该文研究了全空间中一类含Φ-Laplace算子和位势项的拟线性椭圆型方程解的存在性,利用Nehari流形方法和纤维映射等技巧,得到方程至少有两个非平凡解。 The paper deals with the existence results of solutions to a quasilinear elliptic problem with Φ-Laplacian operator and potential well on ℝ N. Nehari manifold and fibering maps are used to obtain the existence two nontrivial solutions.
该文研究了全空间中一类含Φ-Laplace算子和位势项的拟线性椭圆型方程解的存在性,利用Nehari流形方法和纤维映射等技巧,得到方程至少有两个非平凡解。
拟线性椭圆型方程,Nehari流形方法,纤维映射,极小化方法
Aiqun Sun
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Mar. 13th, 2021; accepted: Apr. 15th, 2021; published: Apr. 22nd, 2021
The paper deals with the existence results of solutions to a quasilinear elliptic problem with Φ-Laplacian operator and potential well on ℝ N . Nehari manifold and fibering maps are used to obtain the existence two nontrivial solutions.
Keywords:Quasilinear Elliptic Equation, Nehari Manifold Method, Fibering Maps, Minimizing Method
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
我们将研究 ℝ N 中的拟线性椭圆型方程
− Δ Φ u + V ( x ) ϕ ( | u | ) u = f ( x , u ) , u ∈ W 1 , Φ ( ℝ N ) (1)
非平凡解的存在性,其中 Δ Φ u = div ( ϕ ( | ∇ u | ) ∇ u ) 是 Φ -Laplace算子,并且 Φ ( t ) = ∫ 0 t s ϕ ( s ) d s , t ∈ ℝ , f : ℝ N × ℝ → ℝ 是Carathéodory函数。
拟线性椭圆型方程具有较强的物理背景,是非牛顿流体、等离子物理、图像处理等领域研究相关物理现象的重要模型,见 [
{ − d i v ( ϕ ( | ∇ u | ) ∇ u ) = f ( x , u ) , x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (2)
本文的结果是对前人研究成果的推广和完善。
对函数 ϕ ( x ) 、 V ( x ) 和 f ( x , t ) 做如下假设。函数 ϕ ∈ C 2 ( [ 0 , + ∞ ) , [ 0 , + ∞ ) ) ,并且满足下列条件:
( ϕ 1 ) t ↦ t ϕ ( t ) 在 ( 0 , + ∞ ) 是增函数;
( ϕ 2 ) lim t → 0 t ϕ ( t ) = 0 , lim t → ∞ t ϕ ( t ) = ∞ ;
( ϕ 3 ) 对任意 t > 0 ,存在常数 l , m ∈ ( 1 , N ) ,使得
− 1 < l − 2 : = inf t > 0 ( t ϕ ( t ) ) ′ ′ t ( t ϕ ( t ) ) ′ ≤ sup t > 0 ( t ϕ ( t ) ) ′ ′ t ( t ϕ ( t ) ) ′ = : m − 2 < N − 2 ;
( ϕ 4 ) 存在N-函数
Ψ ( t ) = ∫ 0 t ψ ( s ) d s ,
其中 ψ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) 是连续函数,且满足
( a 1 ) 1 < l ≤ m < l Ψ : = inf t > 0 ψ ( t ) t Ψ ( t ) ≤ sup t > 0 ψ ( t ) t Ψ ( t ) = : m Ψ < l * = l N N − l ;
( V 1 ) V ∈ C ( ℝ N ) , V 0 = inf ℝ N V > 0 ;
( V 2 ) 对所有的 M > 0 , μ ( V − 1 ( − ∞ , M ] ) < ∞ ,其中 μ 为 ℝ N 中的Lebesgue测度。
假设 f : ℝ N × ℝ → ℝ 是Carathéodory函数, F ( x , t ) = ∫ 0 t f ( x , s ) d s , t ∈ ℝ ,此外,f还满足以下条件:
( f 1 ) 存在常数 C > 0 ,使得
| f ( x , t ) | ≤ C ( 1 + ψ ( t ) ) , t ∈ ℝ , x ∈ ℝ N ;
( f 2 ) lim t → 0 f ( x , t ) ψ ( t ) < λ 对几乎所有的 x ∈ ℝ N 一致成立;
( f 3 ) t ↦ f ( x , t ) | t | m − 2 t 在 ℝ \ { 0 } 上单调递增;
( f 4 ) lim | t | → ∞ f ( x , t ) | t | m − 2 t = + ∞ 对几乎所有的 x ∈ ℝ N 一致成立。
注1.1在条件 ( ϕ 3 ) 下,可以推出下面的不等式:
l − 2 ≤ inf t > 0 ϕ ′ ( t ) t ϕ ( t ) ≤ sup t > 0 ϕ ′ ( t ) t ϕ ( t ) ≤ m − 2 , 1 < l : = inf t > 0 ϕ ( t ) t 2 Φ ( t ) ≤ sup t > 0 ϕ ( t ) t 2 Φ ( t ) = : m < N 。
注1.2经验证,下列函数满足条件 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) :
Φ ( t ) = | t | a log ( 1 + | t | ) , ψ 1 ( t ) = q t q − 1 log ( 1 + t ) + t q t + 1 , f ( x , t ) = { ψ 2 ( t ) , 0 < t < 1 , d ψ 1 ( t ) , 1 < t < ∞ .
与文献 [
本文的主要结果如下:
定理1.1假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,则问题(1)在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中存在非零基态解。
定理1.2设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,则问题(1)至少有两个非平凡解 u 1 和 u 2 ,且 u 1 ≥ 0 , u 2 ≤ 0 。
记 L Φ ( Ω ) = { u : Ω → ℝ 是 可 测 的 , ∫ Ω Φ ( | u ( x ) | ) d x < ∞ } ,在Luxemburg范数
‖ u ‖ Φ = inf { k > 0 | ∫ Ω Φ ( | u ( x ) | k ) d x ≤ 1 }
的意义下, L Φ ( Ω ) 是一个Banach空间,通常称为Orlicz空间。Orlicz-Sobolev空间 W 1 , Φ ( ℝ N ) 是 C 0 ∞ ( ℝ N ) 在范数 ‖ u ‖ 1 = ‖ ∇ u ‖ Φ + ‖ u ‖ Φ 下的完备化。
为了研究问题(1),在假设 ( V 1 ) , ( ϕ 1 ) 和 ( ϕ 3 ) 成立的前提下,记 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 为 W 1 , Φ ( ℝ N ) 的子空间:
W V 1 , Φ ( ℝ N ) = { u ∈ W 1 , Φ ( ℝ N ) | ∫ ℝ N V ( x ) Φ ( | u ( x ) | ) < ∞ } ,
在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 上定义范数 ‖ u ‖ = ‖ ∇ u ‖ Φ + ‖ u ‖ Φ , V ,其中
‖ u ‖ Φ , V = inf { k > 0 | ∫ ℝ N V ( x ) Φ ( | u ( x ) | k ) d x ≤ 1 } 。
易知 ( W V 1 , Φ ( ℝ N ) , ‖ ⋅ ‖ ) 是可分的、自反的Banach空间(见 [
首先给出本文需要的几个基本引理。
引理2.1 [
ξ 1 ( t ) = min { t l , t m } , ξ 2 ( t ) = max { t l , t m } ,
则对于任意 ρ , t > 0 , u ∈ L Φ ( ℝ N ) ,成立
ξ 1 ( t ) Φ ( ρ ) ≤ Φ ( ρ t ) ≤ ξ 2 ( t ) Φ ( ρ ) , ξ 1 ( ‖ u ‖ Φ ) ≤ ∫ ℝ N Φ ( | u ( x ) | ) d x ≤ ξ 2 ( ‖ u ‖ Φ ) 。
引理2.2 [
ξ 1 ( ‖ u ‖ Φ , V ) ≤ ∫ ℝ N V ( x ) Φ ( | u ( x ) | ) d x ≤ ξ 2 ( ‖ u ‖ Φ , V ) ,
其中 ξ 1 ( t ) 和 ξ 2 ( t ) 由引理2.1中给出。
引理2.3 [
ξ 1 ( t ) Ψ ( ρ ) ≤ Ψ ( ρ t ) ≤ ξ 2 ( t ) Ψ ( ρ ) , ξ 1 ( ‖ u ‖ Ψ ) ≤ ∫ ℝ N Ψ ( | u ( x ) | ) d x ≤ ξ 2 ( ‖ u ‖ Ψ ) ,
其中 ξ 1 ( t ) 和 ξ 2 ( t ) 由引理2.1中给出。
引理2.4 [
lim t → 0 ¯ Ψ ( t ) Φ ( t ) < + ∞ , lim | t | → + ∞ ¯ Ψ ( t ) Φ * ( t ) = 0 ,
那么 W V 1 , Φ ( ℝ N ) ↪↪ L Ψ ( ℝ N ) ,其中 Φ * ( t ) 满足:当 t ≥ 0 时, Φ ∗ − 1 ( t ) = ∫ 0 t Φ − 1 ( s ) s ( N +1 ) / N d s , t < 0 时, Φ * ( t ) = Φ * ( − t ) 。特别地, W V 1 , Φ ( ℝ N ) ↪↪ L Φ ( ℝ N ) 。
问题(1)所对应的能量泛函为
I ( u ) = ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ∫ ℝ N F ( x , u ) d x , u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) , (3)
其中 F ( x , t ) = ∫ 0 t f ( x , s ) d s , s ∈ ℝ 。易知 I ( u ) ∈ C 1 ,且对任意 φ ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ,成立
〈 I ′ ( u ) , φ 〉 = ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u | ) ∇ u ∇ φ + V ( x ) ϕ ( | u | ) u φ ) d x − ∫ ℝ N f ( x , u ) φ d x 。
因此,寻找问题(1)的弱解等价于找泛函I的临界点。
如果问题(1)的弱解存在,那么它一定属于Nehari流形 M :
M = { u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } : 〈 I ′ ( u ) , u 〉 = 0 } 。
为探索泛函I在Nehari流形上的行为,我们将借助纤维映射进行分析。对 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ,定义纤
维映射 h u ( t ) : t → I ( t u ) ( t > 0 ) :
h u ( t ) = ∫ ℝ N ( Φ ( t | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( t | u | ) ) d x − ∫ ℝ N F ( x , t u ) d x 。
由 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 条件可得纤维映射 h u ( t ) ∈ C 2 ,且
h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N t ( ϕ ( t | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x , t u ) u d x ,
h ″ u ( t ) = ∫ ℝ N ( t ϕ ′ ( t | ∇ u | ) | ∇ u | 3 + ϕ ( t | ∇ u | ) | ∇ u | 2 ) d x + ∫ ℝ N ( t V ( x ) ϕ ′ ( t | u | ) | u | 3 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x − ∫ ℝ N f ′ ( x , t u ) u 2 d x 。
容易看出, M = { u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } : h ′ u ( 1 ) = 0 } ;若u是泛函I的局部极小(大)值,则 h u ( t ) 在 t = 1 处取得局部极小(大)值;对 t > 0 , t u ∈ M 当且仅当 h ′ u ( t ) = 0 。
本节的主要工作是证明定理1.1。
引理3.1假设 ( f 1 ) 和 ( f 2 ) 成立,若在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有 u n ⇀ u ,则下列结论成立:
(1) ∫ ℝ N f ( x , u n ) u n d x → ∫ ℝ N f ( x , u ) u d x ;(2) ∫ ℝ N F ( x , u n ) d x → ∫ ℝ N F ( x , u ) d x 。
证首先证明(1)。假设 { u n } 是 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中的序列,满足
u n ⇀ u (在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中)。
根据引理2.4,存在 { u n } 的一个子列(仍记为其本身),使得
u n → u (在 L Ψ ( ℝ N ) 中)。
那么存在 { u n } 的一个子列(仍记为其本身),以及函数 h ∈ L Ψ ( ℝ N ) ,使得
u n → u a.e. x ∈ ℝ N , | u n | ≤ h a.e. x ∈ ℝ N 。
由 ( f 1 ) 和 ( a 1 ) 可得
| f ( x , u n ) u n | ≤ C | u n | + C ψ ( u n ) | u n | ≤ C h + C ψ ( h ) h ≤ C h + C m Ψ Ψ ( h ) ∈ L 1 ( ℝ N ) 。
由Lebesgue控制收敛定理,有
lim n → ∞ ∫ ℝ N f ( x , u n ) u n d x = ∫ ℝ N f ( x , u ) u d x 。
下面证明(2)。由 ( f 2 ) 可得
lim t → 0 F ( x , t ) Ψ ( t ) = lim t → 0 f ( x , t ) ψ ( t ) < λ 。
对任意 ε > 0 充分小,存在 δ > 0 ,成立
| F ( x , t ) | Ψ ( t ) < λ − ε , x ∈ ℝ N , | t | < δ 。
因此
| F ( x , u n ) | < ( λ − ε ) | Ψ ( u n ) | ≤ ( λ − ε ) Ψ ( h ) ∈ L 1 ( ℝ N ) 。
由Lebesgue控制收敛定理,有 lim n → ∞ ∫ ℝ N F ( x , u n ) d x = ∫ ℝ N F ( x , u ) d x 。证毕。
注3.1给定 ε > 0 充分小,由 ( f 1 ) 和 ( f 2 ) 可知,存在常数 C ε > 0 ,使得
| f ( x , t ) | ≤ ( λ − ε ) | ψ ( t ) | + C ε ψ ( t ) , t ∈ ℝ ,
从而
| F ( x , t ) | ≤ ( λ − ε ) Ψ ( t ) + C ε Ψ ( t ) , t ∈ ℝ 。 (4)
由 ( f 2 ) 和 ( a 1 ) ,可得
lim sup t → 0 f ( x , t ) t Ψ ( t ) < λ m Ψ 。 (5)
再根据 ( f 1 ) 和(5)可得
| f ( x , t ) t | ≤ ( λ m Ψ − ε ) Ψ ( t ) + C ε Ψ ( t ) , t ∈ ℝ 。 (6)
分别对(4)和(6)关于x在 ℝ N 上积分,对 ε > 0 充分小,存在 C ε > 0 ,使得对任意 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) 有
∫ ℝ N f ( x , u ) u d x ≤ ( λ m Ψ − ε ) ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x + C ε ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x ,
∫ ℝ N F ( x , u ) d x ≤ ( λ − ε ) ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x + C ε ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x 。
利用引理2.1和引理2.4,对 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ,有
∫ ℝ N f ( x , u ) u d x ≤ ( λ m Ψ − ε ) max { ‖ u ‖ l Ψ , ‖ u ‖ m Ψ } + C ε max { ‖ u ‖ l Ψ , ‖ u ‖ m Ψ } , (7)
∫ ℝ N F ( x , u ) d x ≤ ( λ − ε ) max { ‖ u ‖ l Ψ , ‖ u ‖ m Ψ } + C ε max { ‖ u ‖ l Ψ , ‖ u ‖ m Ψ } 。 (8)
下面将研究纤维映射在无穷远处和原点附近的行为。
引理3.2 设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,对 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,则成立:
(1) lim t → 0 h ′ u ( t ) t m − 1 > 0 , lim t → ∞ h ′ u ( t ) t m − 1 = − ∞ ;(2) lim t → 0 h u ( t ) t m > 0 , lim t → ∞ h u ( t ) t m = − ∞ 。
证 先证(1)。因为
h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N t ( ϕ ( t | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x , t u ) u d x ,
由注1.1,引理2.1以及(7)可得
t h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N ( ϕ ( t | ∇ u | ) | t ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) | t u | 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u d x ≥ l ∫ ℝ N ( Φ ( t | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( t | u | ) ) d x − ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u d x ≥ l t m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ( λ m Ψ − ε + C ε ) max { ‖ t u ‖ l Ψ , ‖ t u ‖ m Ψ } 。
对任意 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,当 0 < t < 1 时,有
h ′ u ( t ) t m − 1 ≥ l ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ( λ m Ψ − ε + C ε ) max { ‖ t u ‖ l Ψ , ‖ t u ‖ m Ψ } t m 。
由于 m < l Ψ ,于是 h ′ u ( t ) t m − 1 ≥ l ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x + ο ( 1 ) ,故 lim t → 0 h ′ u ( t ) t m − 1 > 0 。
进一步,根据引理2.1,当 t > 1 时,有
t h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N ( ϕ ( t | ∇ u | ) | t ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( | t u | ) | t u | 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u d x ≤ m t m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u d x 。
所以 h ′ u ( t ) t m − 1 ≤ m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − 1 t m ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u d x 。利用 ( f 4 ) 可得
lim inf t → ∞ ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u t m d x = lim inf t → ∞ ∫ ℝ N f ( x , t u ) | t u | m − 2 t u | u | m d x = + ∞ 。
由Fatou引理,结合上式,有
lim t → ∞ h ′ u ( t ) t m − 1 ≤ m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − lim inf t → ∞ ∫ ℝ N f ( x , t u ) t u t m d x = − ∞ 。
结论(2)可以根据L’Hospital法则得到。证毕。
引理3.3 设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 和 ( V 1 ) 成立,则
u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ↦ ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x
和
u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ↦ ∫ ℝ N ( m Φ ( | ∇ u | ) − ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ( m Φ ( | u | ) − ϕ ( | u | ) u 2 ) ) d x
都是弱下半连续的。
证 此引理的证明是初等的,此处从略。
引理3.4假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,那么对 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,存在唯一的
t max ( u ) > 0 ,使得 t max ( u ) u ∈ M ,并且对任意 u ∈ M ,有 I ( u ) > 0 。
证设 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,根据引理3.2知,当t足够小, h ′ u ( t ) > 0 ;当t足够大, h ′ u ( t ) < 0 ,则 h ′ u ( t ) 至少存在 t max ( u ) ∈ ( 0 , ∞ ) ,使得 h ′ u ( t max ( u ) ) = 0 ,从而 t max ( u ) u ∈ M 。
下面证明 t max ( u ) 是唯一的。事实上,由注1.1,对任意 x ∈ ℝ N , t > 0 ,有
d d t ( ϕ ( t | ∇ u | ) ∇ ( t u ) ∇ u t m − 1 ) = | ∇ u | 2 ( ϕ ′ ( t | ∇ u | ) | ∇ ( t u ) | − ( m − 2 ) ϕ ( t | ∇ u | ) ) t m − 1 ≤ 0 。 (9)
同理可得
d d t ( V ( x ) ϕ ( t | u | ) t u 2 t m − 1 ) = u 2 ( ϕ ′ ( t | u | ) | t u | − ( m − 2 ) V ( x ) ϕ ( t | u | ) ) t m − 1 ≤ 0 。 (10)
由 h ′ u ( t ) = 〈 I ′ ( t u ) , u 〉 ,结合(3.6)、(3.7)和 ( f 3 ) ,对任意 t > 0 , u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,
d d t ( h ′ u ( t ) t m − 1 ) ≤ − ∫ ℝ N d d t ( f ( x , t u ) | t u | m − 2 t u ) | u | m d x < 0 。 (11)
因此, t ↦ h ′ u ( t ) t m − 1 在 ( 0 , ∞ ) 上是递减函数,从而 h ′ u ( t ) 有唯一的极大值点 t max ( u ) > 0 ,并且
t max ( u ) u ∈ M ,由(11)式可知,对任意 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } , t > 0 ,有 h ″ u ( t ) < 0 。根据引理3.2(1)知 h ( t max ( u ) ) > 0 ,故 I ( t max ( u ) u ) > 0 。因为 u ∈ M 当且仅当 t max ( u ) = 1 ,故对任意 u ∈ M ,有 I ( u ) > 0 。证毕。
引理3.5设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 和 ( V 2 ) 成立,定义 J : W V 1 , Φ ( ℝ N ) → ℝ :
J ( u ) = ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x ,
则 J ( u ) 是 C 1 的,且
〈 J ′ ( u ) , v 〉 = ∫ ℝ N ( 2 ϕ ( | ∇ u | ) + ϕ ′ ( | ∇ u | ) | ∇ u | ) ∇ u ∇ v d x + ∫ ℝ N V ( x ) ( 2 ϕ ( | u | ) + ϕ ′ ( | u | ) | u | ) u v d x , u , v ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) 。
证 此证明是基本的,这里略去。
引理3.6设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,那么 M 是 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 的 C 1 子流形,并且泛函I在 M 的临界点是I在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 上的临界点。
证 由 h u ( t ) 的定义知,对 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } , h ′ u ( t ) = 〈 I ′ ( t u ) , u 〉 。定义函数 G ( u ) : = 〈 I ′ ( u ) , u 〉 ,根据引理3.5,对任意 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,知 G ∈ C 1 。由引理3.4的证明过程可得, h u ( t ) 在 t = 1 处取得全局极大值,且当 t > 0 时,对任意 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,有 h ″ u ( t ) < 0 ,因此
G ′ ( u ) = I ″ ( u ) ⋅ ( u , u ) + 〈 I ′ ( u ) , u 〉 = h ″ u ( 1 ) < 0 , ∀ u ∈ M 。
因为 M = G − 1 ( 0 ) ,且0是 G ( u ) 的正则值,所以 M 是 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 的 C 1 子流形。
不失一般性,假设 u 0 是I在 M 中的局部极小值点,那么 u 0 也是下列极小化问题的解
{ min I ( u ) h ( u ) = 0 。
因此,由Lagrange乘数定理,存在Lagrange乘子 μ 1 ∈ ℝ ,使得
I ′ ( u 0 ) = μ 1 G ′ ( u 0 ) 。
于是
〈 I ′ ( u 0 ) , u 0 〉 = μ 1 〈 G ′ ( u 0 ) , u 0 〉 = 0 。
由于
〈 G ′ ( u 0 ) , u 0 〉 = h ″ u ( 1 ) < 0 , ∀ u 0 ∈ M 。
所以 μ = 0 ,从而 I ′ ( u 0 ) = 0 ,故 u 0 是I的极小值点。证毕。
引理3.7设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,那么存在常数 C > 0 ,使得对任意 u ∈ M ,有 ‖ u ‖ > C 。
证 反证。假设存在 { u n } ⊂ M ,对任意整数 n ≥ 1 ,有 ‖ u n ‖ ≤ 1 n 。给定 ε > 0 ,由(3.4)知,存在 C ε > 0 ,使得
∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≤ 1 l ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u n | ) ∇ u n 2 + V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x = 1 l ∫ ℝ N f ( x , u n ) u n d x ≤ 1 l ( λ m Ψ − ε ) ∫ ℝ N Ψ ( | u n | ) d x + C ε l ∫ ℝ N Ψ ( | u n | ) d x ≤ 1 l ( λ m Ψ − ε ) max { ‖ u n ‖ l Ψ , ‖ u n ‖ m Ψ } + C ε l max { ‖ u n ‖ l Ψ , ‖ u n ‖ m Ψ } = C 1 max { ‖ u n ‖ l Ψ , ‖ u n ‖ m Ψ } + C 2 max { ‖ u n ‖ l Ψ , ‖ u n ‖ m Ψ }
不妨假设 ‖ ∇ u n ‖ Φ ≥ ‖ u n ‖ Φ , V ,则有 ‖ ∇ u n ‖ Φ ≥ 1 2 ‖ u n ‖ , n = 1 , 2 , ⋯ ,因此
∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≥ min { ‖ ∇ u n ‖ Φ l , ‖ ∇ u n ‖ Φ m } ≥ ( 1 2 ) m min { ‖ u n ‖ l , ‖ u n ‖ m } = ( 1 2 ) m ‖ u n ‖ m
所以
( 1 2 ) m ‖ u n ‖ m ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≤ C ‖ u n ‖ l Ψ + C 2 ‖ u n ‖ l Ψ ≤ C 3 ‖ u n ‖ l Ψ ,
其中 C 1 、 C 2 和 C 3 是大于0的常数,进一步有 1 < C 3 ‖ u n ‖ l Ψ − m 。由于 l Ψ > m 。两边取极限,当 n → ∞
时,上式与 ‖ u n ‖ ≤ 1 n 相矛盾,所以Nehari流形中元素的范数有正下界。证毕。
令 C M = inf u ∈ M I ( u ) ,首先证明I的任何极小化序列在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 上是有界的。
引理3.8假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,设 { u n } 是泛函I在Nehari流形 M 中的极小化序列,那么 { u n } 在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有界。
证反证。如果 { u n } 在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中无界,则存在子序列(仍记为其本身),使得
lim n → ∞ ‖ u n ‖ = ∞ ,且 ‖ u n ‖ > 1 , ∀ n ∈ N 。
因为 { u n } ⊂ M 是 I ( u ) 的极小化序列,故 lim n → ∞ I ( u n ) = inf u ∈ M I ( u ) ,且
I ( u n ) ‖ u n ‖ m = ο n ( 1 ) 。
令 v n = u n ‖ u n ‖ , n = 1 , 2 , ⋯ ,则 { v n } ⊂ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ,且 ‖ v n ‖ = 1 , ∀ n ∈ N 。因此存在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中的元素v,使得 v n ⇀ v (在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中)。
我们断言 v ≠ 0 。事实上,假设 v ≡ 0 ,因为 { u n } ⊂ M ,则
I ( u n ) = max t > 0 I ( t u n ) , ∀ n ∈ N 。
设常数 z > 0 ,则
C M + ο n ( 1 ) ≥ I ( z v n ) = ∫ ℝ N ( Φ ( z | ∇ v n | ) + V ( x ) Φ ( z | v n | ) ) d x − ∫ ℝ N F ( x , z v n ) d x 。
由于在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有 v n ⇀ 0 ,根据引理3.1(2)知 ∫ ℝ N F ( x , z v n ) d x → 0 。不妨假设 ‖ ∇ v n ‖ Φ ≥ ‖ v n ‖ Φ , V ,则有 ‖ ∇ v n ‖ Φ ≥ 1 2 ‖ v n ‖ , n = 1 , 2 , ⋯ 。由引理2.1和引理2.2,得到
C M + ο n ( 1 ) = I ( u n ) ≥ ∫ ℝ N ( Φ ( z | ∇ v n | ) + V ( x ) Φ ( z | v n | ) ) d x + ο n ( 1 ) ≥ min { ‖ z ∇ v n ‖ Φ l , ‖ z ∇ v n ‖ Φ m } + min { ‖ z v n ‖ Φ , V l , ‖ z v n ‖ Φ , V m } + ο n ( 1 ) ≥ min { ‖ z ∇ v n ‖ Φ l , ‖ z ∇ v n ‖ Φ m } + ο n ( 1 ) ≥ min { ‖ 1 2 z v n ‖ l , ‖ 1 2 z v n ‖ m } + ο n ( 1 )
对上述不等式两边取极限,则 C M ≥ min { ( 1 2 z ) l , ( 1 2 z ) m } , z > 0 。得到矛盾,故 v ≠ 0 。
令 n → ∞ ,由引理2.1,
∫ ℝ N F ( x , u n ) ‖ u n ‖ m d x = 1 ‖ u n ‖ m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x + ο n ( 1 ) ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ v n | ) + V ( x ) Φ ( | v n | ) ) d x + ο n ( 1 ) ≤ max { ‖ ∇ v n ‖ Φ l , ‖ ∇ v n ‖ Φ m } + max { ‖ v n ‖ Φ , V l , ‖ v n ‖ Φ , V m } + ο n ( 1 ) = ‖ ∇ v n ‖ Φ l + ‖ v n ‖ Φ , V l + ο n ( 1 ) ≤ ‖ v n ‖ + ο n ( 1 ) = 1 + ο n ( 1 )
得到
lim sup n → ∞ ∫ ℝ N F ( x , u n ) ‖ u n ‖ m d x ≤ 1 。
另一方面,根据Fatou引理和 ( f 4 ) ,注意到 v ≠ 0 ,则
lim inf n → ∞ ∫ ℝ N F ( x , u n ) ‖ u n ‖ m d x ≥ ∫ ℝ N lim inf n → ∞ F ( x , u n ) ‖ u n ‖ m d x = ∫ ℝ N lim inf n → ∞ F ( x , u n ) | u n | m | v n | m d x = + ∞ ,
矛盾,因此 { u n } 在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有界。证毕。
引理3.9设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,则存在 u ∈ M ,使得 C M = I ( u ) > 0 。
证设 { u n } 是泛函I在 M 中的极小化序列,由引理3.8, { u n } 在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有界,从而存在 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ,使得 u n ⇀ u (在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中)。
易见 u ≡ 0 。事实上,假设 u ≡ 0 ,对 { u n } ⊂ M ,有
0 ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≤ 1 l ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u n | ) | ∇ u n | 2 + V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x = 1 l ∫ ℝ N f ( x , u n ) u n d x (12)
根据引理3.1(1)可得 ∫ ℝ N f ( x , u n ) u n d x = ο n ( 1 ) ,结合12(3.9)式,则有 ‖ u n ‖ → 0 ( n → ∞ ),这与引理3.7
中的结论 ‖ u ‖ > C 相矛盾,故 u ≡ 0 。
由引理3.3(1)和引理3.1(2)知, u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ↦ 〈 I ′ ( u ) , u 〉 是弱下半连续的,故
〈 I ′ ( u ) , u 〉 ≤ lim inf n → ∞ 〈 I ′ ( u n ) , u n 〉 = 0 。
从而 h ′ u ( 1 ) = 〈 I ′ ( u ) , u 〉 ≤ 0 ,根据引理3.4及其证明过程知,存在 t ∈ ( 0 , 1 ] 使得 h ′ u ( t u ) = 0 ,故 t u ∈ M 。
我们断言当 t = 1 时, u ∈ M 。反证。假设 t ∈ ( 0 , 1 ) ,则
C M ≤ I ( t u ) = I ( t u ) − 1 m 〈 I ′ ( t u ) , t u 〉 = ∫ ℝ N ( Φ ( t | ∇ u | ) − 1 m ϕ ( t | ∇ u | ) t 2 | ∇ u | 2 + V ( x ) Φ ( t | u | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( t | u | ) t 2 u 2 ) d x + ∫ ℝ N ( 1 m f ( x , t u ) t u − F ( x , t u ) ) d x (13)
由 ( f 1 ) 可得
d d t { 1 m f ( x , t ) t − F ( x , t ) } = t m m ⋅ d d t { f ( x , t ) t m − 1 } > 0 ,
故对任意 x ∈ ℝ N , t ↦ 1 m f ( x , t ) t − F ( x , t ) 在 ( 0 , ∞ ) 上递增。利用 ( ϕ 3 ) ,通过简单计算可以得到
t ↦ Φ ( t | ∇ u | ) − 1 m ϕ ( t | ∇ u | ) t 2 | ∇ u | 2 + V ( x ) Φ ( t | u | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( t | u | ) t 2 u 2
在 ( 0 , ∞ ) 上递增。由(12)和(13)可得
C M < ∫ R N ( Φ ( | ∇ u | ) − 1 m ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 ) d x + ∫ R N ( V ( x ) Φ ( | u | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x + ∫ ℝ N ( 1 m f ( x , u ) u − F ( x , u ) ) d x
根据引理3.3(2)和引理3.1,
C M < lim n → ∞ ∫ R N ( Φ ( | ∇ u n | ) − 1 m ϕ ( | ∇ u n | ) | ∇ u n | 2 ) d x + ∫ R N ( V ( x ) Φ ( | u n | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x + ∫ ℝ N ( 1 m f ( x , u n ) u n − F ( x , u n ) ) d x = lim n → ∞ ( I ( u n ) − 1 m I ′ ( u n ) u n ) = C M
上式是一个矛盾的结论,故 t = 1 ,且 u ∈ M 。证毕。
定理1.1的证明 设 { u n } 是泛函在流形 M 中的极小化序列,由引理3.8知,存在流形 M 中的元素u,使得 u n ⇀ u 。由引理2.4可得在 L Φ ( ℝ N ) 中有 u n → u 。
下面的证明分为两步:第一步证明在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有 u n → u ;第二步证明u是泛函I在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中的临界点。
第一步:反证。存在 δ 1 > 0 ,使得
lim inf n → ∞ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n − ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u n − u | ) ) d x ≥ δ 1 > 0 。 (14)
根据Brezis-Lieb引理(见文献 [
lim inf n → ∞ ∫ ℝ N ( ( Φ ( | ∇ u n | ) − Φ ( | ∇ u n − ∇ u | ) ) + V ( x ) ( Φ ( | u n | ) − Φ ( | u n − u | ) ) ) d x = ∫ ℝ N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x 。 (15)
由(14)和(15)可得
∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x ≤ lim n → ∞ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x − δ 1 < lim n → ∞ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x 。
再根据Lebesgue控制收敛定理,有
C M = lim n → ∞ I ( u n ) = lim n → ∞ { ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x − ∫ ℝ N F ( x , u n ) d x } > I ( u ) 。
上式是一个矛盾结论,故在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中有 u n → u 。
第二步:因为 I ( u ) ∈ C 1 ,故 I ′ ( u n ) → I ′ ( u ) 。根据引理3.9知, u ∈ M ,且
C M = I ( u ) = min u ∈ M I ( u ) > 0 。
由引理3.6可得 M 是 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 的 C 1 的子流形,故u是泛函I在流形 M 中的临界点,从而u是泛函I在 W V 1 , Φ ( ℝ N ) 中的临界点。
考虑截断函数 f ± : ℝ N × ℝ → ℝ ,
f + ( x , t ) = { f ( x , t ) , t ≥ 0 , 0 , t < 0 , f − ( x , t ) = { f ( x , t ) , t ≤ 0 , 0 , t > 0 ,
显然 f ± 都是连续的,那么对应的能量泛函为 I ± : W V 1 , Φ ( ℝ N ) → ℝ ,
I ± ( u ) = ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ∫ ℝ N F ± ( x , u ) d x , u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) ,
其中 F ± ( x , t ) = ∫ 0 t f ± ( x , s ) d s , x ∈ ℝ N , t ∈ ℝ 。与 f + 和 f − 相对应的Nehari流形分别为
M + = { u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } : 〈 I ′ + ( u ) , u 〉 = 0 } ;
M − = { u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } : 〈 I ′ − ( u ) , u 〉 = 0 } 。
由引理3.7可知, M ± 是 C 1 的子流形,并且 M ± 中的元素的范数有正下界,此外 c ± = inf w ∈ M ± I ± ( w ) 是泛函 I ± 的临界值,故泛函I有两个临界点 u 1 , u 2 ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,使得
I + ( u 1 ) = c + > 0 , I − ( u 2 ) = c − > 0 。
给定 u ∈ W V 1 , Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ,令 u + = max { u , 0 } , u − = min { u , 0 } ,因此 u = u + + u − 。取 u 1 − 作为测试函数,则有
0 ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u 1 − | ) + V ( x ) Φ ( | u 1 − | ) ) d x ≤ 1 l ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u 1 − | ) | ∇ u 1 − | 2 + V ( x ) ϕ ( | u 1 − | ) u 1 − 2 ) d x = 1 l ∫ ℝ N f ( x , u 1 ) u 1 − d x = 0 (16)
由(16)知 u 1 − ≡ 0 ,故 u 1 ≥ 0 且 u 1 ≡ 0 ,同理可得 u 2 ≤ 0 且 u 2 ≡ 0 。证毕。
孙爱群. 含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性Existence of Solutions for Quasilinear Elliptic Equation with Φ-Laplacian Operator[J]. 理论数学, 2021, 11(04): 562-573. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114069