本文主要给出了n维复空间ℂ n中Fock型空间上线性算子为有界算子的充分条件,以及利用Berezin变换给出了线性算子为紧算子的充分条件。 In this paper, the sufficient conditions for linear operators to be bounded on Fock type spaces in n-dimensional complex spaces ℂ are given, and the sufficient conditions for linear operators to be compact operators are given by Berezin transformation.
本文主要给出了n维复空间 ℂ n 中Fock型空间上线性算子为有界算子的充分条件,以及利用Berezin变换给出了线性算子为紧算子的充分条件。
稠密算子,有界算子,紧算子
Yan Luo, Congli Yang*, Xingxing Huang
Department of Mathematical Science, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou
Received: Feb. 21st, 2021; accepted: Mar. 23rd, 2021; published: Mar. 31st, 2021
In this paper, the sufficient conditions for linear operators to be bounded on Fock type spaces in n-dimensional complex spaces ℂ n are given, and the sufficient conditions for linear operators to be compact operators are given by Berezin transformation.
Keywords:Dense Operator, Bounded Operator, Compact Operator
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
设 ℂ n 为n维复空间, α 为一个正参数,其中 z = ( z 1 , z 2 , ⋯ , z n ) ,让
d λ α ( z ) = p α ( 2 π ) n e − p α | z | 2 2 d m 2 n ( z ) 。
为高斯测度,其中
α ( 2 π ) n ∫ ℂ n e − α | z | 2 2 d m 2 n ( z ) = 1 。
设 f ( x ) 是定义在 ℂ n 上的可测函数。若 | f | p ( 1 ≤ p < ∞ ) 在 ℂ n 上可积,则这样的全体构成空间 L p ( ℂ n , d λ α ) ,即
L p ( ℂ n , d λ α ) = { f ( t ) | ∫ ℂ n | f ( t ) | p d λ α ( t ) < ∞ } 。
Fock空间 F α p = L 2 ( ℂ n , d λ α ) ∩ H ( ℂ n ) 。其中 H ( ℂ n ) 是 ℂ n 中所有整函数构成的集合。特别地,当 p = 2 时,就是经典的 F α 2 空间。即 F α 2 = L 2 ( ℂ n , d λ α ) ∩ H ( ℂ n ) 。显然 F α 2 是 L 2 ( ℂ n , d λ α ) 的闭子空间,即 F α 2 也是希尔伯特空间,它的内积定义为
〈 f , g 〉 = ∫ ℂ n f ( z ) g ( z ) ¯ d λ α ( z ) 。
实际上, F α 2 是一个再生核希尔伯特空间,其中核函数为
K ω ( z ) = k ( z , ω ) = e α z ω ¯ 2 。
当 f ∈ L 2 ( ℂ n , d λ α ) 时,范数 ‖ f ‖ 2 , α 定义为
‖ f ‖ 2 , α = ( ∫ ℂ n | f ( z ) | 2 d λ α ( z ) ) 1 2 。
同样的定义 f ∈ L p ( ℂ n , d λ α ) 时,范数 ‖ f ‖ p , α 被表示为
‖ f ‖ p , α = ( ∫ ℂ n | f ( z ) | p d λ α ( z ) ) 1 p 。
由 F α 2 的每个线性算子S均可导岀一个 ℂ n 上的函数 s ˜ ,即
S ˜ ( z ) = 〈 S k z , k z 〉 , z ∈ ℂ n 。
其中 S ˜ 是S的Berezin变换。因为 k z 是单位向量,所以当S有界时 S ˜ 就有界,并且 ‖ S ˜ ‖ ∞ ≤ ‖ S ‖ 。另外,在 F α 2 上,当 z → ∞ 时, k z → 0 ,因此当S是 F α 2 上的紧算子时, z → ∞ 时, S ˜ z → 0 。
我们主要研究线性算子 F α 2 上的有界性和紧性。为了说明我们的主要结果,我们需要在 F α 2 上引入一类酉算子。对于任何 z ∈ ℂ n ,令 φ z 代表示 ℂ n 上由 φ z ( ω ) = z − ω 定义的解析自映射, k z 表示正规化的再生核,即
k z ( ω ) = K ( ω , z ) K ( z , z ) = e α ω z ¯ 2 − α 4 | z | 2 。
设 U z 是 F α 2 上的线性算子 U z ( f ) = f ∘ φ z k z ,其中每一个 k z 是 F α 2 上的单位向量。从变量的变化易知每个 U z 都是 F α 2 的一个自伴单位算子,参见文献 [
设 ( x , y ) 是测度空间, K ( s , t ) 是 ( Ω × Ω , Β × Β , μ × μ ) 上可测函数,并且
∬ | K ( s , t ) | 2 d μ ( s ) d μ ( t ) < + ∞ ;
则
( T x ) ( s ) = ∫ Ω K ( s , t ) x ( t ) d μ ( t ) 。
是 L 2 ( Ω , Β , μ ) 到自身的有界线性积分算子。进一步,如果 L 2 ( Ω , Β , μ ) 是可分空间,那么T是 L 2 ( Ω , Β , μ ) 上的Hilbert-Schmidt积分算子。
在文献 [
定理A. 如果存在 p > 2 和 C > 0 ,使得对任意的 z ∈ ℂ 都有 ‖ S z 1 ‖ P → 0 ,则算子S在 F α 2 上有界。
定理B. 如果存在 p > 2 使得当 z → ∞ 时都有,则S是 F α 2 上的紧算子。
定理C. 假设存在 p > 2 且 C > 0 ,使得对所有的
以上这些结果都是在复平面
下面我们介绍本文的主要结果。
定理7. 设S是
则S在
定理8. 设S是
定理9. 设S是
在本节将给岀本文要用到的一系列引理。
在文献 [
引理1. 对于任何
其中
证明:由范数的定义可得
令
当
一般的,对任意的
则
即
所以有
令
所以有
为了证明,性算子的有界性和紧性,我们先引入下面的引理说明集合
引理2. 设
则
该引理的证明思想来自文献 [
证明:当
因为
这篇文章中的每一个算子的定义域都包含
对于任意
为了后面我们证明线性算子的紧性,我们引入下面的引理它给岀算子
引理3. 设
其中
则有
证明:由
在引理1中,对所有的
其中
并对结果进行简化,对任意的
下面的引理表明对于
引理4. 设S是
S在
证明:任何固定的
是
由此得岀在
反之,对于任意的
这表明T在
引理5. 对于
其中
证明:
第一个等式证明完毕。
因为
由正规化再生核的定义有
化简得
其中
第二个式子证明完毕。
通过Berezin变换的定义和
第三个等式证明完成。
引理6. 设S是
证明:如果对于某些
反之,假设当
其中
将上式带入有
对于任意的的正数r,我们考虑积分
其中
对于任意的
进一步,对任意的
因此,当
则给定任意的
进一步得
对任意的
由于
令
由于所有
引理的证明完毕。
定理7. 设S是
则S在
证明:由引理4,定义的积分算子T在
进一步有
其中
其中
再由Fubini’s定理和变量变换可以得到
其中
这表明算子T在
将T限制在
注记:上面的证明仅取决于引理3中的点态估计给岀的上界,不是关于范数
下面,我们给岀了
定理8. 设S是
证明:由假设条件:当
则对于任何
其中
因此,每个算子
于是,当
给定任何
我们只考虑
回顾
因为每个
定理9. 设S是
证明。通过引理1,假设存在一个正常数C,使得
其中
因为
将不等式(3)和(4)相乘有
两边开方得
其中
因此
于是积分算子T,即
是
Toeplitz算子的相关应用,在文献 [
国家自然科学基金(11861024,11561012)。
罗 颜,杨从丽,黄星星. ℂn中Fock型空间上线性算子的有界性和紧性Boundedness and Compactness of Linear Operators on Fock Type Spaces in ℂn[J]. 理论数学, 2021, 11(03): 407-418. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113053