectic Reduction
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约化理论起源于力学发展的早期阶段,是一种古典但历久弥新的理论。由于辛几何与Hamiltonian力学的紧密联系,约化理论在辛几何中也得到了充分的发展,即辛约化理论。在经典辛约化理论中G-等变的矩映射 J : M → ( L i e G ) ∗ 生成Lie群G在辛流形M上的Hamiltonian作用,从而在必要的附加条件下可得到辛约化流形 M r e d : = J − 1 ( u ) / G u 。辛约化理论起源于Arnold [
本文要考虑的余切群胚辛约化与经典辛约化理论中的两种重要情形,即余切丛辛约化和辛群胚约化,有着密切的联系。具体来说,给定李群胚 Ι : G ⇉ M 以及I-空间N,即给定 C ∞ 流形N以及 G ⇉ M 在N上的作用。我们可以证明余切群胚 T ∗ G ⇉ A ∗ G 是李群胚。若李群胚 G ⇉ M 在N上的作用能被提升为余切群胚 T ∗ G ⇉ A ∗ G 在余切丛余切群胚 T ∗ N 上的辛作用,则由辛约化技巧 [
首先回顾辛群胚的定义。
定义2.1 [
1. 对任意 ( h , g ) ∈ G 2 ,有 α ( h g ) = α ( g ) 且 β ( h g ) = β ( h ) ;
2. 对任意 g , h , k ∈ G ,有 ( g h ) k = g ( h k ) ,其中 α ( g ) = β ( h ) 且 α ( h ) = β ( k ) ;
3. 对任意 x ∈ M , α ( 1 x ) = β ( 1 x ) = x ;
4. 对任意 g ∈ G ,有 g 1 α g = g , 1 β g g = g ;
5. 对任意 g ∈ G ,G中存在逆元 g − 1 ,满足 α ( g − 1 ) = β ( g ) , β ( g − 1 ) = α ( g ) , g − 1 g = 1 α g , g g − 1 = 1 β g 。
定义2.2 [
定义2.3 [
引理2.1 [
给定李群胚 G ⇉ M ,以 T α G → G 表示由切映射 T ( α ) : T G → T M 诱导的向量丛,以 1 : M → G , m ↦ 1 m 表示单位映射。定义向量丛 A G → M 为 T α G → G 在 C ∞ 映射 1 : M → G 下的拉回丛,从而对 ∀ x ∈ M ,纤维 A x G = ker T 1 x ( α ) = T 1 x α − 1 ( x ) ⊂ T 1 x G 。
定义结构映射 α , β ,乘积映射 · ,单位映射 1 ˜ ,以及逆映射如下:
① 定义 α ˜ : T ∗ G → A ∗ G , ϕ ↦ α ˜ ( ϕ ) ,使得对 ∀ X ∈ A α g G ,有 〈 α ˜ ( ϕ ) , X 〉 = 〈 ϕ , T ( L g ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 。其中 a = a G : A G → T M 为向量丛间的丛映射使得对 ∀ x ∈ M , a x : A x G → T x M , X ↦ d β | 1 x ( X ) ,这里
X ∈ T 1 x G 满足 d α | 1 x ( X ) = 0 。
② 定义 β ˜ : T ∗ G → A ∗ G , ϕ ↦ β ˜ ( ϕ ) ,使得对 ∀ Y ∈ A β g G ,有 〈 β ˜ ( ϕ ) , Y 〉 = 〈 ϕ , T ( R g ) Y 〉 。
③ 定义乘法运算 · : T ∗ G × T ∗ G → T ∗ G , ( ϕ , ψ ) ↦ ϕ · ψ 。其中 ϕ ∈ T g ∗ G , ψ ∈ T h ∗ G 满足 α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) 。这里 X ∈ T g G 和 Y ∈ T h G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y 使得 〈 ϕ · ψ , X · Y 〉 = 〈 ϕ , X 〉 + 〈 ψ , Y 〉 。
④ 定义单位映射 1 ˜ : A ∗ G → T ∗ G ,使得对 ∀ φ ∈ A m ∗ G , ξ ∈ T 1 m G ,有 〈 1 ˜ φ , ξ 〉 = 〈 φ , ξ − T ( 1 ) T ( α ) ξ 〉 。
⑤ 定义逆运算: T ∗ G → T ∗ G , ϕ ↦ ϕ − 1 。使得对 ∀ X ∈ T g G 有 〈 ϕ − 1 , X − 1 〉 = − 〈 ϕ , X 〉 (其中
ϕ ∈ T g ∗ G , X − 1 ∈ T g − 1 G 为X在逆运算 G → G 的诱导切映射 T g G → T g − 1 G 下的像)。
定理2.1 给定李群胚 G ⇉ M ,在上述定义的映射下, T ∗ G ⇉ A ∗ G 为辛群胚。称 T ∗ G ⇉ A ∗ G 为余切群胚。
证明:(1) 验证群胚结构:
① 任取 ϕ ∈ T g ∗ G , ψ ∈ T h ∗ G ,使得 α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) ,则 ϕ · ψ ∈ T g h ∗ G 。需说明 α ˜ ( ϕ · ψ ) = α ˜ ( ψ ) , β ˜ ( ϕ · ψ ) = β ˜ ( ϕ ) 。
事实上, ∀ X ∈ A α ( g h ) G = A α ( h ) G ,有
〈 α ˜ ( ϕ · ψ ) , X 〉 = 〈 ϕ · ψ , T ( L g h ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 ϕ · ψ , 0 · T ( L h ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 ϕ , 0 〉 + 〈 ψ , T ( L h ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 α ˜ ( ψ ) , X 〉
从而 α ˜ ( ϕ · ψ ) = α ˜ ( ψ ) 。
∀ Y ∈ A β ( g h ) G = A β ( g ) G ,有
〈 β ˜ ( ϕ · ψ ) , Y 〉 = 〈 ϕ · ψ , T ( R g h ) ( Y ) 〉 = 〈 ϕ · ψ , T ( R g ) ( Y ) · 0 〉 = 〈 ϕ , T ( R g ) ( Y ) 〉 + 〈 ψ , 0 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) , Y 〉 ,
从而 β ˜ ( ϕ · ψ ) = β ˜ ( ϕ ) 。
② 任取 ϕ 1 ∈ T f ∗ G , ϕ 2 ∈ T g ∗ G , ϕ 3 ∈ T h ∗ G ,且满足 α ˜ ( ϕ 1 ) = β ˜ ( ϕ 2 ) , α ˜ ( ϕ 2 ) = β ˜ ( ϕ 3 ) 。需说明 ϕ 1 · ( ϕ 2 · ϕ 3 ) = ( ϕ 1 · ϕ 2 ) · ϕ 3 。
任取 X 1 ∈ T f G , X 2 ∈ T g G , X 3 ∈ T h G ,且满足 T ( α ) X 1 = T ( β ) X 2 , T ( α ) X 2 = T ( β ) X 3 。从而 T ( α ) X 1 = T ( β ) ( X 2 · X 3 ) , T ( α ) ( X 1 · X 2 ) = T ( β ) X 3 ,从而 X 1 · ( X 2 · X 3 ) = ( X 1 · X 2 ) · X 3 。从而 ϕ 1 · ( ϕ 2 · ϕ 3 ) = ( ϕ 1 · ϕ 2 ) · ϕ 3 。
③ 任取 φ ∈ A m ∗ G ,需说明 α ˜ ( 1 φ ) = β ˜ ( 1 φ ) = φ 。
任取 X ∈ A m G ⊆ T 1 m G ,则有
〈 α ˜ ( 1 ˜ φ ) , X 〉 = 〈 1 ˜ φ , T ( L 1 m ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 1 ˜ φ , ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 φ , ( X − T ( 1 ) a X ) − T ( 1 ) T ( α ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 φ , X 〉 。
另外, 〈 β ˜ ( 1 ˜ φ ) , X 〉 = 〈 1 ˜ φ , T ( R 1 m ) ( X ) 〉 = 〈 1 ˜ φ , X 〉 = 〈 φ , X − T ( 1 ) T ( α ) X 〉 = 〈 φ , X 〉 。
④ 任取 ϕ ∈ T g ∗ G ,需说明 ϕ · 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) = ϕ , 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) · ϕ = ϕ 。
任取 X ∈ T g G , Y ∈ T 1 α g G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y ,
〈 ϕ · 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) , X · Y 〉 = 〈 ϕ , X 〉 + 〈 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) , Y 〉 = 〈 ϕ , X 〉 + 〈 α ˜ ( ϕ ) , Y − T ( 1 ) T ( α ) Y 〉 = 〈 ϕ , X 〉 + 〈 ϕ , T ( L g ) [ ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) − T ( 1 ) a ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) ] 〉 = 〈 ϕ , X 〉 + 〈 ϕ , T ( L g ) [ ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) − T ( 1 ) T ( β ) ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) ] 〉 = 〈 ϕ , X 〉 + 〈 ϕ , T ( L g ) ( Y − T ( 1 ) T ( β ) Y ) 〉 = 〈 ϕ , X + T ( L g ) ( Y − T ( 1 ) T ( β ) Y ) 〉 = 〈 ϕ , X · Y 〉
任取 X ∈ T g G , Z ∈ T 1 β g G 满足 T ( α ) Z = T ( β ) X ,
〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) · ϕ , Z · X 〉 = 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , Z 〉 + 〈 ϕ , X 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) , Z − T ( 1 ) T ( α ) Z 〉 + 〈 ϕ , X 〉 = 〈 ϕ , T ( R g ) ( Z − T ( 1 ) T ( α ) Z ) 〉 + 〈 ϕ , X 〉 = 〈 ϕ , T ( R g ) ( Z − T ( 1 ) T ( α ) Z ) + X 〉 = 〈 ϕ , Z · X 〉
⑤ 任取 ϕ ∈ T g ∗ G ,需说明 α ˜ ( ϕ − 1 ) = β ˜ ( ϕ ) , β ˜ ( ϕ − 1 ) = α ˜ ( ϕ ) , ϕ · ϕ − 1 = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , ϕ − 1 · ϕ = 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) 。
任取 X ∈ A α g − 1 G = A β g G ,则
〈 α ˜ ( ϕ − 1 ) , X 〉 = 〈 ϕ − 1 , T ( L g − 1 ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 ϕ − 1 , T ( L g − 1 ) ( − T ( i ) X ) 〉 = 〈 ϕ − 1 , − T ( i ) T ( R g ) X 〉 = 〈 ϕ , T ( R g ) X 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) , X 〉 。
同理可证 β ˜ ( ϕ − 1 ) = α ˜ ( ϕ ) 。
任取 X ∈ T g G , Y ∈ T g − 1 G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y , X · Y ∈ T 1 β g G 。注意到 T 1 β g G 中的元素均可唯一表示
为 T ( 1 ) ( w ) + W ,其中 w ∈ T β g M , W ∈ A β g G 。
由于 w = T ( α ) X = T ( β ) Y ,从而 T ( 1 ) w = T ( 1 ) T ( β ) Y = Y · Y − 1 。从而
〈 ϕ · ϕ − 1 , T ( 1 ) w 〉 = 〈 ϕ · ϕ − 1 , Y · Y − 1 〉 = 〈 ϕ , Y 〉 + 〈 ϕ − 1 , Y − 1 〉 = 〈 ϕ , Y 〉 − 〈 ϕ , Y 〉 = 0 。
〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , T ( 1 ) w 〉 = 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , T ( 1 ) T ( α ) X 〉 = 0 ,故 〈 ϕ · ϕ − 1 , T ( 1 ) w 〉 = 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , T ( 1 ) w 〉 。
以 0 ˜ g − 1 ∈ T g − 1 G 为切空间 T g − 1 G 中的零向量,则
W = ( T ( R g ) W ) · 0 ˜ g − 1 ,(*)
若上式成立,则
〈 ϕ · ϕ − 1 , W 〉 = 〈 ϕ · ϕ − 1 , ( T ( R g ) ) W · 0 ˜ g − 1 〉 = 〈 ϕ , ( T ( R g ) ) W 〉 + 〈 ϕ − 1 , 0 ˜ g − 1 〉 = 〈 ϕ , T ( R g ) W 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) , W 〉 = 〈 1 β ˜ ( ϕ ) , W 〉 。
从而 ϕ · ϕ − 1 = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) 。同理可证 ϕ − 1 · ϕ = 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) 。
注:由于 W ∈ A y G ,从而可取 C ∞ 曲线 γ : ( − ε , ε ) → G , ε > 0 充分小使得 ∀ t ∈ ( − ε , ε ) 有
γ ( 0 ) = 1 y , α ( γ ( t ) ) = y 且 d d t | t = 0 γ ( t ) = W 。从而 T ( R g ) W = d d t | t = 0 R g ( γ ( t ) ) = d d t | t = 0 γ ( t ) g 从而
T ( R g ) W · 0 ˜ g − 1 = d d t | t = 0 k ( γ ( t ) g , g − 1 ) = d d t | t = 0 γ ( t ) = W 。
(2) 证明 G = { ( g , ϕ ) , ( h , ψ ) , ( g h , ϕ · ψ ) ∈ T ∗ G × T ∗ G × T ∗ G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } 是辛流形 ( T ∗ G , w 0 ) × ( T ∗ G , w 0 ) × ( T ∗ G , − w 0 ) 的拉格朗日子流形,则 T ∗ G ⇉ A ∗ G 为辛群胚。
由于 G ⇉ M 为李群胚,从而 S = { ( g , h , g h ) ∈ G × G × G | α ( g ) = β ( h ) } 是 G × G × G 的光滑子流形,由引理1可知,余法丛 N ∗ S 是 ( T ∗ G , w c a n ) × ( T ∗ G , w c a n ) × ( T ∗ G , w c a n ) 的拉格朗日子流形。任取 ( g , h , g h ) ∈ S ,则余法丛 N ∗ S 的纤维为
{ ( ϕ , ψ , − ϕ · ψ ) ∈ T g ∗ G × T h ∗ G × T g h ∗ G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } ,
此纤维同构于 { ( ϕ , ψ , ϕ · ψ ) ∈ T g ∗ G × T h ∗ G × T g h ∗ G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } 。得证。
令 G ⇉ M 是一个李群胚,N是一个 C ∞ 流形,并且 J : N → M 是 C ∞ 映射。
定义3.1 [
(1) J ( g n ) = β ( g ) ;
(2) ( g h ) n = g ( h n ) ;
(3) 1 ( J ( n ) ) n = n 。
定义3.2 [
定理3.1 [
下面开始考虑余切群胚在余切丛上的辛作用,并具体描述辛约化过程。具体来说,假设李群胚 G ⇉ M 光滑作用在流形N上,且有矩映射 J : N → M 。定义映射 J ∗ : T ∗ N → A ∗ G 如下:任取 ( q , ϕ q ) ∈ T ∗ N ,定
义 J q ∗ ϕ q ∈ ( A ∗ G ) J ( q ) 使得对 ∀ X ∈ ( A G ) J ( q ) = T 1 J ( q ) α − 1 ( J ( q ) ) 有 〈 J q ∗ ϕ q , X 〉 = 〈 ϕ q , X # ( q ) 〉 (其中 X # ( q ) ∈ T J ( q ) N 为由X诱导的切向量:任取 α − 1 ( J ( q ) ) ⊂ G 中通过 1 J ( q ) 的 C ∞ 曲线 γ : ( − ε , ε ) → α − 1 ( J ( q ) ) , γ ( 0 ) = 1 J ( q ) 使得 d γ ( t ) d t | t = 0 = X ,则 X # ( q ) : = d d t | t = 0 γ ( t ) q ∈ T q N )。定义 J ∗ : T ∗ N → A ∗ G , ( q , ϕ q ) ↦ ( J ( q ) , J q ∗ ϕ q ) ,显然 J ∗ 是光滑的丛映射且使得图表 T ∗ N → A ∗ G ↓ π N ↓ π M N → M 可交换,其中 π N , π M 均为丛投影映射。
定理3.2假设余切群胚 T ∗ G ⇉ A ∗ G 辛作用在余切丛上 T ∗ N 上,且以 J ∗ : T ∗ N → A ∗ G 为矩映射。假设
0 m ∈ A ∗ G 为clean值使得 ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 为 C ∞ 流形,且 π 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 为浸没映射,假
设m为clean值使得 ( J ) − 1 ( m ) / G m 为 C ∞ 流形,且 π J : J − 1 ( m ) → J − 1 ( m ) / G m 为浸没映射,则约化辛流形
( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 辛微分同胚于余切丛 T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 。
证明:定义光滑映射 φ ¯ 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 使得对 ∀ v q ∈ T q J − 1 ( m ) ∈ T q N 有 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T q π J ( v q ) 〉 : = 〈 ϕ q , v q 〉 。下面说明与 v q 的选取无关,如果 v q , v ′ q ∈ T q J − 1 ( m ) 使得 T q π J ( v q ) = T q π J ( v ′ q ) ,则 v ′ q − v q = ker T π J ( q ) = T q π J − 1 ( [ q ] ) ,因此 v ′ q − v q = ξ G m # ( q ) ,其中 ξ G m ∈ L i e ( G m ) 。从而 〈 ϕ q , v ′ q − v q 〉 = 〈 ϕ q , ξ G m # ( q ) 〉 = 0 ,即 〈 ϕ q , v ′ q 〉 = 〈 ϕ q , v q 〉 。
下面说明 φ ¯ 0 是 G m -不变的。对于任意 g ∈ G m , v q ∈ T q N 有 T g ⋅ q π J ( g ⋅ v q ) = T q π J ( v q ) ,从而
〈 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) , T q π J ( v q ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) , T g ⋅ q π J ( g ⋅ v q ) 〉 = 〈 g ⋅ ϕ q , g ⋅ v q 〉 = 〈 ϕ q , v q 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T q π J ( v q ) 〉 ,所以对于
任意 g ∈ G m 及任意 ϕ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( ξ ∗ ) ,有 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) 。
下面说明 φ ¯ 0 是满射。如果 Γ [ q ] ∈ T [ q ] ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) ,其中 [ q ] : = π J ( q ) 。我们定义 ϕ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) 使得
〈 ϕ q , v q 〉 : = 〈 Γ [ q ] , T q π J ( v q ) 〉 ,那么 φ ¯ 0 ( ϕ q ) = Γ [ q ] 。
从而 φ ¯ 0 诱导 C ∞ 满射 φ 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m → J − 1 ( m ) / G m ,满足 φ 0 ∘ π 0 = φ ¯ 0 (其中
π 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m )。
下面说明 φ 0 是单射。取 ϕ q , ϕ ′ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( ξ ∗ ) 满足 φ ¯ 0 ( ϕ q ) = φ 0 ( π 0 ( ϕ q ) ) = φ 0 ( π 0 ( ϕ ′ q ) ) = φ ¯ 0 ( ϕ ′ q ) 。从而有
g ∈ G m 使得 q ′ = g ⋅ q 。因为 J ∗ ( g ⋅ ϕ q ) = A d g − 1 ∗ J ∗ ( ϕ q ) = 0 可知 g ⋅ α q , α q ′ ∈ ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ∩ T q ′ ∗ N 。由于 φ 0 是 G m -
不变的,则 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ′ ) ,即对于任意 v q ′ ∈ T q ′ N 有 〈 g ⋅ ϕ q , v q ′ 〉 = 〈 ϕ q ′ , v q ′ 〉 。因此 ϕ q ′ = g ⋅ ϕ q ,从而 π 0 ( ϕ q ′ ) = π 0 ( ϕ q ) 。
下面说明 φ 0 是辛映射。令 θ c a n 为 T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 的典范1-形式, Θ c a n 为 T ∗ J − 1 ( m ) 的典范1-形式, i 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → T ∗ J − 1 ( m ) 为包含映射, π 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 为商投影。
π J − 1 ( m ) / G m : T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) → J − 1 ( m ) / G m 为余切丛投影,显然有 π J − 1 ( m ) / G m ∘ φ ¯ 0 = π J ∘ π J − 1 ( m ) ∘ i 0 。取
ϕ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) , v ∈ T ϕ q ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ,则
〈 ( π 0 ∗ φ 0 ∗ θ c a n ) ( ϕ q ) , v 〉 = 〈 ( φ ¯ 0 ∗ θ c a n ) ϕ q , v 〉 = 〈 θ c a n ( φ ¯ 0 ( ϕ q ) ) , T ϕ q φ ¯ 0 ( v ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T φ ¯ 0 ( ϕ q ) π ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ( T ϕ q φ ¯ 0 ( v ) ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T ϕ q ( π ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ∘ φ ¯ 0 ) ( v ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T ϕ q ( π J ∘ π J − 1 ( m ) ∘ i 0 ) ( v ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T q π J ( T ϕ q π J − 1 ( m ) ( v ) ) 〉 = 〈 ϕ q , T ϕ q π J − 1 ( m ) ( v ) 〉 = 〈 i 0 ∗ Θ ( ϕ q ) , v 〉
故 π 0 ∗ φ 0 ∗ θ c a n = i 0 ∗ Θ c a n 。因此 π 0 ∗ φ 0 ∗ w c a n = i 0 ∗ Ω c a n ,其中 w c a n , Ω c a n 分别为 T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) , T ∗ ( J − 1 ( m ) ) 的典范辛形式。由辛约化定理可知, φ 0 ∗ w c a n = Ω 0 ,其中 Ω 0 为 ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 的约化辛形式。
因此 φ 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m → T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 为光滑辛双射。因为辛映射为浸入映射,故 φ 0 为浸入映射。由维数比较有
dim ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m = 2 dim J − 1 ( m ) − 2 dim G m = dim T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) ,
故 φ 0 为局部微分同胚映射。又由于 φ 0 为双射,从而 φ 0 为微分同胚映射。
戴远莉. 余切群胚的辛约化Symplectic Reduction for Cotangent Groupoids[J]. 理论数学, 2021, 11(03): 323-329. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113043