本文研究了一类特殊的具有左右分数阶导数和时滞的非瞬时脉冲微分方程,该方程具有交叉时滞,且带有非线性边界条件。并基于上下解方法得到多个正解存在性定理。 In this paper, we study a class of special non-instantaneous impulsive differential equations with left and right fractional derivatives and delays. The equations have cross delays and nonlinear boundary conditions. Based on the upper and lower solution method, we obtain the existence theorems of multiple positive solutions.
本文研究了一类特殊的具有左右分数阶导数和时滞的非瞬时脉冲微分方程,该方程具有交叉时滞,且带有非线性边界条件。并基于上下解方法得到多个正解存在性定理。
左右分数阶导数,时滞,非瞬时脉冲微分方程,非线性边界条件,上下解方法
Yuxin Zhang
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Mar. 27th, 2021; accepted: Apr. 15th, 2021; published: Apr. 29th, 2021
In this paper, we study a class of special non-instantaneous impulsive differential equations with left and right fractional derivatives and delays. The equations have cross delays and nonlinear boundary conditions. Based on the upper and lower solution method, we obtain the existence theorems of multiple positive solutions.
Keywords:Left-Right Fractional Derivatives, Time Delay, Non-Instantaneous Pulse, Nonlinear Boundary Conditions, Upper and Lower Solution Method
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
分数阶微分方程非常适合刻画具有记忆和遗传性质的材料及过程,其对复杂系统的描述具有建模简单、描述准确、参数物理意义清楚等优势,因此也是复杂力学、物理过程数学建模的重要工具,如利用分数阶微积分在不同粘弹性流体的本构关系,在非牛顿流体中进行应用;分数阶SEIR传染病模型可以准确研究传染病、社交网络信息传播等方面的问题;在含未知参数的情况下,利用非线性分数阶系统状态估计分别含有分数阶有色过程噪声和有色测量噪声的连续时间问题。
在分数阶微分方程边值问题的研究 [
文献 [
{ D c b _ α D c a + α T ( t ) + λ T ( t ) = 0 , T ( a ) = T 0 , T ( b ) = T 1 ,
其中, T ∈ C [ 0 , 1 ] , D c b _ α 为Caputo分数阶右导数, D c a + α 为Caputo分数阶左导数。作者利用分数阶微分方程的数值解针对实际问题进行分析。
文献 [
{ − ( D 0 + t α u ( t ) ) = f ( t , v ( t ) ) , t ∈ ( 0 , T ) , − ( D t T − β v ( t ) ) = g ( t , u ( t ) ) , t ∈ ( 0 , T ) , u ( 0 ) = 0 , D 0 + t α − 1 u ( T ) = r 1 D t T − β − 1 v ( ξ ) , v ( T ) = 0 , D t T − β − 1 v ( 0 ) = r 2 D 0 + t α − 1 u ( ξ ) ,
其中, D 0 + t α , D t T − β 分别是 α 阶R-L分数阶左导数和 β 阶R-L分数阶右导数, 0 < α , β ≤ 2 , ξ ∈ [ 0 , T ] 。作者运用上下解方法获得了边值问题解的存在性定理。
基于以上启发,本文研究含有左右分数阶导数和时滞的非瞬时脉冲微分方程非线性边值问题:
{ D t c ξ − α u ( t ) = f 1 ( t , u ( t ) , u ( t + τ 1 ) ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , D ξ + c t β u ( t ) = f 2 ( t , u ( t ) , u ( t − τ 2 ) ) , t ∈ ( ξ , 1 ] , Δ u ( ξ ) = I ( ξ , u ( ξ ) ) , Δ u ′ ( ξ ) = Q ( ξ , u ( ξ ) ) , h 0 ( u ( 0 ) , u ( 1 ) ) = 0 , h 1 ( D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) ) = 0 (1)
解的存在性与多解性。其中, D t c ξ − α 是右侧Caputo分数阶导数, D ξ + c t β 是左侧Caputo分数阶导数, 1 < α , β ≤ 2 , ξ ∈ ( 0 , 1 ) , u ( ξ + ) = lim ε → 0 + u ( ξ + ε ) , u ( ξ − ) = lim ε → 0 − u ( ξ + ε ) , τ 1 ∈ ( 0 , 1 − ξ ) , τ 2 ∈ ( 0 , ξ ) , f 1 ∈ C ( [ 0 , ξ ] × ℝ + × ℝ + , ℝ + ) , f 2 ∈ C ( ( ξ , 1 ] × ℝ + × ℝ + , ℝ + ) , I , Q ∈ C ( ℝ , ℝ + ) , h 0 , h 1 ∈ C ( ℝ 2 , ℝ ) 为给定的非线性函数。
定义1 [
I a + t α D a + c t α u ( t ) = u ( t ) + c 1 + c 2 ( t − a ) + c 3 ( t − a ) 2 + ⋯ + c n ( t − a ) n − 1 ,
I t b − α D t c b − α u ( t ) = u ( t ) + d 1 + d 2 ( b − t ) + d 3 ( b − t ) 2 + ⋯ + d n ( b − t ) n − 1 ,
其中 c i , d i ∈ ℝ , i = 1 , 2 , ⋯ , n , n ∈ ℕ 。
引理1 [
α 1 ≺ β 1 ≺ α 2 ≺ β 2 ,
且 A : [ α 1 , β 2 ] → E 是全连续算子,且为强增算子,使
α 1 ≺ A α 1 , A β 1 ≺ β 1 , α 2 ≺ A α 2 , A β 2 ≺ _ β 2 .
则算子A至少有三个不动点 x 1 , x 2 , x 3 使得
α 1 ≺ _ x 1 ≺ ≺ β 1 , α 2 ≺ ≺ x 2 ≺ _ β 2 , α 2 ≺ _ x 2 ≺ _ β 2 .
令 J = [ 0 , 1 ] , J 0 = J \ ξ , E = P C [ J , ℝ ] = { u : J → ℝ : u 在 J 0 上 是 连 续 的 , u ( ξ + ) 与 u ( ξ − ) 存 在 且 u ( ξ − ) = u ( ξ ) } 。显然E是Banach空间且定义其范数为
‖ u ‖ = sup t ∈ [ 0 , 1 ] | u ( t ) | .
令 ‖ u ‖ [ 0 , ξ ] = sup t ∈ [ 0 , ξ ] | u ( t ) | , ‖ u ‖ ( ξ , 1 ] = sup t ∈ ( ξ , 1 ] | u ( t ) | ,则 ‖ u ‖ = max { ‖ u ‖ [ 0 , ξ ] , ‖ u ‖ ( ξ , 1 ] } 。
引理2:令 h ∈ C ( [ 0 , ξ ] , ℝ + ) , y ∈ C ( ( ξ , 1 ] , ℝ + ) ,对任意 m i , n i ∈ ℝ , i = 1 , 2 ,且 Δ 1 ≠ 0 。则边值问题
{ D t c ξ − α u ( t ) = h ( t ) , t ∈ ( 0 , ξ ) , D ξ + c t β u ( t ) = y ( t ) , t ∈ ( ξ , 1 ) , Δ u ( ξ ) = I , Δ u ′ ( ξ ) = Q , m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = γ 0 , m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = γ 1 (2)
在E中存在唯一解
u ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) h ( s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) y ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( − Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) y ( s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t , s ) h ( s ) d s + Δ 3 + t Δ 1 ( Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) , t ∈ ( ξ , 1 ] . (3)
其中
G 1 ( t , s ) = { g 1 ( t , s ) , 0 ≤ s ≤ t ≤ ξ , g 1 ( t , s ) + 1 Γ ( α ) ( s − t ) α − 1 , 0 ≤ t ≤ s ≤ ξ ; (4)
G 2 ( t , s ) = { g 2 ( t , s ) + 1 Γ ( β ) ( t − s ) β − 1 , ξ ≤ s ≤ t ≤ 1 , g 2 ( t , s ) , ξ ≤ t ≤ s ≤ 1 ; (5)
记
Δ 1 = m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − α ) − n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) ; Δ 2 = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 I + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) ;
Δ 3 = − 1 m 1 + n 1 ( − m 1 I + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) ;
g 1 ( t , s ) = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) + t m 2 Δ 1 ; g 2 ( t , s ) = − n 1 m 1 + n 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) − t n 2 Δ 1 .
证明:设 u ∈ E 是边值问题(2)的解,则由定义1可知存在常数 c i ∈ ℝ , i = 0 , 1 , 2 , 3 使 D t C ξ − α u ( t ) = h ( t ) 的解为:
u ( t ) = I t ξ − α h ( t ) + c 0 + c 1 t = 1 Γ ( α ) ∫ t ξ ( s − t ) α − 1 h ( s ) d s + c 0 + c 1 t ,
u ′ ( t ) = − 1 Γ ( α − 1 ) ∫ t ξ ( s − t ) α − 2 h ( s ) d s + c 1 ,
D t c ξ − α − 1 u ( t ) = ∫ t ξ h ( s ) d s − c 1 Γ ( 3 − α ) ( ξ − t ) 2 − α
D ξ + c t β u ( t ) = y ( t ) 的解为:
u ( t ) = I ξ + t β y ( t ) + c 2 + c 3 t = 1 Γ ( β ) ∫ ξ t ( t − s ) β − 1 y ( s ) d s + c 2 + c 3 t ,
u ′ ( t ) = 1 Γ ( β − 1 ) ∫ ξ t ( t − s ) β − 2 y ( s ) d s + c 3 ,
D ξ + c t β − 1 u ( t ) = ∫ ξ t y ( s ) d s + c 3 Γ ( 3 − β ) ( t − ξ ) 2 − β
由边值条件 Δ u ( ξ ) = I , Δ u ′ ( ξ ) = Q 得
{ c 2 − c 0 = I − Q ξ , c 3 − c 1 = Q .
再由边值条件 m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = γ 0 , m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = γ 1 ,可得
{ c 0 = − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s + n 1 ∫ ξ 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 − n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s + n 1 I + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) , c 1 = 1 Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) , c 2 = − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 s α − 1 Γ ( α ) + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s + n 1 ∫ ξ 1 ( ( 1 − s ) β − 1 Γ ( β ) − n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s − m 1 I + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) , c 3 = 1 Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) .
因此,当 t ∈ [ 0 , ξ ] 时,
u ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ t ξ ( s − t ) α − 1 h ( s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s + n 1 ∫ ξ 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 − n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s + n 1 I + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) + t Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) = ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) h ( s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) y ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) .
当 t ∈ ( ξ , 1 ] 时,
u ( t ) = 1 Γ ( β ) ∫ ξ t ( t − s ) β − 1 y ( s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s + n 1 ∫ ξ 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s − m 1 I + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) + t Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) = ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) y ( s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t , s ) h ( s ) d s + Δ 3 + t Δ 1 ( Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) .
易证(3)是方程(2)的解,反之亦然。
证毕。
为了以后证明,我们给出如下假设:
(H1) m i , n i ∈ ℝ ( i = 1 , 2 ) , n 1 > 0 , n 2 > 0 , − n 1 > m 1 > − n 1 ξ , γ 1 ≤ 0 , γ 0 ≤ 0 ,
m 2 > max { Γ ( 3 − α ) ξ α − 1 n 2 Γ ( 3 − β ) ( Γ ( 3 − α ) Γ ( α ) − ξ ) , − Γ ( 3 − α ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α } .
引理3:假设(H1)成立,则由式(4)、(5)定义的函数 G i ( t , s ) , i = 1 , 2 满足以下性质:
1) 0 < G 1 ( 0 , s ) ≤ G 1 ( t , s ) ≤ G 1 ( ξ , s ) ,对任意 ( t , s ) ∈ [ 0 , ξ ] × [ 0 , ξ ] ;
2) 0 < G 2 ( ξ , s ) ≤ G 2 ( t , s ) ≤ G 2 ( 1 , s ) ,对任意 ( t , s ) ∈ [ ξ , 1 ] × [ ξ , 1 ] 。
证明:1) 显然 G i ( t , s ) , i = 1 , 2 为连续函数。 由(H1)知, Δ 1 > 0 , m 2 > ξ α − 1 Γ ( α ) Δ 1 ,则对于 t ∈ [ 0 , ξ ] ,当 0 ≤ s ≤ t ≤ ξ 时,
G 1 ( t , s ) = g 1 ( t , s ) = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) + t m 2 Δ 1 , ∂ g 1 ( t , s ) ∂ t = m 2 Δ 1 > 0 ;
当 0 ≤ s ≤ t ≤ ξ 时,由于 G 1 ( t , s ) = g 1 ( t , s ) + 1 Γ ( α ) ( s − t ) α − 1 ,
∂ G 1 ( t , s ) ∂ t = − 1 Γ ( α − 1 ) ( s − t ) α − 2 + m 2 Δ 1 , ∂ 2 G 1 ( t , s ) ∂ t 2 = α − 2 Γ ( α − 1 ) ( s − t ) α − 3 < 0 ,
则 ∂ G 1 ( t , s ) ∂ t ≥ ∂ G 1 ( s , s ) ∂ t = m 2 Δ 1 > 0 。因此, G 1 ( t , s ) 是关于t的单调递增函数,且
G 1 ( 0 , s ) ≤ G 1 ( t , s ) ≤ G 1 ( ξ , s ) .
又
G 1 ( 0 , s ) = g 1 ( 0 , s ) + 1 Γ ( α ) s α − 1 = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) + 1 Γ ( α ) s α − 1 = − 1 m 1 + n 1 ( − n 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) > − n 1 m 1 + n 1 ( − 1 Γ ( α ) ξ α − 1 + m 2 Δ 1 ) > 0 ,
则 0 < G 1 ( 0 , s ) ≤ G 1 ( t , s ) ≤ G 1 ( ξ , s ) 成立。
2) 对于 t ∈ [ ξ , 1 ] ,当 ξ ≤ t ≤ s ≤ 1 时,
G 2 ( t , s ) = g 2 ( t , s ) = − n 1 m 1 + n 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) + t n 2 Δ 1 , ∂ g 2 ( t , s ) ∂ t = n 2 Δ 1 > 0 ;
当 ξ ≤ s ≤ t ≤ 1 时,
G 2 ( t , s ) = g 2 ( t , s ) + 1 Γ ( β ) ( t − s ) β − 1 , ∂ G 2 ( t , s ) ∂ t = n 2 Δ 1 + 1 Γ ( β − 1 ) ( t − s ) β − 2 > 0 ,
则 G 2 ( t , s ) 是关于t的单调递增函数,那么
G 2 ( ξ , s ) ≤ G 2 ( t , s ) ≤ G 2 ( 1 , s ) .
又
G 2 ( ξ , s ) = − n 1 m 1 + n 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) + n 2 Δ 1 = 1 m 1 + n 1 ( n 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 ( 1 − ( m 1 + n 1 ) ξ ) Δ 1 ) > 0 ,
因此, 0 < G 2 ( ξ , s ) ≤ G 2 ( t , s ) ≤ G 2 ( 1 , s ) 成立。
证毕。
引理4:若(H1)成立, I , Q ∈ ℝ + , Δ 1 ≠ 0 。若u满足
{ D t c ξ − α u ( t ) ≥ 0 , t ∈ ( 0 , ξ ) , D ξ + c t β u ( t ) ≥ 0 , t ∈ ( ξ , 1 ) , Δ u ( ξ ) = I , Δ u ′ ( ξ ) = Q , m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) ≤ 0 , m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) ≥ 0 , (4)
则 u ( t ) ≥ 0 , t ∈ [ 0 , 1 ] 。
证明:对任意 h ∈ C ( [ 0 , ξ ] , ℝ + ) , y ∈ C ( ( ξ , 1 ] , ℝ + ) ,由于 γ 1 ≤ 0 , γ 0 ≤ 0 为常数。 考虑以下边值问题:
{ D t c ξ − α u ( t ) = h ( t ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , D ξ + c t β u ( t ) = y ( t ) , t ∈ ( ξ , 1 ] , Δ u ( ξ ) = I , Δ u ′ ( ξ ) = Q , m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = γ 0 , m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = γ 1 .
由引理2可得
u ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) h ( s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) y ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) y ( s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t , s ) h ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) , t ∈ ( ξ , 1 ] .
由(H1)可得, Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 > 0 , Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 > 0 , Q m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − β ) − γ 1 > 0 , t ∈ [ 0 , 1 ] 。再由引理3可得 u ( t ) ≥ 0 , t ∈ [ 0 , 1 ] 显然成立。
证毕。
为方便叙述,我们假设下文满足以下假设:
(H2) 对任意 u 1 ≤ u 2 , v 1 ≤ v 2 , f ( t , u 1 , v 1 ) ≤ f ( t , u 2 , v 2 ) , t ∈ [ 0 , ξ ] ,
g ( t , u 1 , v 1 ) ≤ g ( t , u 2 , v 2 ) , t ∈ ( ξ , 1 ] , I ( u 1 ) ≤ I ( u 2 ) , Q ( u 1 ) ≤ Q ( u 2 ) , t ∈ [ 0 , 1 ] .
对任意 u 1 < u 2 , v 1 < v 2 , f ( t , u 1 , v 1 ) < f ( t , u 2 , v 2 ) , t ∈ [ 0 , ξ ] ,
g ( t , u 1 , v 1 ) < g ( t , u 2 , v 2 ) , t ∈ ( ξ , 1 ] , I ( u 1 ) < I ( u 2 ) , Q ( u 1 ) < Q ( u 2 ) , t ∈ [ 0 , 1 ] .
(H3) 若(H1)成立,且 x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ ℝ ,当 x 1 ≤ x 2 , y 1 ≤ y 2 时,
h 0 ( x 2 , y 2 ) − h 0 ( x 1 , y 1 ) ≤ − m 1 ( x 2 − x 1 ) − n 1 ( y 2 − y 1 ) ,
h 1 ( x 2 , y 2 ) − h 0 ( x 1 , y 1 ) ≥ − m 2 ( x 2 − x 1 ) − n 2 ( y 2 − y 1 ) .
记 P = { u ∈ E : u ( t ) ≥ 0 , t ∈ [ 0 , 1 ] } ,显然P为E中的正规体锥。且若 u ( t ) ≤ v ( t ) , t ∈ [ 0 , 1 ] ,则 u ≺ _ v ∈ P 。
对任意 u ∈ P ,考虑如下边值问题:
{ D t c ξ − α u ( t ) = f 1 ( t , x ( t ) , x ( t + τ 1 ) ) , t ∈ ( 0, ξ ) , D ξ + c t β u ( t ) = f 2 ( t , x ( t ) , x ( t − τ 2 ) ) , t ∈ ( ξ ,1 ) , Δ u ( ξ ) = I ( ξ , x ( ξ ) ) , Δ u ′ ( ξ ) = Q ( ξ , x ( ξ ) ) , m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = h 0 ( x ( 0 ) , x ( 1 ) ) + m 1 x ( 0 ) + n 1 x ( 1 ) : = γ 0 ( x ) , m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 x ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 x ( 1 ) ) + m 2 D t c ξ − α − 1 x ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 x ( 1 ) : = γ 1 ( x ) . (5)
由引理2知,边值问题(5)有唯一解
u ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) f 1 ( s , x ( s ) , x ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) d s + Δ 2 x + t Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t , s ) f 1 ( s , x ( s ) , x ( s + τ 1 ) ) d s + Δ 3 x + t Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x ) ) , t ∈ ( ξ , 1 ] .
其中
Δ 2 x = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 I ( ξ , x ( ξ ) ) + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q ( ξ , x ( ξ ) ) − n 1 Δ 1 γ 1 ( x ) − γ 0 ( x ) ) ;
Δ 3 x = − 1 m 1 + n 1 ( − m 1 I ( ξ , x ( ξ ) ) + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q ( ξ , x ( ξ ) ) − n 1 Δ 1 γ 1 ( x ) − γ 0 ( x ) ) .
定义算子
T x ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) f 1 ( s , x ( s ) , x ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) d s + Δ 2 x + t Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t , s ) f 1 ( s , x ( s ) , x ( s + τ 1 ) ) d s + Δ 3 x + t Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) , t ∈ ( ξ , 1 ] .
引理5:若(H1)成立,则T为全连续算子。
证明:由引理3,引理4知,对任意 x ∈ P ,当 t ∈ [ 0 , 1 ] 时, T x ≥ 0 显然成立。
因此, T : P → P 是有意义的。
接下来,我们分两步证明:
第一步:T是连续算子。
设对任意 x n ∈ P , n = 1 , 2 , ⋯ 存在 x ∈ P 使得当 n → ∞ 时, ‖ x n − x ‖ → 0 。则存在 M ¯ 0 > 0 ,使得 ‖ x n ‖ ≤ M ¯ 0 , ‖ x ‖ ≤ M ¯ 0 。又由于 f 1 , f 2 连续, I , Q ∈ C ( ℝ , ℝ ) ,且 γ 0 ( x ) , γ 1 ( x ) ∈ ℝ ,则
lim n → ∞ ( f 1 ( t , x n ( t ) , x n ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t , x ( t ) , x ( t + τ 1 ) ) ) = 0 ,
lim n → ∞ ( f 2 ( t , x n ( t ) , x n ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t , x ( t ) , x ( t − τ 2 ) ) ) = 0 ,
lim n → ∞ | I ( x n ( t ) ) − I ( x ( t ) ) | = 0 , lim n → ∞ | Q ( x n ( t ) ) − Q ( x ( t ) ) | = 0 ,
lim n → ∞ ( γ 0 ( x n ) − γ 0 ( x ) ) = 0 , lim n → ∞ ( γ 1 ( x n ) − γ 1 ( x ) ) = 0 ,
且存在常数 M ¯ 1 > 0 ,使得 sup ( t , u , v ) ∈ A | f 1 ( t , u , v ) | ≤ M ¯ 1 , sup ( t , u , v ) ∈ B | f 2 ( t , u , v ) | ≤ M ¯ 1 ,其中
A = [ 0 , ξ ] × [ − M ¯ 0 , M ¯ 0 ] × [ − M ¯ 0 , M ¯ 0 ] , B = [ ξ , 1 ] × [ − M ¯ 0 , M ¯ 0 ] × [ − M ¯ 0 , M ¯ 0 ] .
再由引理3可得,当 t ∈ [ 0 , ξ ] 时,
| T ( x n ) − T ( x ) | = | ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) ( f 1 ( s , x n ( s ) , x n ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s , x ( t ) , x ( s + τ 1 ) ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) ( f 2 ( s , x n ( s ) , x n ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) ) d s + ( Δ 2 x n − Δ 2 x ) + t Δ 1 ( ( Q ( ξ , x n ( ξ ) ) − Q ( ξ , x ( ξ ) ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − ( γ 1 ( x n ) − γ 1 ( x ) ) ) |
| T ( x n ) − T ( x ) | = | ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) ( f 1 ( s , x n ( s ) , x n ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s , x ( t ) , x ( s + τ 1 ) ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) ( f 2 ( s , x n ( s ) , x n ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) ) d s + ( Δ 2 x n − Δ 2 x ) + t Δ 1 ( ( Q ( ξ , x n ( ξ ) ) − Q ( ξ , x ( ξ ) ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − ( γ 1 ( x n ) − γ 1 ( x ) ) ) |
则由Lebesgue控制收敛定理可知, lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ [ 0 , ξ ] = 0 。同理可得, lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ ( ξ , 1 ] = 0 。
因此,对任意 t ∈ [ 0 , 1 ] ,有 lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ = 0 ,则算子T是连续算子。
第二步:T是紧的。
令 Ω ⊂ P 为有界集,由 f 1 , f 2 ,I,Q的连续性得,存在 M ¯ 2 > 0 ,使得对任意 t ∈ [ 0 , ξ ] , u , v ∈ Ω ,有 | f 1 ( t , u , v ) | ≤ M ¯ 2 ;对任意 t ∈ ( ξ , 1 ] , u , v ∈ Ω 有 | f 2 ( t , u , v ) | ≤ M ¯ 2 , | I | ≤ M ¯ 2 , | Q | ≤ M ¯ 2 , | γ 0 ( x ) | ≤ M ¯ 2 , | γ 1 ( x ) | ≤ M ¯ 2 。
则
| Δ 2 x | = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 ( 2 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β + Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 ) M ¯ 2 ;
| Δ 3 x | = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 ( ξ − 1 ) + n 1 ( 1 + n 2 − Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 ) M ¯ 2
sup t ∈ [ 0 , ξ ] | T u ( t ) | ≤ | ∫ 0 ξ G 1 ( ξ , s ) f 1 ( s , x ( s ) , x ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( 1 , s ) f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) d s + Δ 2 x + ξ Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) | ≤ ( ∫ 0 ξ G 1 ( ξ , s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( 1 , s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( n 1 ( 2 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β − Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 ) + ξ Δ 1 ( n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − 1 ) ) M ¯ 2 ,
sup t ∈ ( ξ , 1 ] | T u ( t ) | ≤ | ∫ ξ 1 G 2 ( 1 , s ) f 2 ( s , x ( s ) , x ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( ξ , s ) f 1 ( s , x ( s ) , x ( s + τ 1 ) ) d s + Δ 3 x + ξ Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x ) ) | ≤ ( ∫ ξ 1 G 2 ( 1 , s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( ξ , s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( m 1 ( ξ − 1 ) + n 1 ( 1 + n 2 − Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 ) + 1 Δ 1 ( m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − β ) − 1 ) ) M ¯ 2 .
因此,算子 T ( Ω ) 一致有界。
由于 G 1 ( t , s ) , g 2 ( t , s ) 在 [ 0 , ξ ] × [ 0 , ξ ] 上连续,所以 G 1 ( t , s ) , g 2 ( t , s ) 在 [ 0 , ξ ] × [ 0 , ξ ] 上一致连续。因此对任意 ε > 0 ,存在 0 < δ 1 < ε Δ 1 Γ ( 3 − β ) 2 | n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β − Γ ( 3 − β ) ( 1 − n 2 ) | M ¯ 2 ,当 | t 1 − t 2 | < δ 1 时,有 | G 1 ( t 1 , s ) − G 1 ( t 2 , s ) | < ε 4 M ¯ 2 , | g 2 ( t 1 , s ) − g 2 ( t 2 , s ) | < ε 4 M ¯ 2 。因此,对任意的 t 1 , t 2 ∈ [ 0 , ξ ] , | t 1 − t 2 | < δ 1 , u ∈ Ω 有
| T u ( t 2 ) − T u ( t 1 ) | = | ∫ 0 ξ ( G 1 ( t 1 , s ) − G 1 ( t 2 , s ) ) f 1 ( s , u ( s ) , u ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 ( g 2 ( t 1 , s ) − g 2 ( t 2 , s ) ) f 2 ( s , u ( s ) , u ( s − τ 2 ) ) d s + t 1 − t 2 Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) | ≤ M ¯ 2 ( ∫ 0 ξ | G 1 ( t 1 , s ) − G 1 ( t 2 , s ) | d s + ∫ ξ 1 | g 2 ( t 1 , s ) − g 2 ( t 2 , s ) | d s ) + | t 1 − t 2 | | n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β − Γ ( 3 − β ) ( 1 − n 2 ) M ¯ 2 Δ 1 Γ ( 3 − β ) < ε .
又由于 G 2 ( t , s ) , g 1 ( t , s ) 在 [ ξ , 1 ] × [ ξ , 1 ] 上连续,所以 G 2 ( t , s ) , g 1 ( t , s ) 在 [ ξ , 1 ] × [ ξ , 1 ] 上一致连续。
因此对上述 ε > 0 ,存在 0 < δ 2 < ε Δ 1 Γ ( 3 − β ) 2 | m 2 ξ 2 − α − ( m 2 + 1 ) Γ ( 3 − β ) | ,当 | t 3 − t 4 | < δ 2 时,有 | G 2 ( t 3 , s ) − G 2 ( t 4 , s ) | < ε 4 M ¯ 2 , | g 1 ( t 3 , s ) − g 1 ( t 4 , s ) | < ε 4 M ¯ 2 。
因此,对任意的 t 3 , t 4 ∈ ( ξ , 1 ] , | t 3 − t 4 | < δ 2 , u ∈ Ω ,有
| T u ( t 3 ) − T u ( t 4 ) | = | ∫ ξ 1 ( G 2 ( t 3 , s ) − G 1 ( t 4 , s ) ) f 2 ( s , u ( s ) , u ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ ( g 1 ( t 3 , s ) − g 1 ( t 4 , s ) ) f 1 ( s , u ( s ) , u ( s + τ 1 ) ) d s + t 3 − t 4 Δ 1 ( Q ( ξ , x ( ξ ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x ) ) | ≤ M ¯ 2 ( ∫ ξ 1 | G 2 ( t 3 , s ) − G 1 ( t 4 , s ) | d s + ∫ 0 ξ | g 1 ( t 3 , s ) − g 1 ( t 4 , s ) | d s ) + | t 3 − t 4 | | m 2 ξ 2 − α − ( m 2 + 1 ) Γ ( 3 − β ) | Δ 1 Γ ( 3 − β ) M ¯ 2 < ε .
因此, T ( Ω ) 在 [ 0 , ξ ] , ( ξ , 1 ] 上等度连续,易知,当 t ∈ [ 0 , 1 ] 时,对任意 ε > 0 ,存在 δ 3 > 0 ,当 | t 5 − t 6 | < δ 3 时 | T u ( t 5 ) − T u ( t 6 ) | < ε ,因此, T ( Ω ) 是等度连续的。
由Arzela-Ascoli定理知 T ( Ω ) 相对列紧。又因为算子T是连续算子,所以算子T是全连续的。
证毕。
引理6:T为强增算子。
证明:对任意 x 1 , x 2 ∈ E , x 1 ≺ x 2 ,即 x 1 ( t ) ≤ x 2 ( t ) 且 x 1 ( t ) ≡ x 2 ( t ) ,由(H2)可得,
f 1 ( t , x 2 ( t ) , x 2 ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t , x 1 ( t ) , x 1 ( t + τ 1 ) ) ≥ 0 , t ∈ [ 0 , ξ ] ,
f 2 ( t , x 2 ( t ) , x 2 ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t , x 1 ( t ) , x 1 ( t − τ 2 ) ) ≥ 0 , t ∈ ( ξ , 1 ] ,
( I ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) ≥ 0 , ( Q ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) ≥ 0 , t ∈ [ 0 , 1 ] .
由于 x 1 ( t ) ≡ x 2 ( t ) ,则存在区间 [ a , b ] ⊂ [ 0 , ξ ] 或 [ a , b ] ⊂ ( ξ , 1 ] 使得当 t ∈ [ a , b ] 时, x 1 ( t ) < x 2 ( t ) 。
因此,当 [ a , b ] ⊂ [ 0 , ξ ] 时,
f 1 ( t , x 2 ( t ) , x 2 ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t , x 1 ( t ) , x 1 ( t + τ 1 ) ) > 0 ,
( I ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) > 0 , ( Q ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) > 0 ,
且由(H3)可得
γ 0 ( x 2 ) − γ 0 ( x 1 ) = h 0 ( x 2 ( 0 ) , x 2 ( 1 ) ) − h 0 ( x 1 ( 0 ) , x 1 ( 1 ) ) + ( m 1 x 2 ( 0 ) + n 1 x 2 ( 1 ) ) − ( m 1 x 1 ( 0 ) + n 1 x 1 ( 1 ) ≤ 0 , )
γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 x 2 ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 x 2 ( 1 ) ) − h 1 ( D t c ξ − α − 1 x 2 ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 x 2 ( 1 ) ) + m 2 D t c ξ − α − 1 x 2 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 x 2 ( 1 ) − ( m 2 D t c ξ − α − 1 x 1 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 x 1 ( 1 ) ) ≤ 0 ,
Δ 2 x 2 − Δ 2 x 1 = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 ( I ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) ) + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) ( Q ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ , x 1 ( ξ ) ) )
− n 1 Δ 1 ( γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) ) − ( γ 0 ( x 2 ) − γ 0 ( x 1 ) ) ≥ 0 ,
T x 2 ( t ) − T x 1 ( t ) = ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) ( f 1 ( s , x 2 ( s ) , x 2 ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s , x 1 ( s ) , x 1 ( s + τ 1 ) ) ) d s + Δ 2 x 2 − Δ 2 x 1 + ∫ ξ 1 g 2 ( t , s ) ( f 2 ( t , x 2 ( t ) , x 2 ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t , x 1 ( t ) , x 1 ( t − τ 2 ) ) ) d s + t Δ 1 ( ( Q ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) ) > ∫ 0 ξ G 1 ( t , s ) ( f 1 ( s , x 2 ( s ) , x 2 ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s , x 1 ( s ) , x 1 ( s + τ 1 ) ) ) d s > 0.
同理当 [ a , b ] ⊂ ( ξ , 1 ] 时,
( f 2 ( t , x 2 ( t ) , x 2 ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t , x 1 ( t ) , x 1 ( t − τ 2 ) ) ) > 0 ,
Δ 3 x 2 − Δ 3 x 1 = − 1 m 1 + n 1 ( − m 1 ( I ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) ) + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) ( Q ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) − n 1 Δ 1 ( γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) − ( γ 0 ( x 2 ) − γ 0 ( x 1 ) ) ) ≥ 0 ,
T x 2 ( t ) − T x 1 ( t ) = ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) ( f 2 ( s , x 2 ( s ) , x 2 ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s , x 1 ( s ) , x 1 ( s − τ 2 ) ) ) d s + Δ 3 x 2 − Δ 3 x 1 + ∫ 0 ξ g 1 ( t , s ) ( f 1 ( t , x 2 ( t ) , x 2 ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t , x 1 ( t ) , x 1 ( t + τ 1 ) ) ) d s + t Δ 1 ( ( Q ( ξ , x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ , x 1 ( ξ ) ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) ) > ∫ ξ 1 G 2 ( t , s ) ( f 2 ( s , x 2 ( s ) , x 2 ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s , x 1 ( s ) , x 1 ( s − τ 2 ) ) ) d s > 0.
综上所述,对任意 t ∈ [ 0 , 1 ] 有 ( T x 2 ) ( t ) > ( T x 1 ) ( t ) ,则T为强增算子。
定义2:令 α , β ∈ E 。称 α 为边值问题(1)的一个下解,若 α 满足
{ D t c ξ − α α ( t ) ≤ f 1 ( t , α ( t ) , α ( t + τ 1 ) ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , D ξ + c t β α ( t ) ≤ f 2 ( t , α ( t ) , α ( t − τ 2 ) ) , t ∈ ( ξ , 1 ] , Δ α ( ξ ) ≤ I ( ξ , u ( ξ ) ) , Δ α ′ ( ξ ) ≤ Q ( ξ , α ( ξ ) ) , h 0 ( α ( 0 ) , α ( 1 ) ) ≤ 0 , h 1 ( D t c ξ − α − 1 α ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 α ( 1 ) ) ≥ 0.
称 β 为边值问题(1)的一个下解,若 β 满足
{ D t c ξ − α β ( t ) ≥ f 1 ( t , β ( t ) , β ( t + τ 1 ) ) , t ∈ [ 0 , ξ ] , D ξ + c t β β ( t ) ≥ f 2 ( t , β ( t ) , β ( t − τ 2 ) ) , t ∈ ( ξ , 1 ] , Δ β ( ξ ) ≥ I ( ξ , β ( ξ ) ) , Δ β ′ ( ξ ) ≥ Q ( ξ , β ( ξ ) ) , h 0 ( β ( 0 ) , β ( 1 ) ) ≥ 0 , h 1 ( D t c ξ − α − 1 β ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 β ( 1 ) ) ≤ 0.
定理1:假设(H1)、(H2)、(H3)成立,且边值问题(1)存在两个下解 α 1 , α 2 和两个上解 β 1 , β 2 ,且 α 2 , β 1 不是边值问题(1)的解,
α 1 ≺ β 1 ≺ α 2 ≺ β 2 .
则边值问题(1)至少存在三个不同的解 u 1 , u 2 , u 3 满足:
α 1 ≺ _ u 1 ≺ ≺ β 1 , α 2 ≺ ≺ u 2 ≺ _ β 2 , α 2 ≺ _ u 3 ≺ _ β 1 .
证明:令算子T在 [ α 1 , β 1 ] 上, T | [ α 1 , β 1 ] 也记作T。由引理5和引理6可得, T : [ α 1 , β 1 ] → P 是一个全连续强增算子。
通过定义算子T可得,
{ D t c ξ − α ( T α 1 ) ( t ) = f 1 ( t , α 1 ( t ) , α 1 ( t + τ 1 ) ) , t ∈ ( 0 , ξ ) , D ξ + c t β ( T α 1 ) ( t ) = f 2 ( t , α 1 ( t ) , α 1 ( t − τ 2 ) ) , t ∈ ( ξ , 1 ) , Δ ( T α 1 ) ( ξ ) = I ( ξ , α 1 ( ξ ) ) , Δ ( T α 1 ) ′ ( ξ ) = Q ( ξ , α 1 ( ξ ) ) , m 1 ( T α 1 ) ( 0 ) + n 1 ( T α 1 ) ( 1 ) = h 0 ( α 1 ( 0 ) , α 1 ( 1 ) ) + m 1 α 1 ( 0 ) + n 1 α 1 ( 1 ) , m 2 D t c ξ − α − 1 ( T α 1 ) ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 ( T α 1 ) ( 1 ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 ) ) + m 2 D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 ) .
令 α ( t ) = ( T α 1 ) ( t ) − α 1 ( t ) 。由于 α 1 是边值问题(1)的一个下解,则
D t c ξ − α α ( t ) = D t c ξ − α ( T α 1 ) ( t ) − D t c ξ − α α 1 ( t ) = f 1 ( t , α 1 ( t ) , α 1 ( t + τ 1 ) ) − D t c ξ − α α 1 ( t ) ≥ 0 , t ∈ ( 0 , ξ ) ,
D ξ + c t β α ( t ) = D ξ + c t β ( T α 1 ) ( t ) − D ξ + c t β α 1 ( t ) = f 2 ( t , α 1 ( t ) , α 1 ( t − τ 2 ) ) − D ξ + c t β α 1 ( t ) ≥ 0 , t ∈ ( ξ , 1 ) ,
且
m 1 α ( 0 ) + n 1 α ( 1 ) = m 1 ( ( T α 1 ) ( 0 ) − α 1 ( 0 ) ) + n 1 ( ( T α 1 ) ( 1 ) − α 1 ( 1 ) ) = ( m 1 ( T α 1 ) ( 0 ) + n 1 ( T α 1 ) ( 1 ) ) − ( m 1 α 1 ( 0 ) + n 1 α 1 ( 1 ) ) = h 0 ( α 1 ( 0 ) , α 1 ( 1 ) ) + m 1 α 1 ( 0 ) + n 1 α 1 ( 1 ) − ( m 1 α 1 ( 0 ) + n 1 α 1 ( 1 ) ) = h 0 ( α 1 ( 0 ) , α 1 ( 1 ) ) ≤ 0.
m 2 D t c ξ − α − 1 α ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 α ( 1 ) = m 2 D t c ξ − α − 1 ( ( T α 1 ) ( 0 ) − α 1 ( 0 ) ) + n 2 D ξ + c t β − 1 ( ( T α 1 ) ( 1 ) − α 1 ( 1 ) ) = m 2 D t c ξ − α − 1 ( T α 1 ) ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 ( T α 1 ) ( 1 ) − ( m 2 D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 ) ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 ) ) + m 2 D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 )
− ( m 2 D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 ) ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 α 1 ( 0 ) , D ξ + c t β − 1 α 1 ( 1 ) ) ≥ 0.
Δ α ( ξ ) = Δ ( T α 1 ) ( ξ ) − Δ α 1 ( ξ ) = I ( ξ , α 1 ( ξ ) ) − Δ α 1 ( ξ ) ≥ 0 ,
Δ α ′ ( ξ ) = Δ ( T α 1 ) ′ ( ξ ) − Δ α ′ 1 ( ξ ) = Q ( ξ , α 1 ( ξ ) ) − Δ α ′ 1 ( ξ ) ≥ 0.
由引理4可知, α ( t ) ≥ 0 。
因此, α 1 ≺ _ T α 1 。同理可得, α 2 ≺ _ T α 2 。
由于 α 2 是边值问题(1)的一个下解但不是边值问题(1)的解,则 ( T α 2 ) ≠ α 2 。因此,
α 2 ≺ T α 2 .
类似可得,
T β 1 ≺ β 1 , T β 2 ≺ _ β 2 .
由引理1可知,算子T至少有三个不动点 x 1 , x 2 , x 3 ∈ [ α 1 , β 2 ] 使得
α 1 ≺ _ x 1 ≺ ≺ β 1 , α 2 ≺ ≺ x 2 ≺ _ β 2 , α 2 ≺ _ x 2 ≺ _ β 2 .
因此,边值问题(1)至少有三个不同解。
证毕。
张雨馨. 具有左右分数阶导数和时滞的非瞬时脉冲微分方程非线性边值问题Nonlinear Boundary Value Problems for Non-Instantaneous Pulse Differential Equations with Left-Right Fractional Derivatives and Delays[J]. 应用数学进展, 2021, 10(04): 1255-1269. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104136