本文主要研究一类新的一维Q型空间——Q K,λ p(Ra)。首先给出了Q K,λ p(Ra)的若干基本性质。进而通过一类Littlewood-Paley函数Φ所构成的卷积算子,得到了该空间的Carleson测度刻画。 In this paper, we introduce a new class of Q type spaces Q K,λ p(Ra). We first investigate some basic properties of Q K,λ p(Ra). Further, via a family of convolution operators generated by Littlewood-Paley functions Φ, we establish a Carleson measure characterization of Q K,λ p(Ra).
本文主要研究一类新的一维Q型空间——。首先给出了的若干基本性质。进而通过一类Littlewood-Paley函数 Φ 所构成的卷积算子,得到了该空间的Carleson测度刻画。
Q型空间,Carleson测度,Littlewood-Paley函数
Jie Cui
School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong
Received: Feb. 18th, 2021; accepted: Mar. 19th, 2021; published: Mar. 31st, 2021
In this paper, we introduce a new class of Q type spaces. We first investigate some basic properties of. Further, via a family of convolution operators generated by Littlewood-Paley functions Φ , we establish a Carleson measure characterization of.
Keywords:Q-Type Space, Carleson Measure, Littlewood-Paley Function
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
在调和分析和偏微分方程的研究中,Q型空间起到重要的作用。作为介于Sobolev空间和BMO空间之间的一类可微函数空间,Q型空间兼具两者的特点,一方面该空间具有平均振荡的性质,从而在调和分析研究中可以作为BMO空间的一个很好的替代。另一方面,该空间可以看作与Campanato-Sobolev型空间等价,因此在偏微分方程中具有很好的应用。在最近几十年中,Q型空间及其推广的形式得到了广泛的研究。最早Q型空间 Q p ( D ) 是作为单位圆盘D上全纯BMO型空间 B M O A ( D ) 上的推广而提出的( [
从几何的观点看,经典的Q型空间可以看作是一类与幂函数相关的加权函数空间,参见 [
本文在上述结果的基础上,引入一类新的Q型空间
定义1令 1 < p < ∞ , λ > 0 ,设 K : [ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ) 是一个单调非减函数,则
其中,I是 ℝ 上的一个区间, l ( I ) 表示区间I的长度。
本文的主要目的是利用Carleson测度刻画
设f是 ℝ 上的可测函数,并且满足:
∫ ℝ | f ( x ) | 1 + | x | 2 d x < ∞ , (1)
假设 Φ 是 ℝ 上的一个实值 C ∞ 函数且满足:
{ | Φ ( x ) | ≲ ( 1 + | x | ) − 2 ; | ∇ Φ ( x ) | ≲ ( 1 + | x | ) − 3 ; Φ t ( x ) : = 1 / t Φ ( x / t ) . (2)
定义Littlewood-Paley积分:
首先,在第二节中,作者给出
本节主要讨论
φ K ( s ) = sup 0 < t ≤ 1 K ( s t ) K ( t ) , 0 < s < ∞ .
我们在本文中假设辅助函数 φ K ( s ) 满足以下两个条件:
∫ 1 ∞ φ K ( s ) s p d s < ∞ , (3)
∫ 0 1 φ K ( s ) s p − 1 d s < ∞ . (4)
下面,我们证明
定义1 令 1 < p < ∞ , λ > 0 。若
那么,称
定理1 令 1 < p < ∞ , λ > 0 ,有 Q 1 − 1 / p , λ p ( ℝ ) ⊆ Q K , λ p ( ℝ ) ,并且
证明 设I是
l ( I ) − λ ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y ≤ K ( 1 ) l ( I ) − λ ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( y ) | p | x − y | p d x d y ,
故
接下来,本文讨论新的
定义2 令 1 < p < ∞ , γ > 0 。若 f ∈ L l o c p ( ℝ ) ,且满足
那么,称
我们可以证明当 γ = λ + 1 时,新的空间
定理2
证明 设
∫ I min { K ( | x − z | l ( I ) ) , K ( | y − z | l ( I ) ) } d z ≥ ∫ { z ∈ I : min ( | x − z | , | y − z | ) > ζ l ( I ) } min { K ( | x − z | l ( I ) ) , K ( | y − z | l ( I ) ) } d z ≥ K ( ζ ) C ζ , n l ( I ) .
注意到 | x − z | p ≤ l ( I ) p ,则对于一个足够小的 ζ > 0 ,可以得到
‖ f ‖ B M O λ + 1 p ( ℝ ) p ≤ l ( I ) − λ − 1 ∫ I ∫ I | l ( I ) − 1 ∫ I f ( x ) d y − l ( I ) − 1 ∫ I f ( y ) d y | p min { K ( | x − z | l ( I ) ) , K ( | y − z | l ( I ) ) } d x d z ≲ l ( I ) − p − λ − 1 [ ∫ I ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( z ) | p K ( | x − z | l ( I ) ) d x d y d z + ∫ I ∫ I ∫ I | f ( y ) − f ( z ) | p K ( | y − z | l ( I ) ) d x d y d z ] ≲ l ( I ) − p − λ ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( z ) | p K ( | x − z | l ( I ) ) d x d z ≲ l ( I ) − λ ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( z ) | p | x − z | p K ( | x − z | l ( I ) ) d x d z ≲ ‖ f ‖ Q K , λ p ( ℝ ) p < ∞ .
所以, Q K , λ p ( ℝ ) ⊆ B M O λ +1 p ( ℝ ) 。从而完成了定理2的证明。
当权函数K进一步满足特定条件时,可以证明:
定理3 如果 ∫ 0 1 K ( t ) t p d t < ∞ ,则有 Q K , λ p ( ℝ ) = B M O λ +1 p ( ℝ ) 。
证明 由定理2可知, Q K , λ p ( ℝ ) ⊆ B M O λ +1 p ( ℝ ) ,所以只需证 B M O λ +1 p ( ℝ ) ⊆ Q K , λ p ( ℝ ) 。
注意到,
| y | < l ( I ) ,
l ( I ) − λ ∫ I | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x ≲ l ( I ) − λ ( 3 n l ( I ) ) p + 1 [ ( 3 n l ( I ) ) − p − 1 ∫ 3 n I | f ( x + y ) − f 3 n I | p d ( x + y ) + ( 3 n l ( I ) ) − p − 1 ∫ 3 n I | f ( y ) − f 3 n I | p d x ] ≲ l ( I ) p + 1 ‖ f ‖ B M O λ + 1 p ( ℝ ) p .
所以,对任意
l ( I ) − λ ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y ≤ l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) ∫ I | f ( x ) − f ( x + y ) | p | y | p K ( | y | l ( I ) ) d x d y ≲ l ( I ) p − 1 ‖ f ‖ B M O λ + 1 p ( ℝ ) p ∫ | y | < l ( I ) | y | − p K ( | y | l ( I ) ) d y ≲ ‖ f ‖ B M O λ + 1 p ( ℝ ) p ∫ 0 1 K ( t ) t p d t < ∞ .
因此,
设I是
为简便起见,我们用 v ( x ) 表示点
下面引入 ( K , λ ) -Carleson测度的定义以及有关 ( K , λ ) - Carleson测度的刻画。
定义3 设 μ 是
类似于经典Q型空间,可以证明
定理4 设 λ < − 1 ,并且K满足 ∫ 0 1 φ K ( s ) s d s < ∞ ,设 μ 是
证明 必要性 若 μ 是一个 ( K , λ ) -Carleson测度,设I是
从而,易知 { δ ( x , y * ) ≥ v ( y ) , x ∈ S ( 2 I ) ; δ ( x , y * ) ≈ 2 ζ v ( y ) , x ∈ S ( I ζ + 1 ) \ S ( I ζ ) .
进而,
由假设知, μ 是一个 ( K , λ ) -Carleson测度, ( 2 ζ l ( I ) ) − λ ∫ S ( I ζ ) K ( v ( x ) 2 ζ l ( I ) ) d μ ( x ) ≲ 1 。
综上所述,可以推出
充分性 下面,记Carleson方体 S ( I ζ ) 的中心为y,那么可知,现在 v ( y ) = l ( I ) 2 。如果 x ∈ S ( I ) ,
就有 | x − y * | ≲ l ( I ) ,因此可以得到,
此时,如果(5)式成立,则 μ 是一个 ( K , λ ) -Carleson测度。从而定理4得证。
为了进一步研究
引理1 设 1 < p < ∞ ,若K满足(3),则 sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 K ( t ) t p d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ 。
引理2 令 1 < p < ∞ , 1 / p + 1 / q = 1 , 0 < b ≤ ∞ 。设非负函数 μ 和h在 ( 0 , b ) 上可测,对于所有可测函数 f ≥ 0 ,可得到以下Hardy型不等式:
(i) ∫ 0 b ( ∫ 0 s f ( t ) d t ) p μ ( s ) d s ≤ C ∫ 0 b f p ( s ) h ( s ) d s 成立,当且仅当
A : = sup 0 < s < b ( ∫ s b μ ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ 0 s h ( t ) 1 − q d t ) 1 / q < ∞ ,
(ii) ∫ 0 b ( ∫ s b f ( t ) d t ) p μ ( s ) d s ≤ C ∫ 0 b f p ( s ) h ( s ) d s 成立,当且仅当
B : = sup 0 < s < b ( ∫ 0 s μ ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ s b h ( t ) 1 − q d t ) 1 / q < ∞ ,
其中C的取值依赖于p,A或者B。
借助于上面给出的引理1和引理2,接下来利用Liitlewood函数 Φ 的性质给出本文的主要结果:
定理5 设
(i) 如果
(ii) 如果 lim t → 0 ∫ ℝ Φ t ( x − y ) f ( y ) d y = f ( x ) ,则若 | ∇ f ( x , t ) | p d x d t 是一个 ( K , λ ) -Carleson测度,有
证明 (i) 设I和J都是
设函数 τ 满足 { τ = 1 , 在 ( 2 / 3 ) J 上 ; supp τ ⊆ ( 4 / 5 ) J , 且 0 ≤ τ ≤ 1 , 则有 | τ ( x ) − τ ( y ) | ≲ l ( J ) − 1 | x − y | 。
对f作分解, f = f 1 + f 2 + f 3 ,其中 { f 1 = f J ; f 2 = ( f − f J ) τ ; f 3 = ( f − f J ) ( 1 − τ ) .
根据引言中Littlewood-Paley函数 Φ 的定义以及限制条件(2),易知 { | ∂ Φ t ( y ) ∂ y | ≲ ( t 2 + | y | 2 ) − 1 ; ∫ ℝ ∂ Φ t ( y ) ∂ y d y = 0.
从而,
| ∂ f ( x , t ) ∂ x | ≤ ∫ ℝ | ∂ Φ t ( y ) ∂ y | | f ( x ) − f ( x + y ) | d y ≤ | ( t 2 + | y | 2 ) − 1 | | f ( x ) − f ( x + y ) | d y .
又由Minkowski不等式,可得
‖ ∂ f ( x , t ) ∂ x ‖ L p ( ℝ ) ≲ ( ∫ ℝ ( ∫ ℝ | ( t 2 + | y | 2 ) − 1 | | f ( x ) − f ( x + y ) | d y ) p d x ) 1 / p ≲ ∫ ℝ | ( t 2 + | y | 2 ) − 1 | ( ∫ ℝ | f ( x ) − f ( x + y ) | p d x ) 1 / p d y ≲ t − 2 ∫ | y | ≤ t ( ∫ ℝ | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p d y + ∫ | y | > t ( ∫ ℝ | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p | y | − 2 d y ≲ t − 2 ∫ 0 1 ∫ | ξ | = 1 ( ∫ ℝ | f ( x + r ξ ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p d ξ d r + ∫ t ∞ ∫ | ξ | = 1 ( ∫ ℝ | f ( x + r ξ ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p r − 2 d ξ d r ,
这里 r = | y | , | ξ | = 1 ,上述计算中的最后一步使用了球坐标变换。设
Ψ ( r ) : = ∫ | ξ | = 1 ( ∫ ℝ | f ( x + r ξ ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p d ξ ,
从而有
‖ ∂ f ( x , t ) ∂ x ‖ L p ( ℝ ) ≲ t − 2 ∫ 0 t Ψ ( r ) d r + ∫ t ∞ Ψ ( r ) r − 2 d r .
因此,
l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∂ f ( x , t ) ∂ x | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≤ l ( I ) − λ ∫ 0 l ( I ) K ( t l ( I ) ) ‖ ∂ f ( x , t ) ∂ x ‖ L p ( ℝ ) p d t ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 l ( I ) K ( t l ( I ) ) ( t − 2 ∫ 0 t Ψ ( r ) d r + ∫ t ∞ Ψ ( r ) r − 2 d r ) p d t ≲ l ( I ) 1 − p ( B 1 + B 2 ) ,
其中,
{ B 1 : = l ( I ) − λ ∫ 0 1 K ( t ) t − 2 p ( ∫ 0 t Ψ ( l ( I ) r ) d r ) p d t ; B 2 : = l ( I ) − λ ∫ 0 1 K ( t ) ( ∫ t ∞ Ψ ( l ( I ) r ) r − 2 d r ) p d t .
对于 B 1 ,注意到
sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 K ( t ) t 2 p d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) t p / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p ≤ sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 K ( t ) t p d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ .
根据引理1,易得
B 1 ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 1 K ( t ) t p ( Ψ ( l ( I ) t ) ) p d t .
B 2 ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 ∞ K ( t ) ( ∫ t ∞ Ψ ( l ( I ) r ) r − 2 d r ) p d t ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 ∞ K ( t ) t p ( Ψ ( l ( I ) t ) ) p d t .
因此,由Hölder不等式以及球坐标变换,可得
注意到, { | ∂ Φ t ( y ) ∂ t | ≤ t − n − 1 ; ∫ ℝ ∂ Φ t ( y ) ∂ t d y = 0 , 可得 | ∂ f ( x , t ) ∂ t | ≤ ∫ ℝ | ∂ Φ t ( y ) ∂ t | | f ( x + y ) − f ( x ) | d y 。
同理可得, ∫ S ( I ) | ∂ f ( x , t ) ∂ t | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≲ ∫ ℝ ∫ ℝ | f ( x + y ) − f ( x ) | p K ( | y | l ( I ) ) | y | − p d x d y 。
因此, ∫ S ( I ) | ∇ f 2 ( x , t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≲ C 1 + C 2 + C 3 ,其中,
{ C 1 : = ∫ y ∈ J ∫ x ∈ J | f 2 ( x ) − f 2 ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y ; C 2 : = ∫ y ∈ ( 4 / 5 ) J ∫ x ∉ J | f 2 ( x ) − f 2 ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y ; C 3 : = ∫ y ∉ J ∫ x ∈ ( 4 / 5 ) J | f 2 ( x ) − f 2 ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y .
类似于上面的过程,继续将其分解讨论,如此进行下去,最终可得
l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∇ f ( x , t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≲ ‖ f ‖ Q K , λ p ( ℝ ) p .
(ii) 由三角不等式,易知
其中, { A 1 : = sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ I | f ( x , | y | ) − f ( x ) | p d x d y ; A 2 : = sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ I | f ( x + y , | y | ) − f ( x + y ) | p d x d y ; A 3 : = sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ I | f ( x + y , | y | ) − f ( x , | y | ) | p d x d y .
对于 A 1 ,根据Minkowski不等式易知
( ∫ I | f ( x , | y | ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p ≤ ( ∫ I ( ∫ 0 | y | | ∂ f ( x , t ) ∂ t | d t ) p d x ) 1 / p ≤ ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∂ f ( x , t ) ∂ t | p d x ) 1 / p d t ≤ ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x , t ) | p d x ) 1 / p d t .
所以,由引理1和引理2我们可以得到
A 1 ≤ sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ( ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x , t ) | p d x ) 1 / p d t ) P d y ≲ sup I l ( I ) − λ + 1 ∫ 0 1 K ( r ) r p ( ∫ 0 r ( ∫ I | ∇ f ( x , l ( I ) s ) | p d x ) 1 / p d s ) p d r ≲ sup I l ( I ) − λ + 1 ∫ 0 1 ( ∫ I | ∇ f ( x , l ( I ) r ) | p d x ) K ( r ) d r ≲ sup I l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∇ f ( x , t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t < ∞ .
同理, A 3 ≲ sup I l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∇ f ( x , t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t < ∞ 。
对于 A 2 ,易知 A 2 ≤ sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ 3 I | f ( x , | y | ) − f ( x ) | p d x d y ≲ A 1 < ∞ 。
因此,
作者衷心感谢李澎涛教授的指导与建议。
山东省自然科学基金(项目编号:ZR2020MA004);国家自然科学基金(项目编号:11471176)。
崔 洁. Littlewood-Paley积分与QK型空间的刻画Littlewood-Paley Integrals and the Characterization of QK Type Spaces[J]. 理论数学, 2021, 11(03): 377-386. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113050