假设{Y(t);t ≥0}是带移民的连续时间分枝过程,其中分枝概率是{b
k;k≥0},移民概率是{a
j;j≥0}。令b
0=0,0 < b
k≠1(k≥1),1 < m=Σ
k=0
∞kb
k < ∞,0 < a=Σ
j=0
∞jb
j < ∞和
假设 { Y ( t ) ; t ≥ 0 } 是带移民的连续时间分枝过程,其中分枝概率是 { b k ; k ≥ 0 } ,移民概率是 { a j ; j ≥ 0 } 。令 b 0 = 0 , 0 < b k ≠ 1 ( k ≥ 1 ), 1 < m = ∑ k = 0 ∞ k b k < ∞ , 0 < a = ∑ j = 0 ∞ j b j < ∞ 和 a = m e m − 1 。首先,我们证明 K ( t ) = e − λ t [ Z ( t ) − e λ ( t + 1 ) e λ − 1 e a + λ ] 是一个上鞅并且收敛到随机变量K。然后,我们在 α > 0 和 ε > 0 时,当 { b k ; k ≥ 0 } 和 { a k ; k ≥ 0 } 满足多种矩条件,研究
P ( | K ( t ) − K | > ε )
在t趋于无穷时的衰减速率。
Q-矩阵,超临界分枝过程,大偏差
Xiaojuan Wang, Juan Wang
Faculty of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Mar. 19th, 2021; accepted: Apr. 21st, 2021; published: Apr. 29th, 2021
Suppose { Y ( t ) ; t ≥ 0 } is the continuous time supercritical branching process with offspring rates { b k ; k ≥ 0 } and immigration rates { a j ; j ≥ 0 } . Let b 0 = 0 , 0 < b k ≠ 1 ( k ≥ 1 ), 1 < m = ∑ k = 0 ∞ k b k < ∞ , 0 < a = ∑ j = 0 ∞ j b j < ∞ and a = m e m − 1 . Firstly, we suppose that K ( t ) = e − λ t [ Z ( t ) − e λ ( t + 1 ) e λ − 1 e a + λ ] is a sub-martingale and converges to a random variable K. Then we study the decay rates of
P ( | K ( t ) − K | > ε ) as t → ∞
for α > 0 , ε > 0 under various moment conditions on { a k ; k ≥ 0 } and { b k ; k ≥ 0 } .
Keywords:Q-Matrix, Supercritical Branching Process, Large Deviation
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
假设 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 的取值为非负整数,用 Z ( t ) 表示t时刻超临界分枝过程的粒子数,则从一个祖先出发的过程可以用以下递归关系表示:
Z ( t ) = ∑ i = 1 Z ( t − s ) Z t − s i ( s ) + Y t − s ( s ) , t > 0 , s ≥ 0 , Z ( 0 ) = 1 , (1.1)
其中 Z t − s i ( s ) 表示t-s时刻第i个个体在t时刻产生的粒子数, { Z t − s i ( s ) ; t − s > 0 , i ≥ 1 } 是独立同分布的随机变量,并且具有相同的母函数 F ( s , t ) = ∑ k = 0 ∞ p k ( t ) s k , s ∈ [ 0 , 1 ] ; { Y t − s ( s ) ; s ≥ 0 } 也是i.i.d。并且具有相同的母函数 H ( s , t ) = ∑ k = 0 ∞ h k ( t ) s k , s ∈ [ 0 , 1 ] 。此外 { Y ( s ) ; s ≥ 0 } 和 { Z i ( s ) ; s > 0 , i ≥ 1 } 独立。由于我们考虑的是上临界的情况,即是 m : = ∑ k = 1 ∞ k p k ,其中 p k = lim t → ∞ p k ( t ) 。根据Harris变换 [
特别地,如果 Y ( s ) ≡ 0 ,即没有移民加入的情形,那么 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 退化为上临界分枝过程,记为 { X ( t ) ; t ≥ 0 } ,根据 [
W ( t ) : = X ( t ) C ( t ) → a .s . W , 当 t → ∞ (1.2)
其中 { W ( t ) ; t ≥ 0 } 是一个鞅。
如果考虑加入移民,即存在一些时刻s,使得 Y ( s ) ≠ 0 。根据Seneta [
V ( t ) : = Z ( t ) C ( t ) → V a . s . , 当 t → ∞ (1.3)
而且,文献 [
C ( 0 ) = 1 , C ( t ) → ∞ , C ( t + s ) C ( t ) → m ( s ) , t → ∞ , c 1 ( e λ 1 + ε ) ≤ C ( t ) ≤ c 2 e λ t , t ≥ N ( ε ) . (1.4)
其中 c 1 , c 2 为非负常数。本文中我们取 C ( t ) = e λ t 。
注1.1根据 [
为了研究方面,我们引入 Z ( t ) 的Q-矩阵 Q = ( q i j ; i , j ∈ Z + ) 。
q i j : = { i b j − i + 1 + a j − i if i ≥ 0 , j ≥ i , i b 0 if i ≥ 0 , j = i − 1 , 0 otherwise .
其中:
b j ≥ 0 ( j ≠ 1 ) , 0 < − b 1 = ∑ j ≠ 1 b j < ∞ ,
a j ≥ 0 ( j ≠ 0 ) , 0 < − a 0 = ∑ j ≠ 0 a j < ∞ 。
如果用 G ( s , t ) 来表示带移民的超临界分枝过程 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 的母函数,则
G ( s , t ) = G 1 ( s , t ) = F ( s , t ) H ( s , t ) , t > 0 , s ∈ [ 0 , 1 ] , (1.5)
而且 G ( s , 0 ) = F ( s , 0 ) = s 。
为了叙述的方便,下面我们回忆 G ( s , t ) 已知的衰减速率和收敛性质:
命题1.1 (Liu [
R ( s , t ) : = H ( s , t ) e a 0 t , Q ( s , t ) : = F ( s , t ) e b 1 t 。
当 t → ∞ 时,
ϱ ( s , t ) : = G ( s , t ) e ( a 0 + b 1 ) t = R ( s , t ) Q ( s , t ) ↗ R ( s ) Q ( s ) = : ϱ ( s ) , (1.6)
上述的收敛对任意的 s ∈ K 是一致的,K为 [ 0 , 1 ) 上的任一闭子区间。并且 R ( s ) 和 Q ( s ) 分别满足下列泛函方程:
G ( s ) R ( F ( s ) ) = e a 0 R ( s ) , 0 ≤ s < 1 , R ( 0 ) = 1 , R ( 1 ) = ∞ ;
Q ( F ( s ) ) = e b 1 Q ( s ) , 0 ≤ s < 1 , Q ( 0 ) = 0 , Q ( 1 ) = ∞ 。
另外, R ( s ) 和 Q ( s ) 可以分别表示为级数 R ( s ) = ∑ k = 0 ∞ q k s k 和 Q ( s ) = ∑ k = 0 ∞ v k s k 。
由于直接求 Z ( t + s ) / Z ( t ) 的大偏差有些困难,所以在本章的证明中,我们做如下变换:
K ( t ) = e − λ t [ Z ( t ) − e λ ( t + 1 ) − 1 e λ − 1 e a + λ ] , (1.7)
其中 0 < a = λ e λ − 1 < ∞ 。
本节我们主要研究 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 其中引入的移民不全为0。我们关心粒子数 Z ( t ) 的大偏差,即在 { b k ; k ≥ 0 } 和 { a k ; k ≥ 0 } 满足多种矩条件下,对于 α > 0 ,和 ε > 0 时研究下列式子的大偏差,
P ( | K ( t ) − K | > ε ) , t → ∞ .
下面是本文的主要定理。
定理1.1 假设对于 θ 0 > 1 , B ( θ 0 ) < ∞ 和 A ( θ 0 ) < ∞ 。则对于一些 ε > 0 我们有
lim t → ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t P ( | Z ( t + v ) Z ( t ) − e λ v | > ε | Z ( 0 ) = 1 ) = ∑ l = 1 ∞ ϕ ( v , l , ε ) ρ l < ∞ , (1.8)
其中,
ϕ ( v , l , ε ) = P ( | X l ¯ ( v ) + Y ( v ) l − e λ v | > ε ) ,
X l ¯ ( v ) = ∑ j = 1 l X j ( v ) l , { ρ l } 是引理2.2中定义的。
定理1.2 假设对于固定的 ε > 0 和 v > 0 ,存在常数 C ε ( v ) ,在 r > 0 和 l ≥ 1 时满足 λ r > − ( b 1 + a 0 ) 和 ϕ ( v , l , ε ) ≤ l − r ⋅ C ε ( v ) ,则(1.8)成立。
推论1.1 假设对于 b 1 < a 0 和 δ > 0 , E [ Z 2 + δ ( 1 ) ] < ∞ ,则(1.8)成立。
定理1.3 假设对于 θ 0 > 0 和 v > 0 , E ( e θ 0 Z ( v ) | Z ( 0 ) = 1 ) < ∞ ,则存在 θ 1 > 0 满足
C 1 = sup t ≥ 0 E [ e θ 1 K ( t ) ] < ∞ .
定理1.4假设对于 θ 0 > 0 和 v > 0 , E ( e θ 0 Z ( v ) | Z ( 0 ) = 1 ) < ∞ ,则存在 C 2 和 ξ > 0 满足
P ( | K ( t ) − K | > ε ) ≤ C 2 e − ξ ε 2 / 3 e λ t / 3 .
在开始定理证明之前,我们先介绍一些证明过程中用到的引理或性质,这样可以避免证明的繁琐。
引理2.1假设 η > 0 , j > 0 和 k > 0 ,如果 lim t → ∞ e η t p j k ( t ) = ϕ j k ≥ 0 存在,则对于 b > 0 ,我们有
lim t → ∞ e − b t ∫ 0 t e ( η + b ) v p j k ( v ) d v = b − 1 ϕ j k 。
引理2.2对于 i ≥ 1 , lim t → ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p 1 k ( t ) = ρ k 存在,并且当 k ≥ 0 时, ρ k ≤ ρ 1 = 1 成立。再者 ϱ ( w ) = ∑ k = 1 ∞ ρ k w k 满足下式:
( b 1 + a 0 ) ϱ ( w ) = B ( w ) ϱ ′ ( w ) + A ( w ) ϱ ( w ) , 0 ≤ w ≤ 1 , (2.1)
并且 ϱ ( 0 ) = 0 。
证明:根据Kolmogorov向前方程,
p ′ 1 k ( t ) = ∑ i = 1 k p 1 i ( t ) ( i b k − i + 1 + a k − i ) , k ≥ 1. (2.2)
当 k = 1 时,
p ′ 11 ( t ) = p 11 ( t ) ( b 1 + a 0 ) ,
也就是
p 11 ( t ) = e ( b 1 + a 0 ) t ,
因此
ρ 1 = lim t → ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p 11 ( t ) = 1.
当 k = 2 时,
p ′ 12 ( t ) = p 11 ( t ) ( b 2 + a 1 ) + p 12 ( t ) ( 2 b 1 + a 0 ) ,
也就是
e − ( 2 b 1 + a 0 ) t p 12 ( t ) = ( b 2 + a 1 ) ∫ 0 t p 11 ( v ) e − ( 2 b 1 + a 0 ) v d v ,
根据引理2.1知:
ρ 2 = lim t → ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p 12 ( t ) = ( b 2 + a 1 ) ∫ 0 t p 11 ( v ) e − ( 2 b 1 + a 0 ) v d v = − ρ 1 ( b 2 + a 1 ) b 1 ≤ ρ 1 .
当 k = k 时,
p ′ 1 k ( t ) = ∑ i = 1 k − 1 p 1 i ( t ) ( i b k − i + 1 + a k − i ) + p 1 k ( t ) ( k b 1 + a 0 ) ,
也就是
e − ( k b 1 + a 0 ) t p 1 k ( t ) = ∑ i = 1 k − 1 ( i b k − i + 1 + a k − i ) ∫ 0 t p 1 i ( v ) e − ( k b 1 + a 0 ) v d v ,
因此
ρ k = lim t → ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p 1 k ( t ) = − 1 ( k − 1 ) b 1 ∑ i = 1 k − 1 ( i b k − i + 1 + a k − i ) ρ i ≤ ρ 1 .
再者,
∑ k = 0 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p ′ j k ( t ) s k = B ( v ) ∑ k = 1 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) k v k − 1 + A ( v ) ∑ k = 0 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k ,
因此,
{ ∑ k = 0 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k } ′ t + ( b 1 + a 0 ) ∑ k = 0 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k = B ( v ) ∑ k = 1 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) k v k − 1 + A ( v ) ∑ k = 0 ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k .
令 t → ∞ ,
( b 1 + a 0 ) ϱ ( v ) = B ( v ) ϱ ′ ( v ) + A ( v ) ϱ ( v ) .
注意到,
Z ( t + v ) = ∑ i = 1 Z ( t ) ξ t , i ( v ) + Y ( v ) ,
这里 { Y ( v ) ; v ≥ 0 } 是独立同分布的并且它的母函数是 H ( s , t ) = ∑ j = 0 ∞ h 1 j ( t ) s j , { ξ t , i ( v ) ; t ≥ 0 , j ≥ 1 } 也是独立同分布的并且它的母函数是 F ( s , t ) = ∑ j = 0 ∞ p 1 j ( t ) s j 。
性质2.1假设 E M log M < ∞ 和
证明:根据
因此
根据
为了计算的方便,我们将研究
显然,
性质2.2如果
这里的
证明:因为
因此
所以
这就意味着当
因此
当
因此,
再者,
当
再者
因为当
性质2.3假设
其中
证明:当
假设
然后,对于
因此(2.6)得证。
定理1.1的证明:由于
其中
对于固定的
其中
因为
因此存在
证毕。
定理1.2的证明:当
注意到
通过对收敛定理的简单修改,可以证明
当
因此,
因为
其中
对于固定的
其中
由于
根据假设
这意味着
所以
当
我们可以看出(3.3)和(3.4)暗示着(3.2),证毕。
推论1.1的证明:由于
根据假设,
而且对于任意的
定理1.3的证明:不失一般性,我们假设对任意的
由于
上式中用到
再者,当
由于
因此当
对于
并且上式是正的和有限的。因此我们能找到
定理1.4的证明:根据定理1.3,我们先给出一个估计。假设当
注意到
我们有
令
对于
注意到
其中
其中,
另外,
因此,
当
因此,
其中
选择
其中
王小娟,王 娟. 超临界分枝过程的大偏差速率Large Deviation Rates for Supercritical Branching Process[J]. 理论数学, 2021, 11(04): 626-639. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114076