如果与图G同谱的所有图同构于图G,则称图G是由其图谱所决定的。设K n\P l是由完全图K n去除图P l的边所得到的子图,其中图P l是长为l−1的路。Cámara和Haemers给出猜想1:对于任意的整数l(2≤l≤n),K n\P l可由其邻接谱所决定。本文证明在l=10的情况下猜想1是正确的。 A graph G is said to be determined by its spectrum if any graph having the same spectrum as G is isomorphic to G. Let K n\P l be the graph obtained from K n by deleting edges of P l, where P l is a path of length l−1. Cámara and Haemers conjectured that K n\P l is determined by its adjacency spectrum for every (2≤l≤n). In this paper, we show that the conjecture is true for l=10.
如果与图G同谱的所有图同构于图G,则称图G是由其图谱所决定的。设 K n \ P l 是由完全图 K n 去除图 P l 的边所得到的子图,其中图 P l 是长为 l − 1 的路。Cámara和Haemers给出猜想1:对于任意的整数 l ( 2 ≤ l ≤ n ) , K n \ P l 可由其邻接谱所决定。本文证明在 l = 1 0 的情况下猜想1是正确的。
图谱,同谱图,谱特征,路
Zhihao Lin
School of Mathematics and System Science, Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou Guangdong
Received: Apr. 17th, 2021; accepted: May 20th, 2021; published: May 27th, 2021
A graph G is said to be determined by its spectrum if any graph having the same spectrum as G is isomorphic to G. Let K n \ P l be the graph obtained from K n by deleting edges of P l , where P l is a path of length l − 1 . Cámara and Haemers conjectured that K n \ P l is determined by its adjacency spectrum for every 2 ≤ l ≤ n . In this paper, we show that the conjecture is true for l = 1 0 .
Keywords:Graph Spectrum, Cospectral Graphs, Spectral Characterization, Path
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
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本文所考虑的图都是无向、有限的简单图,即是不包含环和多重边的图。图谱中的一些符号和定义,请参阅文献 [
设 G = ( V , E ) ,其点集和边集分别记为 V ( G ) = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } 和 E ( G ) = { e 1 , e 2 , ⋯ , e m } 。设 A ( G ) 是图G的(0, 1)邻接矩阵,图G的特征多项式记为 P G ( λ ) = det ( λ I − A ( G ) ) 。图G的图谱包含了图G的所有特征值(包含重数)。如果两个图有一样的邻接谱,那么称这两个图同谱。如果任何与图G具有相同谱的图与图G同构,则称图G是由其谱所决定的(简称DS)。
图谱能够反映出图的一些有用的组合信息。图谱理论中的一个基本问题是“哪些图是DS?”。这个问题起源于化学,可以追溯到60多年前。而在近些年来,它受到了研究者的广泛关注。
然而,证明一个图是DS通常是一个非常困难的问题。到目前为止,很少有一类具有特殊结构的图被证明是DS。通常情况下,DS的图只包含有很少数的边,如T形树图 [
在文献 [
猜想1 (Cámara和Haemers [
在文献 [
定理1.1 当 l = 10 时,图 K n \ P l 是DS。
在第二部分中,将给出一些重要的引理及其证明。在第三部分中给出了定理1.1的证明。本文总结和进一步的研究问题将会在第四部分给出。
在这一部分中,将给出证明定理1.1所需要的一些引理。
引理2.1 (van Dam和Haemers [
1) 顶点的数量;
2) 边的数量;
3) 固定长度的闭途径数量。
引理2.2 (Mao,Cioabǎ和Wang [
N G ( i ) = ∑ H ∈ S i ( G ) N G ( H ) N ′ H ( i ) 。
引理2.3 (Omidi [
1) N G ( 2 ) = 2 m , N G ( 3 ) = 6 N G ( K 3 ) 。
2) N G ( 4 ) = 2 m + 4 N G ( P 3 ) + 8 N G ( C 4 ) ; N G ( 5 ) = 30 N G ( K 3 ) + 10 N G ( C 5 ) + 10 N G ( G a ) 。
其中m为G的边数,图 G a 为圈图 C 3 上任一个顶点加上一条边得到的图(见图2(a))。
引理2.4 (Cvetković,Doob和Sachs [
c = ∑ λ i k 。
设n阶图G的邻接谱为 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ n ,n阶图 G ′ 的邻接谱为 λ ′ 1 ≥ λ ′ 2 ≥ ⋯ ≥ λ ′ n 。众所周知,若 λ i = λ ′ i , i = 1 , 2 , ⋯ , n ,那么有
∑ i = 1 n λ i k = ∑ i = 1 n λ ′ i k 。
也就是两个图的邻接谱相同,那么它们的各特征值的k次方和也相等,所以可以得到当
∑ i = 1 n λ i k ≠ ∑ i = 1 n λ ′ i k ,
则有 λ i 与 λ ′ i 不全相等, i = 1 , 2 , ⋯ , n 。因此结合引理2.4,可以得到这么一个结论:当两个阶数相同的图的k-闭途径数量(k为正整数)不相同时,则它们的邻接谱不相同,即这两个图不同谱。引理2.5~2.7分别给出了当 k = 3 , 4 , 5 时,图G补图中k-闭途径数量的计算方法。
引理2.5 (Doob和Haemers [
t ¯ = ( n 3 ) − ( n − 1 ) m + 1 2 ∑ i = 1 n d i 2 − t 。
引理2.6 (Cámara和Haemers [
W n − ( 8 n 2 − 32 n + 34 ) m + ( 8 n − 20 ) m 1 + 16 m 2 − 8 m 3 + 8 m 4 ,
其中
n : = | V ( G ) | , m : = | E ( G ) | , m 1 : = N G ( P 3 ) , m 2 : = N G ( K 2 ∪ K 2 ) , m 3 : = N G ( P 4 ) , m 4 : = N G ( C 4 ) .
研究长为5的闭途径的情况会更加的困难,将由以下引理提出。
引理2.7 (Mao,Cioabǎ和Wang [
W n − ( 10 n 3 − 50 n 2 + 90 n − 60 ) m + ( 10 n 2 − 20 n ) m 1 + ( 40 n − 120 ) m 2 − ( 10 n − 20 ) m 3 − ( 30 n − 60 ) s 1 − 20 s 2 − 30 s 3 + 10 s 4 + 10 s 5 − 10 s 6 。
其中
s 1 : = N G ( K 3 ) , s 2 : = N G ( P 3 ∪ K 2 ) , s 3 : = N G ( K 1 , 3 ) , s 4 : = N G ( P 5 ) , s 5 : = N ( G a ) G , s 6 : = N G ( C 5 ) .
设H为有 l − 1 条边的简单图,下文将用 m 1 , m 2 , m 3 , s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , s 5 和 s 6 表示图 P l 中同构于 P 3 , K 2 ∪ K 2 , P 4 , C 4 , K 3 , P 3 ∪ K 2 , K 1 , 3 , P 5 , G a 和 C 5 的子图数量,用 m ′ 1 , m ′ 2 , m ′ 3 , s ′ 1 , s ′ 2 , s ′ 3 , s ′ 4 , s ′ 5 和 s ′ 6 表示图H中同构于 K 2 ∪ K 2 , P 4 , C 4 , K 3 , P 3 ∪ K 2 , K 1 , 3 , P 5 , G a 和 C 5 的子图数量。
在给出和证明以下引理之前,先对几类特殊图进行符号的规定。符号 T a , b , c 表示为图1(a)所示的图例,其中a,b,c代表三条支路对应边的数量,且满足 c ≥ b ≥ a ≥ 1 ,如图1(d)表示为 T 1 , 2 , 2 。符号 T a , b , c , d 表示为图1(b)所示的图例,其中a,b,c,d代表四条支路对应边的数量,且满足 d ≥ c ≥ b ≥ a ≥ 1 ,如图1(e)表示为 T 1 , 2 , 2 , 3 。符号 Y a , b , c , d 表示为图1(c)所示图例,其中a,b,c,d代表四个位置对应边的数量,且满足 b ≥ a ≥ 1 , d ≥ c ≥ 1 ,如图1(f)表示为 Y 1 , 2 , 2 , 3 。
图1. 几类特殊图
引理2.8 (Mao,Cioabǎ和Wang [
1) 对于任意的整数 l ≥ 7 时,图 K n \ P l 和 K n \ ( C 4 ∪ P l − 4 ) 不同谱。
2) 对于任意的整数 a ≥ 1 , b ≥ 2 且满足 3 a + b = l 时,图 K n \ P l 和 K n \ ( a K 3 ∪ P b ) 不同谱。
3) 对于任意的整数 a ≥ 2 , b ≥ 1 , c ≥ 1 , d ≥ 1 且满足 a + b + c + d = l ( l ≥ 6 ) 时,两类图 K n \ P l 和 K n \ ( P a ∪ T b , c , d ) 不同谱。
引理2.9 对于任意的整数 a ≥ 2 , b ≥ 1 , c ≥ 1 , d ≥ 1 且满足 a + b + c + d = l − 3 ( l ≥ 10 ) 时,两类图 K n \ P l 和 K n \ ( P a ∪ T b , c , d ∪ K 1 , 3 ) 不同谱。
证明:图 P l 可以直接计算得出
m 1 = l − 2 , m 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 , m 3 = l − 3 , m 4 = 0.
对于图 P a ∪ T b , c , d ∪ K 1 , 3 ,有
m ′ 1 = l − 2 , m ′ 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 .
由 a + b + c + d = l − 3 可得 b + c + d < l − 3 ,又因为 m ′ 3 ≤ b + c + d ,则
m ′ 3 < l − 3 , m ′ 4 = 0.
利用引理2.6,可以直接得出,图 K n \ P l 和图 K n \ ( P a ∪ T b , c , d ∪ K 1 , 3 ) 可以通过4-闭途径的数量来区分。£
引理2.10 对于任意的整数 a ≥ 1 , 4 ≤ b ≤ 7 且满足 2 a + b = l − 2 ( l ≥ 9 ) 时,两类图 K n \ P l 和 K n \ ( a P 3 ∪ T b ∪ P 2 ) 不同谱,其中图 T b 表示为含有b条边的树。
证明:图 P l 可以直接计算得出
m 1 = l − 2 , m 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 , m 3 = l − 3 , m 4 = 0.
对于图 a P 3 ∪ T 4 ∪ P 2 , a P 3 ∪ T 5 ∪ P 2 , a P 3 ∪ T 6 ∪ P 2 和 a P 3 ∪ T 7 ∪ P 2 ,有
m ′ 1 = l − 2 , m ′ 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 , m ′ 3 ≠ l − 3 , m ′ 4 = 0.
图 P l 和图 a P 3 ∪ T b ∪ P 2 在n个顶点下的补图分别为图 K n \ P l 和图 K n \ ( a P 3 ∪ T b ∪ P 2 ) ,由引理2.6可知,这两类图可以通过4-闭途径的数量来区分,则不同谱。 £
引理2.11 (Mao,Cioabǎ和Wang [
引理2.12 (Mao,Cioabǎ和Wang [
1) 除了 C 3 和 C 4 ,图H的任何部分都不是圈。
2) 图H不包含两个不相交的圈 C k ∪ C s 。
3) 除了 P 3 之外,图H包含两条长度不相等的路径。
设图 G = P l + ( n − l ) K 1 为 K n \ P l 的补图,则图G有n个顶点, l − 1 条边,不含子图 C 3 ,并且其度序列为 { 0 n − l , 1 2 , 2 l − 2 } 。因此, K n \ P l 中的子图 C 3 数量 t ¯ 为
t ¯ = ( n 3 ) − ( n − 2 ) ( l − 1 ) + l − 2 = ( n 3 ) − ( n − 1 ) ( l − 1 ) + 1 2 ( 4 l − 6 ) .
设图 Γ = H + ( n − | V ( H ) | ) K 1 为 K n \ H 的补图,则其有n个顶点, l − 1 条边, t ′ 个子图 C 3 ,度序列为 { 0 n − ∑ i = 1 k x i , 1 x 1 , 2 x 2 , ⋯ , k x k } 。那么图 K n \ H 中子图 C 3 数量 t ¯ ′ 为
t ¯ ′ = ( n 3 ) − ( n − 1 ) ( l − 1 ) + 1 2 ∑ i = 1 k ( i 2 x i ) − t ′ .
设图 K n \ H 和图 K n \ P l 同谱,则两图含有相同数量的子图 C 3 。而且由于删去了相同数量的边,那么删去的度数也是相等。因此有
∑ i = 1 k i x i = 2 l − 2 , ∑ i = 1 k i 2 x i = 4 l − 6 + 2 t ′ . (1)
定理1.1的证明:当 l = 10 时,图H含有9条边,其最多含有7个子图 C 3 ,则有
0 ≤ t ′ ≤ 7 . (2)
当 l = 10 , t ′ = 7 时,有 ∑ i = 1 k i 2 x i = 4 l − 6 + 2 t ′ = 48 ,当 k = 7 时不成立,所以k最大取6,则有
0 ≤ k ≤ 6 . (3)
对于 x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , 6 ) 取值范围确定,当 l = 10 时,由
∑ i = 1 k i x i = 2 l − 2 = 18
和
∑ i = 1 k i 2 x i = 4 l − 6 + 2 t ′ = 34 + 2 t ′ ,
可以得到
0 ≤ x i ≤ min { 18 i , 34 + 2 t ′ i 2 } . (4)
结合式子(1)-(4),及Matlab计算,可以得到组合 { t ′ , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 } 的所有情况如下:
{ 0 , 2 , 8 , 0 , 0 , 0 , 0 } , { 0 , 5 , 5 , 1 , 0 , 0 , 0 } , { 0 , 8 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0 } , { 0 , 10 , 2 , 0 , 1 , 0 , 0 } , { 1 , 0 , 9 , 0 , 0 , 0 , 0 } ,
{ 1 , 3 , 6 , 1 , 0 , 0 , 0 } , { 1 , 6 , 3 , 2 , 0 , 0 , 0 } , { 1 , 8 , 3 , 0 , 1 , 0 , 0 } , { 1 , 9 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 } , { 1 , 11 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 2 , 1 , 7 , 1 , 0 , 0 , 0 } , { 2 , 4 , 4 , 2 , 0 , 0 , 0 } , { 2 , 6 , 4 , 0 , 1 , 0 , 0 } , { 2 , 7 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 } , { 2 , 9 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 2 , 13 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 } , { 3 , 2 , 5 , 2 , 0 , 0 , 0 } , { 3 , 4 , 5 , 0 , 1 , 0 , 0 } , { 3 , 5 , 2 , 3 , 0 , 0 , 0 } , { 3 , 7 , 2 , 1 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 3 , 11 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 } , { 4 , 0 , 6 , 2 , 0 , 0 , 0 } , { 4 , 2 , 6 , 0 , 1 , 0 , 0 } , { 4 , 3 , 3 , 3 , 0 , 0 , 0 } , { 4 , 5 , 3 , 1 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 4 , 6 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 } , { 4 , 8 , 0 , 2 , 1 , 0 , 0 } , { 4 , 9 , 2 , 0 , 0 , 1 , 0 } , { 4 , 10 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 } , { 5 , 0 , 7 , 0 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 5 , 1 , 4 , 3 , 0 , 0 , 0 } , { 5 , 3 , 4 , 1 , 1 , 0 , 0 } , { 5 , 4 , 1 , 4 , 0 , 0 , 0 } , { 5 , 6 , 1 , 2 , 1 , 0 , 0 } , { 5 , 7 , 3 , 0 , 0 , 1 , 0 } ,
{ 5 , 8 , 1 , 0 , 2 , 0 , 0 } , { 5 , 10 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 } , { 6 , 1 , 5 , 1 , 1 , 0 , 0 } , { 6 , 2 , 2 , 4 , 0 , 0 , 0 } , { 6 , 4 , 2 , 2 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 6 , 5 , 4 , 0 , 0 , 1 , 0 } , { 6 , 6 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 } , { 6 , 8 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 } , { 7 , 0 , 3 , 4 , 0 , 0 , 0 } , { 7 , 2 , 3 , 2 , 1 , 0 , 0 } ,
{ 7 , 3 , 0 , 5 , 0 , 0 , 0 } , { 7 , 3 , 5 , 0 , 0 , 1 , 0 } , { 7 , 4 , 3 , 0 , 2 , 0 , 0 } , { 7 , 5 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 } , { 7 , 6 , 2 , 1 , 0 , 1 , 0 } ,
{ 7 , 7 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 } , { 7 , 12 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 } .
有这样一组参数 { t ′ , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 } ,如果存在一个与该参数相同的图,那么称这组参数为该图的图解。实际上,并不是所有的这些参数组合都是图解,有部分是不符合图条件要求的。并且这些有效的图解中可能存在多个图的表示。如表1所示,这里只给出有效图解的组合和其相对应的图(表1中相关的子图见图2)。
根据引理2.8~2.12,除了图 Y 1 , 1 , 1 , 1 ∪ 2 P 3 、 2 T 1 , 1 , 2 ∪ P 2 、和 G d ∪ 2 P 3 以外,这里剩余的所有图的 K n \ H 都与 K n \ P 10 不同谱。接下来将计算在这三个图中4-闭途径的数量,并在表2中给出它们各子图的数量。
对于图 P 10 ,直接计算得
m 1 = l − 2 = 8 , m 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 = 28 , m 3 = l − 3 = 7 , m 4 = 0.
图解组合 | 相对应的图H |
---|---|
{ 0 , 2 , 8 , 0 , 0 , 0 , 0 } | C 8 ∪ P 2 , C 7 ∪ P 3 , C 6 ∪ P 4 , C 5 ∪ P 5 , C 4 ∪ P 6 |
{ 0 , 5 , 5 , 1 , 0 , 0 , 0 } | T 1 , 1 , 6 ∪ P 2 , T 1 , 2 , 5 ∪ P 2 , T 1 , 3 , 4 ∪ P 2 , T 2 , 2 , 4 ∪ P 2 , T 2 , 3 , 3 ∪ P 2 , T 1 , 1 , 5 ∪ P 3 , T 1 , 2 , 4 ∪ P 3 , T 1 , 3 , 3 ∪ P 3 , T 2 , 2 , 3 ∪ P 3 , T 1 , 1 , 4 ∪ P 4 , T 1 , 2 , 3 ∪ P 4 , T 2 , 2 , 2 ∪ P 4 , T 1 , 1 , 3 ∪ P 5 , T 1 , 2 , 2 ∪ P 5 , T 1 , 1 , 2 ∪ P 6 , T 1 , 1 , 1 ∪ P 7 |
{ 0 , 5 , 5 , 1 , 0 , 0 , 0 } | Y 1 , 1 , 1 , 1 ∪ 2 P 3 , G e ∪ P 3 ∪ P 2 , G f ∪ P 3 ∪ P 2 , G k ∪ 2 P 2 , G l ∪ 2 P 2 , G m ∪ 2 P 2 , G n ∪ 2 P 2 , T 1 , 1 , 2 ∪ K 1 , 3 ∪ P 3 , T 1 , 1 , 3 ∪ K 1 , 3 ∪ P 2 , T 1 , 2 , 2 ∪ K 1 , 3 ∪ P 2 , 2 T 1 , 1 , 2 ∪ P 2 , 2 K 1 , 3 ∪ P 4 |
{ 0 , 10 , 2 , 0 , 1 , 0 , 0 } | T 1 , 1 , 2 , 2 ∪ 3 P , 2 T 1 , 1 , 1 , 3 ∪ 3 P 2 , T 1 , 1 , 1 , 1 ∪ 2 P 2 ∪ P 4 , T 1 , 1 , 1 , 1 ∪ P 2 ∪ 2 P 3 |
{ 1 , 0 , 9 , 0 , 0 , 0 , 0 } | C 3 ∪ C 6 |
{ 1 , 3 , 6 , 1 , 0 , 0 , 0 } | G a ∪ P 6 , G h ∪ P 5 , G q ∪ P 4 |
{ 1 , 6 , 3 , 2 , 0 , 0 , 0 } | G c ∪ 2 P 3 , G i ∪ P 2 ∪ P 3 , G r ∪ 2 P 2 , G s ∪ 2 P 2 |
{ 1 , 8 , 3 , 0 , 1 , 0 , 0 } | G j ∪ 2 P 2 ∪ P 3 , G t ∪ 3 P 2 |
{ 1 , 9 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 } | G u ∪ 3 P 2 |
{ 2 , 1 , 7 , 1 , 0 , 0 , 0 } | G q ∪ C 3 |
{ 2 , 4 , 4 , 2 , 0 , 0 , 0 } | G d ∪ 2 P 3 , G v ∪ 2 P 2 , 2 G a ∪ P 2 |
{ 2 , 6 , 4 , 0 , 1 , 0 , 0 } | G w ∪ 3 P 2 |
{ 2 , 7 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 } | G x ∪ 3 P 2 |
表1. 所有可能与 K n \ P 10 同谱的 K n \ H 的补图
图H | m ′ 1 | m ′ 2 | m ′ 3 | m ′ 4 |
---|---|---|---|---|
Y 1 , 1 , 1 , 1 ∪ 2 P 3 | 8 | 28 | 4 | 0 |
2 T 1 , 1 , 2 ∪ P 2 | 8 | 28 | 4 | 0 |
G d ∪ 2 P 3 | 10 | 26 | 4 | 1 |
表2. 图H的相关子图数量
通过表2中图H与图 P 10 的各子图数量对比,以及引理2.6,则这三个图作为H时,图 K n \ H 与图 K n \ P 10 有不同数量的4-闭途径,因此它们不同谱。综上所述,证得图 K n \ P 10 是DS。定理1.1得证。 £
图2. 文中涉及到的一些相关子图
在本文中,主要利用图 K n \ P l 的邻接谱性质,通过对与图 K n \ P l 可能同谱的图做详细的分类,并且计算图的4-闭途径和5-闭途径的数量是否相同,来得到他们是否同谱,从而证明在l取值较小的情况下图 K n \ P l 是DS。但在取较大值的l时,与 K n \ P l 可能同谱的图的详细分类会非常的复杂和繁琐,运用以上的方法是不理想的。因此,要证明猜想1在一般情况是正确,需要新的方法和工具。
感谢审稿人对本文提出的修改意见,并感谢游志福教授在本篇文章的写作过程中给予指导。
林智浩. 完全图去除路P10的图谱特征Spectral Characterization of the Complete Graph by Deleting P10[J]. 理论数学, 2021, 11(05): 937-945. https://doi.org/10.12677/PM.2021.115107