本文在已有文献的基础上,给出了当A
1、B
1为对合矩阵时,分块矩阵
本文在已有文献的基础上,给出了当 A 1 、 B 1 为对合矩阵时,分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似的充分必要条件是 A 1 C + C B 1 = 0 。当 A 1 、 B 1 为k-幂零矩阵时,上述两分块矩阵相似的充分条件是 r [ A 1 C 0 B 1 ] = r [ A 1 0 0 B 1 ] = r ( A 1 ) + r ( B 1 ) 和 A 1 C + C B 1 = 0 。最后对 A 1 、 B 1 为k-幂零矩阵进行了进一步讨论。
矩阵的相似,对合矩阵,幂零矩阵,Roth定理
Yu Cheng
School of Data Science and Software Engineering, Baoding University, Baoding Hebei
Received: Mar. 22nd, 2021; accepted: Apr. 11th, 2021; published: Apr. 27th, 2021
This article, on the basis of the existing literature, applying Roth’s theory, proves that when the A 1 and B 1 are involutory matrix, the necessary and sufficient condition of similar partitioned of matrix [ A 1 0 0 B 1 ] and [ A 1 C 0 B 1 ] is A 1 C + C B 1 = 0 . When A 1 and B 1 are k-nilpotent matrix, the sufficient condition for the similarity of the two-block matrices is r [ A 1 C 0 B 1 ] = r [ A 1 0 0 B 1 ] = r ( A 1 ) + r ( B 1 ) and A 1 C + C B 1 = 0 . At last, we further discuss that A 1 and B 1 are k-nilpotent matrix.
Keywords:Matrix’s Similarity, Involutory Matrix, Nilpotent Matrix, Roth’s Theory
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
分块矩阵 [ A 0 0 B ] 与 [ A C 0 B ] 不仅具有相似的结构,而且具有许多相似的特征。Roth定理 [
A X − X B = C (1)
有解,而文 [
设n阶方阵A满足 A 2 = E ,则称方阵A为对合矩阵 [
本文用到的对合矩阵的性质
1) 对合矩阵 A − 1 = A ;
2) 若方阵A为对合矩阵,则A的特征值为1或−1 [
3) 对合矩阵的相似矩阵仍为对合矩阵;
4) 若n阶方阵A为对合矩阵,则A与对角矩阵 [ E r 0 0 − E n − r ] 相似,其中 0 ≤ r ≤ n 为A的特征值1的重数 [
设A为数域P上的n阶方阵,若存在正整数m,使得 A m − 1 ≠ 0 , A m = 0 ,则称A是幂零指数为m的幂零矩阵,记为m-幂零矩阵 [
1) A是幂零矩阵,则A不可逆;
2) A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0 [
3) 与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵,矩阵的幂零指数相同,并且相似于严格的上三角矩阵,进而幂零矩阵A都有以下分解形式:
A = P − 1 [ 0 A 1 0 0 ] P ,其中 A 1 是方阵;
4) 对k-幂零矩阵,若当标准型中幂零若当块的阶数小于等于k。
引理1 [
定理1 已知方阵 A , B , C , D ,其中A与B相似,C与D相似,则 [ A 0 0 C ] 与 [ B 0 0 D ] 相似。
由相似定义即可证明。
引理2 [
定理2 设 A 1 和 B 1 均为对合矩阵,则分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似的充分必要条件为 A 1 C + C B 1 = 0 。
证明:必要性:因为 A 1 2 = E m , B 1 2 = E n ,所以 [ A 1 0 0 B 1 ] 为对合矩阵,又因为分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似, [ A 1 C 0 B 1 ] 也为对合矩阵,
[ A 1 C 0 B 1 ] [ A 1 C 0 B 1 ] = [ A 1 2 A 1 C + C B 1 0 B 1 2 ] ,
即
A 1 C + C B 1 = 0 .
充分性:因为 A 1 C + C B 1 = 0 ,所以 A 1 2 C + A 1 C B 1 = 0 , A 1 2 = E m ,从而 A 1 C B 1 = − C ,取 X 0 = 1 2 A 1 C ,则 X 0 为方程(1)的解。由Roth定理知分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似。
引理3 [
现将此结论做以下推广。
定理3 设 A 1 和 B 1 均为k-幂零矩阵,若满足 r [ A 1 C 0 B 1 ] = r [ A 1 0 0 B 1 ] = r ( A 1 ) + r ( B 1 ) ,且 A 1 C + C B 1 = 0 ,则分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似。
证明:因为 A 1 和 B 1 均为k-幂零矩阵,由k-幂零矩阵的性质可得
A 1 = P − 1 [ 0 A 11 0 0 ] P , B 1 = Q [ 0 B 11 0 0 ] Q − 1 , (2)
其中 A 11 和 B 11 是方阵。
代入(1)式得
P − 1 [ 0 A 11 0 0 ] P X − X Q [ 0 B 11 0 0 ] Q − 1 = C , (3)
[ 0 A 11 0 0 ] P X Q − P X Q [ 0 B 11 0 0 ] = P C Q , (4)
此式是关于X的矩阵方程,下证明其有解。
设
P X Q = [ Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ] , P C Q = [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] , (5)
展开(4)式得
[ A 11 Y 3 A 11 Y 4 0 0 ] − [ 0 Y 1 B 11 0 Y 3 B 11 ] = [ A 11 Y 3 A 11 Y 4 − Y 1 B 11 0 − Y 3 B 11 ] = [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] , (6)
即
A 11 Y 3 = M 1 , Y 3 B 11 = − M 4 , M 3 = 0 , A 11 Y 4 − Y 1 B 11 = M 2 ,(7)
又据文 [
R ( M 1 ) ⊆ R ( A 11 ) , R ( M 4 T ) ⊆ R ( B 11 T ) , A 11 M 4 + M 1 B 11 = 0 , (8)
(即 M 1 的列向量可由 A 11 的列向量组线性表出, M 4 的行向量可由 B 11 的行向量组线性表出,且 A 11 M 4 + M 1 B 11 = 0 ) [
r [ A 11 M 2 0 B 11 ] = r ( A 11 ) + r ( B 11 ) [
因为 M 3 = 0 ,(8)式前两个包含关系和(9)式一起等价于矩阵秩的方程如下:
r [ 0 A 11 M 1 M 2 0 0 M 3 M 4 0 0 0 B 11 0 0 0 0 ] = r [ 0 A 11 0 0 ] + r [ 0 B 11 0 0 ] , (10)
因 M 1 的列向量可由 A 11 的列向量组线性表出, M 4 的行向量可由 B 11 的行向量组线性表出,所以由矩阵的初等变换即可得(10)式。又对(10)做分块矩阵的初等变换,给其左乘分块矩阵 [ P − 1 0 0 Q ] ,右乘分块矩阵 [ P 0 0 Q − 1 ] ,即化为 [ A 1 C 0 B 1 ] ,故(10)等价于
r [ A 1 C 0 B 1 ] = r ( A 1 ) + r ( B 1 ) . (11)
另外, A 11 M 4 + M 1 B 11 = 0 等价于
[ 0 A 11 0 0 ] [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] + [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] [ 0 B 11 0 0 ] = 0 , (12)
由(2)、(4)及(5)得
P − 1 [ 0 A 11 0 0 ] P C + C Q [ 0 B 11 0 0 ] Q − 1 = 0 , (13)
即
A 1 C + C B 1 = 0 . (14)
综上所述在(11)和(14)的情况下,矩阵方程(4)有解,即矩阵方程(1)有解,故 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似。
定理3仅给出了 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似的充分条件,其逆命题并不成立。 若 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似,因 A 1 和 B 1 均为k-幂零矩阵,故 [ A 1 0 0 B 1 ] 也为k-幂零矩阵。
从而 [ A 1 C 0 B 1 ] 为k-幂零矩阵。所以
[ A 1 C 0 B 1 ] k = [ A 1 k ∑ i = 0 k − 1 A 1 i C B 1 k − 1 − i 0 B 1 k ] = 0 ,
又因为
A 1 k = 0 , B 1 k = 0 ,
故
∑ i = 0 k − 1 A 1 i C B 1 k − 1 − i = 0 .
当k为奇数时
C B 1 k − 1 + A 1 C B 1 k − 2 + A 1 2 C B 1 k − 3 + ⋯ + A 1 k − 2 C B 1 + A 1 k − 1 C = C B 1 k − 1 + A 1 ( C B 1 + A 1 C ) B 1 k − 3 + ⋯ + A 1 k − 2 ( C B 1 + A 1 C ) = 0 ;
当k为偶数时
C B 1 k − 1 + A 1 C B 1 k − 2 + A 1 2 C B 1 k − 3 + ⋯ + A 1 k − 2 C B 1 + A 1 k − 1 C = ( C B 1 + A 1 C ) B 1 k − 2 + ⋯ + A 1 k − 2 ( C B 1 + A 1 C ) = 0 .
由此可知, A 1 C + C B 1 = 0 不是必要条件。
河北省教育厅高等学校科学技术研究项目(Z2015009)。
程 宇. 关于分块矩阵相似性的探讨On the Similarity of Block Matrix[J]. 应用数学进展, 2021, 10(04): 1109-1114. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104120