本文考虑具有二维间接信号吸收的拟线性趋化模型:
本文考虑具有二维间接信号吸收的拟线性趋化模型:
{ u t = ∇ ⋅ ( D ( u ) ∇ u ) − ∇ ⋅ ( S ( u ) ∇ v ) + μ ( u − u 2 ) , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , v t = Δ v − v w , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , w t = − w + u , x ∈ Ω × ( 0 , T ) ,
其中 Ω ∈ R n ( n = 2 ) 是一个有界区域且具有光滑边界, μ , l > 0 ,非线性扩散系数 D ( u ) 和趋化敏感系数 S ( u ) 分别满足 D ( u ) ≥ ( u + 1 ) m − 1 , S ( u ) ≤ ( u + 1 ) q − 1 且 D ( ⋅ ) , S ( ⋅ ) ∈ C 1 + l ( [ 0 , ∞ ) ) 。本文利用能量方法和半群理论证明在 m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 和 1 < q ≤ 2 的条件下,该生物趋化模型的解全局有界,其中 C ¯ , λ 0 为正常数。
间接信号吸收,拟线性,趋化,Logistic源,有界性
Lulu Liu, Qiao Xin*
College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang
Received: Feb. 18th, 2021; accepted: Mar. 19th, 2021; published: Mar. 30th, 2021
In this paper, we consider the following two-dimensional quasilinear chemotaxis model with indirect signal absorption:
{ u t = ∇ ⋅ ( D ( u ) ∇ u ) − ∇ ⋅ ( S ( u ) ∇ v ) + μ ( u − u 2 ) , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , v t = Δ v − v w , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , w t = − w + u , x ∈ Ω × ( 0 , T ) ,
where Ω ∈ R n ( n = 2 ) is a bounded and smooth domain, μ , l > 0 , the nonlinear diffusivity D ( u ) and chemosensitivity S ( u ) are supposed to satisfy D ( u ) ≥ ( u + 1 ) m − 1 , S ( u ) ≤ ( u + 1 ) q − 1 and D ( ⋅ ) , S ( ⋅ ) ∈ C 1 + l ( [ 0 , ∞ ) ) . Finally, we use the energy method and the semigroup theory to prove that the solution of the biologicalchemotaxis model is globally bounded under the conditions m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) and 1 < q ≤ 2 , where C ¯ , λ 0 are the positive constants.
Keywords:Indirect Signal Absorption, Quasilinear, Chemotaxis, Logistic Source, Boundednes
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
趋化现象是自然界中常见的现象,它描述的是细胞或细菌沿化学信号浓度梯度方向的定向运动 [
{ u t = ∇ ⋅ ( D ( u ) ∇ u ) − ∇ ⋅ ( S ( u ) ∇ v ) + f ( u ) , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , v t = Δ v − u v , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , ∂ u ∂ υ = ∂ v ∂ υ = 0 , x ∈ ∂ Ω × ( 0 , T ) , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , v ( x , 0 ) = v 0 ( x ) , x ∈ Ω ,
其中, Ω ∈ R n 中表示具有光滑边界 ∂ Ω 的有界区域, u = u ( x , t ) 代表细胞密度, v = ( v , t ) 代表化学信号物质的浓度, D ( u ) 是扩散系数, S ( u ) 是趋化敏感系数, f ( u ) 是Logistic源,表示细胞的增殖和死亡, − u v 是化学诱导剂的消耗。在 D ( u ) = 1 , S ( u ) = u , f ( u ) = 0 的情况下,当 n ≤ 2 时, ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 无小性限制,Tao在文献 [
讨论了上述趋化模型全局弱解的存在性。当 n ≥ 3 , ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ 1 6 ( n + 1 ) χ , t → ∞ 时,模型的全局经典解
( u , v ) 收敛于 ( u ¯ 0 , 0 ) ,其中 u ¯ 0 = 1 Ω ¯ ∫ Ω u ( x , 0 ) d x 。在 D ( u ) = 1 , S ( u ) = u , f ( u ) = κ u − μ u 2 的情况下,Lankeit
和Wang在文献 [
Zheng在文献 [
时,对于任意足够光滑的初值都存在一个经典有界解。
不同于一般的直接信号吸收的趋化模型,近几年关于间接信号吸收的生物趋化模型
{ u t = ∇ ⋅ ( D ( u ) ∇ u ) − ∇ ⋅ ( S ( u ) ∇ v ) + μ ( u − u 2 ) , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , v t = Δ v − v w , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , w t = − δ w + u , x ∈ Ω × ( 0 , T ) , ∂ u ∂ υ = ∂ v ∂ υ = 0 , x ∈ ∂ Ω × ( 0 , T ) , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , v ( x , 0 ) = v 0 ( x ) , w ( x , 0 ) = w 0 ( x ) , x ∈ Ω , (1.1)
其中 Ω ∈ R n 具有光滑边界的有界区域, n ∈ Ν , δ > 0 是给定的参数。2019年,Fuest在文献 [
D ( u ) = 1 , S ( u ) = u , μ = 0 , n ≤ 2 或 n ≥ 3 , ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ 1 3 n 时该模型存在唯一的全局经典解。2020年,
Liu,Li和Huang在文献 [
μ 足够大时,模型的解有全局存在性和有界性,当 μ = 0 , n ≥ 3 和 0 ≤ ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ π n 时上述模型存在唯
一的全局经典解。Zheng等人在文献 [
D ( u ) ≥ ( u + 1 ) m − 1 , S ( u ) ≤ ( u + 1 ) q − 1 且 D ( ⋅ ) , S ( ⋅ ) ∈ C 1 + l ( [ 0 , ∞ ) ) , l > 0 (1.2)
m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 且 1 < q ≤ 2 (1.3)
成立,其中 C ¯ , λ 0 为正常数,则该拟线性趋化模型的解全局有界。主要结论如下:
定理1:设 n = 2 ,初值满足 u 0 ∈ C 0 ( Ω ¯ ) , v 0 ∈ W 1 , ∞ ( Ω ) , w 0 ∈ C 1 ( Ω ¯ ) 且 u 0 ≥ 0 , v 0 ≥ 0 , w 0 ≥ 0 ,则存在一个非负函数 ( u , v , w ) :
u ∈ C 0 ( Ω ¯ ) × [ 0 , T max ) ∩ C 2 , 1 ( Ω ¯ × ( 0 , T max ) ) ,
v ∈ C 0 ( Ω ¯ ) × [ 0 , T max ) ∩ C 2 , 1 ( Ω ¯ × ( 0 , T max ) ) ,
w ∈ C 0 , 1 ( Ω ¯ ) × [ 0 , T max ) ,
是模型(1.1)的经典解。当 D ( u ) 和 S ( u ) 满足(1.2), m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 且 1 < q ≤ 2 时,则对
任意的 t ∈ ( 0 , ∞ ) ,存在一个常数 C > 0 ,使得
‖ u ( ⋅ , t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C , ‖ ∇ v ( ⋅ , t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 和 ‖ w ( ⋅ , t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ,
其中 C ¯ , λ 0 为正常数。
注:文献 [
为了证明定理1的结果,先给出一个必要的引理。
引理1:设 n = 2 , m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) , 1 < q ≤ 2 , λ 0 , μ > 0 。令 ( u , v , w ) 是模型(1.1)
的解,则对任意 p > 1 , t ∈ ( 0 , T max ) ,存在一个正常数C使得
∫ Ω ( u ( ⋅ , t ) + 1 ) p ≤ C 。
证明:第一步:当 1 < p < 2 时,对趋化模型(1.1)的第一个方程乘 ( u + 1 ) p − 1 并在 Ω 上积分,
1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ − p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x − ∫ Ω ∇ ( S ( u ) ∇ v ) ( u + 1 ) p − 1 d x + p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u − u 2 ) ( u + 1 ) p − 1 d x (2.1)
对(2.1)右端第二项运用Young’s不等式可得
− ∫ Ω ( u + 1 ) p − 1 ∇ ( S ( u ) ∇ v ) d x = ( p − 1 ) ∫ Ω S ( u ) ( u + 1 ) p − 2 ∇ u ⋅ ∇ v d x = ( p − 1 ) ∫ Ω ∇ Ψ ( u ) ⋅ ∇ v d x = − ( p − 1 ) ∫ Ω Ψ ( u ) Δ v ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω Ψ ( u ) | Δ v | ≤ ( p − 1 ) p + q − 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + q − 2 | Δ v | d x ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + q − 1 d x + ( p − 1 ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x + C 1 (2.2)
其中 Ψ ( u ) = ∫ 0 u S ( σ ) ( 1 + σ ) p − 2 ⋅ ∇ σ 。
再对(2.1)右端第三项和第四项运用 ( u + 1 ) β ≤ 2 β ( u β + 1 ) 可得
p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u − u 2 ) ( u + 1 ) p − 1 d x ≤ p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u + 1 ) p − 1 d x − μ 4 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x ≤ ( ε 1 − μ 4 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + C 2 ,
其中, C 2 = 1 p + 1 ( ε 1 p + 1 p ) − p ( p + 1 p + 2 μ ) p + 1 | Ω | + 2 p + 1 ( p + 1 p − 1 ) − ( p − 1 ) 2 μ | Ω | 。
对(2.2)右端第一项运用Young’s不等式可得
( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + q − 1 d x ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 + ( p − 1 ) | Ω | p + 1 2 − q
最后整理可得
1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ − p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + ( p − 1 ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 + ( ε 1 − μ 4 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + C 3 (2.3)
对任意 t ∈ ( s 0 , T max ) ,对(2.3)运用常数变易法可得
1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x ≤ 1 p e − ( p + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ u ( s 0 ) ‖ L p ( Ω ) p + ( ε 1 + ( p − 1 ) − μ 4 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s + ( p − 1 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x d s + C 3 ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) d s ≤ ( ε 1 + ( p − 1 ) − μ 4 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s + ( p − 1 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x d s + C 4 (2.4)
其中 C 4 = 1 p e − ( p + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ u ( s 0 ) ‖ L p ( Ω ) p + C 3 ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) d s 。
对任意的 s 0 ∈ ( 0 , T max ) , s 0 ≤ 1 ,令 t ∈ ( s 0 , T max ) ,并对模型(1.1)第二个方程变形可得
v t − Δ v + v = − v w + v 。
对(2.4)右端第二项运用文献 [
( p − 1 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x d s ≤ ( p − 1 ) e − ( p + 1 ) t λ 0 [ ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p + q − 1 2 p + q − 1 ∫ s 0 t e ( p + 1 ) s ∫ Ω ( w p + q − 1 + 1 ) d x d s + e ( p + 1 ) s 0 ‖ v ( s 0 , t ) ‖ L 2 , p + q − 1 ( Ω ) p + q − 1 ] (2.5)
对(2.5)右端运用Young’s不等式可得
∫ Ω w p + q − 1 d x < ∫ Ω w p + 1 d x + C 5 (2.6)
对模型(1.1)第三个方程两边同乘以 w p 并在 Ω 上积分,
d d t ∫ Ω w p + 1 + ( p + 1 ) 2 ∫ Ω w p + 1 d x ≤ ( p + 1 ) C 6 ∫ Ω u p + 1 d x (2.7)
再对(2.7)运用常数变易法可得
∫ Ω w p + 1 ≤ e − ( p + 1 ) 2 ( t − s 0 ) ‖ w ( s 0 ) ‖ L p + 1 p + 1 + ( p + 1 ) C 6 ∫ s 0 t e − p + 1 2 ( t − s ) ∫ Ω u p + 1 d x d s (2.8)
将(2.8)代入到(2.6)中可得
∫ Ω w p + q − 1 d x ≤ C 7 ∫ Ω u p + 1 d x d s + C 8 < C 7 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s + C 8 (2.9)
其中 C ¯ = C 7 = ( p + 1 ) C 6 ∫ s 0 t e − p + 1 2 ( t − s ) d s , C 8 = e − ( p + 1 ) 2 ( t − s 0 ) ‖ w ( s 0 ) ‖ L p + 1 p + 1 + C 5 。
整理(2.4),(2.5)和(2.9)可得
1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p ≤ ( ε 1 + ( p − 1 ) + C ¯ ( p − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p + q − 1 2 p + q − 1 − μ 4 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s + C 9 ( p − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p + q − 1 2 p + q − 1 e − ( p + 1 ) t ∫ s 0 t ∫ Ω e ( p + 1 ) s d x d s + ( p − 1 ) λ 0 e − ( p + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ v ( s 0 , t ) ‖ L 2 , p + q − 1 ( Ω ) p + q − 1
令 p = p 0 : = 1 + μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) > 1 ,当 p < 2 , 1 < q ≤ 2 时,有
μ = 4 ⋅ ( ( p 0 − 1 ) + C ¯ ( p 0 − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) > 4 ⋅ ( ( p 0 − 1 ) + C ¯ ( p 0 − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p 0 + q − 1 2 p 0 + q − 1 )
当 0 < ε 1 < μ 4 − ( p 0 − 1 ) + C ¯ ( p 0 − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p 0 + q − 1 2 p 0 + q − 1 时,存在一个正常数 C 10 ,使得
∫ Ω ( u + 1 ) p 0 d x ≤ C 10
再令 p < 2 p 0 ( 2 − p 0 ) + , α > 1 2 ,则
p < 1 1 p 0 − 1 2 + 2 2 ( α − 1 2 ) ≤ 2 p 0 ( 2 − p 0 ) + (2.10)
由常数变易法和Hölder’s不等式可得
v ( t ) = e − τ ( A + 1 ) v ( s 0 ) + ∫ s 0 t e − ( t − s ) ( A + 1 ) ( − v ( s ) w ( s ) + v ( s ) ) d s (2.11)
‖ w ( ⋅ , t ) ‖ L p 0 ( Ω ) ≤ ‖ w 0 ‖ L p 0 ( Ω ) + ∫ 0 t e − ( t − s ) ‖ u ( ⋅ , s ) ‖ L p 0 ( Ω ) d s ≤ ‖ w 0 ‖ L p 0 ( Ω ) + ‖ u ( ⋅ , s ) ‖ L p 0 ( Ω ) ( p 0 p 0 − 1 ) − p 0 − 1 p 0 ≤ C 11 (2.12)
其中 τ ∈ [ 0 , s 0 ] ,再运用文献 [
‖ ( A + 1 ) α v ( t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ C 12 s 0 − α − 2 2 ( 1 − 1 p ) ‖ v ( s 0 , t ) ‖ L 1 ( Ω ) + C 12 ∫ s 0 t ( t − s ) − α − 2 2 ( 1 p 0 − 1 p ) e − μ ( t − s ) ‖ − v ( s ) w ( s ) + v ( s ) ‖ L p 0 ( Ω ) d s ≤ C 13 ∫ 0 + ∞ σ − α − 2 2 ( 1 p 0 − 1 p ) e − μ σ d σ + C 14 s 0 − α − 2 2 ( 1 − 1 p ) (2.13)
由(2.10),(2.13)和文献 [
∫ Ω | ∇ v | p ≤ C 15 。
第二步:对任意的 p > 1 ,在模型(1.1)的第一个方程两边同乘 ( u + 1 ) p − 1 并在 Ω 上积分并运用Young’s不等式可得
1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ p − 1 2 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + p − 1 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 | ∇ v | 2 d x − μ 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + C (2.14)
令 1 < l 0 < 2 p 0 2 ( 2 − p 0 ) + ,对(2.14)右端第二项运用Hölder’s不等式可得
p − 1 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 | ∇ v | 2 d x ≤ p − 1 2 ( ∫ Ω ( u + 1 ) l 0 l 0 − 1 ( p + 2 q − m − 3 ) ) l 0 − 1 l 0 ( ∫ Ω | ∇ v | 2 l 0 ) 1 l 0 d x ≤ C ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 l 0 l 0 − 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 2 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 (2.15)
由于 l 0 > 1 , p > max { 2 q − m − 3 , p 0 − p 0 l 0 − 2 q + m + 3 } ,所以
p 0 m + p − 1 ≤ l 0 l 0 − 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 < ∞ ,
对(2.15)右端运用文献 [
C ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 l 0 l 0 − 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 2 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 ≤ C ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) μ 1 ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 p 0 m + p − 1 ( Ω ) 1 − μ 1 + ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 p 0 m + p − 1 ( Ω ) ) 2 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 ≤ C ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 μ 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 + 1 ) ≤ C ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) − p 0 ( l 0 − 1 ) l 0 ( m + p − 1 ) + 1 )
其中, μ 1 = 2 m + p − 1 2 p 0 − 2 ( l 0 − 1 ) ( m + p − 1 ) 2 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) 1 − 2 2 + 2 ( m + p − 1 ) 2 p 0 = ( m + p − 1 ) 2 2 p 0 − 2 ( l 0 − 1 ) 2 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) 1 − 2 2 + 2 ( m + p − 1 ) 2 p 0 ∈ ( 0 , 1 ) 。
由 p = p 0 : = 1 + μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) > 1 , l 0 < 2 p 0 2 ( 2 − p 0 ) + 和 m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 可知
l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) − p 0 ( l 0 − 1 ) l 0 ( m + p − 1 ) < 1 。
最后,利用Young’s不等式整理可得
1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) 4 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + μ 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x ≤ C (2.16)
对(2.16)在 ( 0 , t ) 上积分可得对任意的 p > 1 ,有
∫ Ω ( u + 1 ) p d x ≤ C 。
定理1的证明:首先,假设 ( u , v , w ) 是模型(1.1)的解,对任意的 t ∈ ( 0 , T max ) ,存在常数 C > 0 ,由一阶常微分方程理论和Hölder’s不等式可得
‖ w ( ⋅ , t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ ‖ w 0 ‖ L p ( Ω ) + ∫ 0 t e − ( t − s ) ‖ u ( ⋅ , s ) ‖ L p ( Ω ) d s ≤ ‖ w 0 ‖ L p ( Ω ) + ‖ u ( ⋅ , s ) ‖ L p ( Ω ) ( p p − 1 ) − p − 1 p ≤ C 16 (2.17)
又因为 p > n 时, θ ∈ [ 1 , ∞ ] 可得
‖ ∇ v ( ⋅ , t ) ‖ L θ ( Ω ) ≤ C 17 ‖ ∇ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) + C 18 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ‖ w ( ⋅ , t ) ‖ L p ( Ω ) ∫ 0 ∞ ( 1 + s ϕ ) − λ s d s ≤ C (2.18)
其中 ϕ > − 1 ,即可证明 ‖ ∇ v ( ⋅ , t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。
其次,当 m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) , 1 < q ≤ 2 。当 D ( u ) 和 S ( u ) 满足(1.2),对任意的 p > 1 ,
模型(1.1)两边同乘 ( u + 1 ) p − 1 并在 Ω 上积分可得
1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + ( p − 1 ) C 19 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 d x + μ ∫ Ω ( u − u 2 ) ( u + 1 ) p − 1 d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + C 20 p ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 d x − ∫ Ω ( u + 1 ) p d x − μ 4 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x (2.19)
其中 C 20 = C 19 2 + 2 μ + 1 , q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) < m < 2 q − 3 ,对上式右端第二项运用文献 [
C 20 p ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 d x ≤ C 21 ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 ς 1 ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 1 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 1 − ς 1 + ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 1 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 ) ≤ C 22 ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 + C 23 ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 1 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 (2.20)
整理(2.19)和(2.20)可得
1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + C 20 ∫ Ω | ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 | 2 d x ≤ C 24 , (2.21)
再运用Gronwall不等式可得
‖ u ( ⋅ , t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ C 24 。
再对上式运用标准的Alikakos-Moser迭代即可得到
‖ u ( ⋅ , t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。
最后,对模型(1.1)的第三个方程求一阶线性常微分方程的解,显然可得
‖ w ( ⋅ , t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。
从而定理1得证。
新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(NO. 2018D01C004)。
刘璐璐,辛 巧. 具有间接信号吸收和Logistic源的生物趋化模型解的有界性Boundedness of Solution for the Chemotaxis Model with Indirect Signal Absorption and Logistic Source[J]. 理论数学, 2021, 11(03): 362-370. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113048