本文主要研究一类新的二重积分不等式并用于时滞系统的稳定性分析。首先,通过引入零等式得到新的二重积分不等式。然后,利用增广向量构造李雅普诺夫泛函(LKF),再通过不等式对泛函导数中的积分项进行处理,得到保守性更低的稳定性条件。接着用更加宽松的二次函数负决定引理得到新的稳定条件。最后,通过一个数值例子验证所得结果的有效性和优越性。 This article is concerned with a novel double integral inequalities applied to time-delay systems. Firstly, two zero-value equations have been introduced to estimate the upper bound of double in-tegral inequality. Secondly, augmented vectors are used to construct Lyapunov function, and the inequality is utilized to estimate the derivative of functional, and then relax quadratic function negative-determination lemma is used to obtain stability criterion. Finally, examples are given to show the effectiveness of the obtained result.
本文主要研究一类新的二重积分不等式并用于时滞系统的稳定性分析。首先,通过引入零等式得到新的二重积分不等式。然后,利用增广向量构造李雅普诺夫泛函(LKF),再通过不等式对泛函导数中的积分项进行处理,得到保守性更低的稳定性条件。接着用更加宽松的二次函数负决定引理得到新的稳定条件。最后,通过一个数值例子验证所得结果的有效性和优越性。
时变时滞,增广的李雅普诺夫泛函,自由矩阵不等式,时滞分割
Yongjia Ye, Lianglin Xiong, Haiyang Zhang
School of Mathematics and Computer Science, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan
Received: Jul. 15th, 2021; accepted: Aug. 18th, 2021; published: Aug. 25th, 2021
This article is concerned with a novel double integral inequalities applied to time-delay systems. Firstly, two zero-value equations have been introduced to estimate the upper bound of double integral inequality. Secondly, augmented vectors are used to construct Lyapunov function, and the inequality is utilized to estimate the derivative of functional, and then relax quadratic function negative-determination lemma is used to obtain stability criterion. Finally, examples are given to show the effectiveness of the obtained result.
Keywords:Time-Varying Delay, Augmented Lyapunov Functional, Free-Base-Matrix Inequality, Delay Partition
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
时滞是现实世界中不可避免的一种自然现象。我们在很多领域都会遇到时滞,例如信号处理,模式识别,组合优化等等 [
到目前为止,研究具有低保守性稳定性标准的时滞系统依旧是个热门话题。学者们针对时滞系统的稳定性研究主要采用李雅普诺夫函数方法。通过利用李雅普诺夫稳定性理论 [
为了简化表述,我们有必要做如下的符号说明: R n 表示n维欧式空间; R n × m 代表 n × m 的矩阵值; sym { X } = X + X T ; diag { ⋯ } 表示对角矩阵; col { ⋯ } 表示列向量; X T 和 X − 1 分别矩阵的转置和逆矩阵; * 表示矩阵的对称项。
考虑一般的带有时变时滞的线性系统
{ x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − h , 0 ] (1)
其中 x ( t ) ∈ R n 是系统的状态向量; A ∈ R n × n 和 B ∈ R n × n 是已知的实数矩阵;初始条件 φ ( t ) 是连续的微分函数,h和u是已知的常数,且满足如下条件:
0 < h ( t ) < h , h ˙ ( t ) < u . (2)
在分析系统(1)的时滞依赖稳定性判据之前,本节首先引入如下一些重要的引理:
引理1 [
T 1 = f ( h i ) < 0 ( i = 1 , 2 ) , T 2 = − β 2 h 12 2 a 2 + f ( h 1 ) < 0 , T 3 = − ( 1 − β ) 2 h 12 2 a 2 + f ( h 2 ) < 0 ,(3)
那么 f ( y ) < 0 ( h 1 ≤ y ≤ h 2 ) 成立,其中 h 12 = h 2 − h 1 。
引理2 [
∫ a b w T ( s ) H w ( s ) d s ≥ − sym { σ 0 T L σ 1 + σ 0 T M σ 2 } − ( b − a ) σ 0 T ( 3 L H − 1 L T + M H − 1 M T 3 ) σ 0 (4)
其中 σ 1 = [ ∫ a b x ( s ) d s x ( b ) − x ( a ) ] , σ 2 = [ − ∫ a b x ( s ) d s + 2 b − a ∫ a b ∫ s b x ( u ) d u d s x ( b ) + x ( a ) − 2 b − a ∫ a b x ( s ) d s ] , σ 0 是任意向量。
引理3 [
∫ a b x T ( s ) Ω x ( s ) d s ≥ 1 b − a ( ∫ a b x ( s ) d s ) T R ( ∫ a b x ( s ) d s ) + 3 b − a Ω 1 T R Ω 1 ,
∫ a b ∫ β b x T ( s ) R x ( s ) d s d β ≥ 2 ( b − a ) 2 ( ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β ) T R ( ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β ) ,
其中 Ω 1 = ∫ a b x ( s ) d s − 2 b − a ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β 。
引理4 若正定对称矩阵 Y i ∈ R n × n ( i = 1 , 3 ) , X i ∈ R n × n ( i = 1 , 2 ) ,任意矩阵 Y 2 ∈ R n × n , x ( t ) 是一个可微函数: [ a , b ] → R n ,满足:
Ω 0 = [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] ≥ 0 , Ω 1 = [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] ≥ 0 , Ω 2 = [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] ≥ 0 ,
那么,对任意向量 c ∈ [ a , b ] ,下面的不等式成立
− ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ ≤ ξ T Ω ξ (5)
其中
W ( s ) = col { x ˙ ( s ) , x ( s ) } , ξ = col { x ( b ) , x ( c ) , x ( a ) , w 1 , w 2 , v 1 , v 2 } , w 1 = 1 b − c ∫ c b x ( s ) d s ,
w 2 = 1 c − a ∫ a c x ( s ) d s , v 1 = 1 ( b − c ) 2 ∫ c b ∫ θ b x ( s ) d s d θ , v 2 = 1 ( c − a ) 2 ∫ a c ∫ θ c x ( s ) d s d θ ,
Ω = ( c − a ) e 2 T X 2 e 2 + ( b − c ) e 1 T X 1 e 1 − ( b − c ) e 4 T X 1 e 4 − ( c − a ) e 5 T X 2 e 5 − ( c − a ) ( b − a ) e 4 T Y 1 e 4 − sym { ( b − c ) 2 e 6 T Y 1 e 6 + 2 ( b − a ) e 6 T ( Y 1 + X 1 ) ( e 1 − e 4 ) + ( e 1 − e 4 ) T Y 3 ( e 1 − e 4 ) + ( c − a ) 2 e 7 T Y 1 e 7 + 2 ( c − a ) e 7 T ( Y 2 + X 2 ) ( e 2 − e 5 ) + ( e 2 − e 5 ) T Y 3 ( e 2 − e 5 ) + ( c − a ) e 4 T Y 2 ( e 1 − e 2 ) } − c − a b − a ( e 1 − e 2 ) T Y 3 ( e 1 − e 2 ) ,
e i = [ 0 n , ( i − 1 ) n I n 0 n , ( 7 − i ) n ] ( i = 1 , 2 , ⋯ , 7 ) 。
证明:对于对称半正定矩阵 X i ∈ R n × n ( i = 1 , 2 ) ,有下面的零等式成立
0 = − 2 ∫ c b ∫ θ b x T ( s ) X 1 x ˙ ( s ) d s d θ + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s ,
0 = − 2 ∫ a c ∫ θ c x T ( s ) X 2 x ˙ ( s ) d s d θ + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s 。
将上面两个零等式加入 − ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ 。
可得
Φ = − ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − 2 ∫ c b ∫ θ b x T ( s ) X 1 x ˙ ( s ) d s d θ + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s − 2 ∫ a c ∫ θ c x T ( s ) X 2 x ˙ ( s ) d s d θ + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s
其中
− ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ = − ∫ a c ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ
− ∫ a c ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ = − ∫ a c ∫ θ c W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ a c ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ
− ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ = − ∫ c b ∫ θ c W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ c b ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ
合并同类项后可以得到
Φ = − ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 1 W ( s ) d s d θ − ∫ a c ∫ θ c W T ( s ) Ω 2 W ( s ) d s d θ − ( c − a ) ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) .
利用Jensen不等式可得
− ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s ≤ − ( b − c ) w 1 T X 1 w 1
− ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s ≤ − ( c − a ) w 2 T X 2 w 2
由引理3,可以得到
− ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 1 W ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] T [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ]
− ∫ a c ∫ θ c W T ( s ) Ω 2 W ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ] T [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ]
− ( c − a ) ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s ≤ − ( c − a ) { 1 b − c [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ] + 3 b − c [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] }
整理可得
Φ ≤ − 2 [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] T [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] − 2 [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ] T [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ] − ( c − a ) { 1 b − c [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ] + 3 b − c [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] } + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ( b − c ) w 1 T X 1 w 1 − ( c − a ) w 2 T X 2 w 2 .
同时加上和减去 ( x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( x ( c ) − x ( a ) ) + 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) ,运用互凸组合可以得到
Φ ≤ − 2 ( b − c ) 2 v 1 T Y 1 v 1 − 4 ( b − c ) v 1 T ( Y 1 + X 2 ) ( x ( b ) − w 1 ) − 2 ( x ( b ) − w 1 ) T Y 3 ( x ( b ) − w 1 ) − 2 ( c − a ) 2 v 2 T Y 1 v 2 − 4 ( c − a ) v 2 T ( Y 2 + X 2 ) ( x ( c ) − w 2 ) − 2 ( x ( c ) − w 2 ) T Y 3 ( x ( c ) − w 2 ) − ( c − a ) ( b − c ) w 1 T Y 1 w 1 − 2 ( c − a ) w 1 T Y 2 ( x ( b ) − x ( c ) ) − c − a b − a ( x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( x ( b ) − x ( c ) ) − 3 ( c − a ) ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) T Y 1 ( w 1 − 2 v 1 ) − 6 ( c − a ) ( w 1 − 2 v 1 ) T Y 2 ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) − 3 ( c − a ) b − c ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ( b − c ) w 1 T X 1 w 1 − ( c − a ) w 2 T X 2 w 2
因此,结论成立,证毕。
目前已有的文献中,处理带增广的二重积分不等式都是直接用Jenson不等式处理,带有很强的保守性。在本篇文章中,结合前人研究以及所学知识,通过引入两个零等式来估计积分的上限,引入自由矩阵让这个积分拥有更多的自由度。
为了便于后面的研究,需要对带有分母的积分项进行处理,因此在这个不等式中,引入 ( x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( x ( c ) − x ( a ) ) + 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) 让它与后面这一项组合 − ( c − a ) { 1 b − a ( x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( x ( b ) − x ( c ) ) + 3 b − c ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) } ,然后巧妙地 运用互凸组合进行化简和放缩。通过这一系列的处理后,我们可以得到一个拥有多个松弛矩阵和大量状态向量交叉信息的具有增广的二重积分不等式。利用这个不等式对二重积分进行放缩,在降低保守性具有非常良好的效果。
在这个部分当中,基于上面提到的二重积分不等式引理,我们通过恰当地构造李雅普诺夫泛函得到关于系统(1)的新的稳定标准。
为了简化向量和矩阵表示给出以下术语:
ξ 1 ( t ) = col { x ( t ) , ∫ t − h t x ( s ) d s } , ξ 2 ( t ) = col { x ( t ) , x ˙ ( t ) } , ξ 3 ( t ) = col { x ( s ) , ∫ s t x ( u ) d u } ,
ξ 4 ( t ) = col { x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) , x ( t ) + x ( t − h ( t ) ) − 2 w 1 , x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) + 6 w 1 − 12 v 1 } ,
ξ 5 ( t ) = col { x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) , x ( t − h ( t ) ) + x ( t − h ) − 2 w 2 , x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) + 6 w 2 − 12 v 2 } ,
r 1 = 1 h ( t ) ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s , r 2 = 1 t − h ( t ) ∫ t − h t − h ( t ) x ( s ) d s ,
t 1 = 1 h ( t ) 2 ∫ t − h ( t ) t ∫ θ t x ( s ) d s d θ , t 2 = 1 ( t − h ( t ) ) 2 ∫ t − h t − h ( t ) ∫ θ t − h ( t ) x ( s ) d s d θ
定理1 对于给定的实数h和u,若存在对称正定矩阵 U ∈ R 2 n × 2 n , Q i ∈ R 2 n × 2 n ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) , R ∈ R n × n , P ∈ R 2 n × 2 n , Z i ∈ R n × n ( i = 1 , 2 , 3 ) , Z = [ Z 1 Z 2 * Z 3 ] ∈ R 2 n × 2 n , M i ∈ R n × n ( i = 1 , 2 ) ,任意矩阵 S ∈ R 3 n × 3 n , L i ∈ R 9 n × 2 n ( i = 1 , 2 ) , M j ∈ R 9 n × 2 n ( j = 3 , 4 ) ,使得下列线性矩阵不等式成立:
Γ 1 = [ R ¯ S S R ¯ ] > 0 (5)
Γ 2 = [ Z 1 Z 2 + M i * Z 3 ] > 0 ( i = 1 , 2 ) (6)
Γ 3 ( h ( t ) = 0 ) = ( δ ⊥ ) T [ Ξ ( h ( t ) ) h ( t ) L 1 h ( t ) M 3 h − h ( t ) L 2 h − h ( t ) M 4 * − P 0 0 0 * * − 1 3 P 0 0 * * * − P 0 * * * * − 1 3 P ] ( δ ⊥ ) < 0 (7)
Γ 4 ( h ( t ) = h ) = ( δ ⊥ ) T [ Ξ ( h ( t ) ) h ( t ) L 1 h ( t ) M 3 h − h ( t ) L 2 h − h ( t ) M 4 * − P 0 0 0 * * − 1 3 P 0 0 * * * − P 0 * * * * − 1 3 P ] ( δ ⊥ ) < 0 (8)
Γ 5 = ( δ ⊥ ) T ( − β 2 h 2 2 J 2 + Γ 3 ) ( δ ⊥ ) < 0 (9)
Γ 6 = ( δ ⊥ ) T ( − ( 1 − β ) 2 h 2 2 J 2 + Γ 4 ) ( δ ⊥ ) < 0 (10)
则时变时滞系统(1)是渐近稳定的,其中
Ξ ( h ( t ) ) = ∑ n = 1 6 Π n , ξ ( t ) = col { x ( t ) , x ( t − h ( t ) ) , x ( t − h ) , w 1 , w 2 , v 1 , v 2 , x ˙ ( t − h ( t ) ) , x ˙ ( t − h ) } ,
R ¯ = diag { R , 3 R , 5 R } , e i = [ 0 n , ( i − 1 ) n I n 0 n , ( 9 − i ) n ] ( i = 1 , 2 , ⋯ , 9 ) , f 0 = A e 1 + B e 2 , G 4 = col { e 2 , e 8 } ,
G 1 = col { e 1 , h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 } , G 2 = col { f 0 , e 1 − e 3 } , G 3 = col { e 1 , f 0 } , G 19 = col { e 0 , e 4 } ,
G 5 = col { e 3 , e 9 } , G 6 = col { e 1 , e 0 } , G 7 = col { e 2 , h 2 ( t ) e 4 } , G 8 = col { e 3 , h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 } ,
G 9 = col { e 0 , e 1 } , G 10 = col { h ( t ) e 4 , h ( t ) e 6 } , G 18 = col { − ( h − h ( t ) ) e 5 + 2 ( h − h ( t ) ) e 7 , e 2 + e 3 − 2 e 5 } ,
G 11 = col { h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 , h 2 ( t ) e 6 + ( h − h ( t ) ) 2 e 7 + h ( t ) ( h − h ( t ) ) e 4 } , G 20 = col { e 0 , e 4 − e 5 } ,
G 12 = col { e 1 − e 2 , e 1 + e 2 − 2 e 4 , e 1 − e 2 + 6 e 4 − 12 e 6 } , G 17 = col { ( h − h ( t ) ) e 5 , e 2 − e 3 } , e 0 = 0 n × 9 n ,
G 13 = col { e 2 − e 3 , e 2 + e 3 − 2 e 5 , e 2 − e 3 + 6 e 5 − 12 e 7 } , G 16 = col { − h ( t ) e 4 + 2 h ( t ) e 6 , e 1 + e 2 − 2 e 4 } ,
G 14 = col { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 , e 9 } , G 15 = col { h ( t ) e 4 , e 1 − e 2 } , G 21 = col { e 0 , e 6 + e 7 − e 4 } ,
Π 1 = sym { G 1 U G 2 } , Π 2 = G 3 T Q 1 G 3 − ( 1 − u ) G 4 T Q 1 G 4 + G 3 T Q 2 G 3 − G 5 T Q 2 G 5 , Π 6 = h 2 2 G 3 T Z G 3 + ϒ 1 ,
Π 3 = G 6 T Q 3 G 6 − ( 1 − u ) G 7 T Q 3 G 7 + G 6 T Q 4 G 6 − G 8 T Q 4 G 8 + sym { G 10 T Q 3 G 9 + G 11 T Q 4 G 9 } ,
Π 4 = h 2 f 0 R f 0 − [ G 12 G 13 ] T Γ 1 [ G 12 G 13 ] , Π 5 = h G 3 T P G 3 + sym { η 0 T L 1 η 1 + η 0 T M 3 η 2 + η 0 T L 2 η 3 + η 0 T M 4 η 4 } ,
ϒ 1 = ( h − h ( t ) ) e 2 T M 2 e 2 + h ( t ) e 1 T M 1 e 1 − h ( t ) e 4 T M 1 e 4 − ( h − h ( t ) ) e 5 T M 2 e 5 − h ( t ) ( h − h ( t ) ) e 4 T Z 1 e 4 − sym { h ( t ) 2 e 6 T Z 1 e 6 + 2 h ( t ) e 6 T ( Z 1 + M 1 ) ( e 1 − e 4 ) + ( e 1 − e 4 ) T Z 3 ( e 1 − e 4 ) + ( h − h ( t ) ) 2 e 7 T Z 1 e 7 + 2 ( h − h ( t ) ) e 7 T ( Z 2 + M 2 ) ( e 2 − e 5 ) + ( e 2 − e 5 ) T Z 3 ( e 2 − e 5 ) + ( c − a ) e 4 T Z 2 ( e 1 − e 2 ) } − h − h ( t ) h ( e 1 − e 2 ) T Z 3 ( e 1 − e 2 ) ,
ϒ 2 = sym { h ( t ) G 14 T ( 3 L 1 P − 1 L 1 + M 3 P − 1 M 3 3 ) G 14 + ( h − h ( t ) ) G 14 T ( 3 L 2 P − 1 L 2 + M 4 P − 1 M 4 3 ) G 14 } (11)
证明:构造如下李雅普诺夫泛函
V ( t ) = ∑ d = 1 6 V d
V 1 ( t ) = ξ 1 T ( t ) U ξ 1 ( t )
V 2 ( t ) = ∫ t − h ( t ) t ξ 2 T ( s ) Q 1 ξ 2 ( s ) d s + ∫ t − h t ξ 2 T ( s ) Q 2 ξ 2 ( s ) d s
V 3 = ∫ t − h ( t ) t ξ 3 T ( t , s ) Q 3 ξ 3 ( t , s ) d s + ∫ t − h t ξ 3 T ( t , s ) Q 4 ξ 3 ( t , s ) d s , V 4 = h ∫ t − h t ∫ θ t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s d θ ,
V 5 = ∫ t − h t ∫ θ t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s d θ , V 6 = ∫ t − h t ∫ θ 2 t ∫ θ 1 t ξ 2 T ( s ) Z ξ 2 ( s ) d s d θ 1 d θ 2
对 V ( t ) 求导,可得
V ˙ 1 ( t ) = 2 ξ T ( t ) G 1 T U G 2 ξ ( t )
V ˙ 2 ≤ ξ 2 T ( t ) Q 1 ξ 2 ( t ) − ( 1 − u ) ξ 2 T ( t − h ( t ) ) Q 1 ξ 2 ( t − h ( t ) ) + ξ 2 T ( t ) Q 2 ξ 2 ( t ) − ξ 2 T ( t − h ) Q 2 ξ 2 ( t − h )
V ˙ 3 ≤ ξ 3 T ( t , t ) Q 3 ξ 3 ( t , t ) − ( 1 − u ) ξ 3 T ( t , t − h ( t ) ) Q 3 ξ 3 ( t , t − h ( t ) ) + ξ 3 T ( t , t ) Q 4 ξ 3 ( t , t ) − ξ 3 T ( t , t − h ) Q 4 ξ 3 ( t , t − h ) + sym { [ ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ∫ t − h ( t ) t ∫ s t x ( u ) d u d s ] Q 3 [ 0 x ( t ) ] + [ ∫ t − h t x ( s ) d s ∫ t − h t ∫ s t x ( u ) d u d s ] Q 4 [ 0 x ( t ) ] } ,
V ˙ 4 = h 2 x ˙ ( t ) R x ˙ ( t ) − h ∫ t − h t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s , V ˙ 5 = h ξ 2 T ( t ) P ξ 2 ( t ) − ∫ t − h t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s
V ˙ 6 = h 2 2 ξ 2 T ( t ) Z ξ 2 ( t ) − ∫ t − h t ∫ θ 2 t ξ 2 T ( s ) Z ξ 2 ( s ) d s d θ 2
运用Jensen不等式以及互凸组合对 V ˙ 4 ( t ) 中的积分项进行放缩,可以得到
− h ∫ t − h t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s = − h ∫ t − h ( t ) t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s − h ∫ t − h t − h ( t ) x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s ≤ − h h ( t ) ξ 4 T ( t ) R ¯ ξ 4 ( t ) − h h − h ( t ) ξ 5 T ( t ) R ¯ ξ 5 ( t ) ≤ − [ ξ 4 ξ 5 ] T Γ 1 [ ξ 4 ξ 5 ] .
为了考虑更多的积分信息,利用时滞分割方法将一重积分区间 [ 0 , h ] 划分成 [ 0 , h ( t ) ] 和 [ h ( t ) , h ] 两个部分,并运用引理2中的自由矩阵不等式, V ˙ 5 ( t ) 中的积分项进行放缩可以得到
− ∫ t − h t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s = − ∫ t − h ( t ) t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s − ∫ t − h t − h ( t ) ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s
− ∫ t − h ( t ) t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s ≤ sym { η 0 T L 1 η 1 + η 0 T M 3 η 2 } + h ( t ) η 0 T ( 3 L 1 P − 1 L 1 + M 3 P − 1 M 3 3 ) η 0
其中
η 0 = G 14 ξ ( t ) , η 1 = [ h ( t ) r 1 x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) ] , η 2 = [ − h ( t ) r 1 + 2 h ( t ) t 1 x ( t ) + x ( t − h ( t ) ) − 2 r 1 ]
η 3 = [ ( h − h ( t ) ) r 2 x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) ] , η 4 = [ − ( h − h ( t ) ) r 2 + 2 ( h − h ( t ) ) t 2 x ( t − h ( t ) ) + x ( t − h ) − 2 r 2 ]
运用引理4提出的新二重积分不等式,对 V ˙ 6 ( t ) 中的积分放缩得
− ∫ t − h t ∫ θ 2 t ξ 2 T ( s ) Z ξ 2 ( s ) d s d θ 2 ≤ ξ T ( s ) ϒ 1 ξ ( s )
取 Ψ ( h ( t ) ) = Ξ ( h ( t ) ) + ϒ 2 ,由于 h ( t ) 在是二次的,因此可以改写成 Ψ ( h ( t ) ) = J 2 h 2 ( t ) + J 1 h ( t ) + J 0 ,其中 J 0 , J 1 , J 2 和都是常数矩阵,且
J 2 = e 4 T Z 1 e 4 − ( 1 − u ) G 19 T Q 3 G 19 − G 20 T Q 3 G 20 − sym { e 6 T Z 1 e 6 + e 7 T Z 1 e 7 + e 21 T Q 3 e 9 }
利用Finsler’s引理 [
需要说明的是, V 3 ( t ) 是在增广向量中引入S相关的单重积分项 ∫ s t x ( u ) d u ,对 V 3 ( t ) 求导后能产生二重积分 ∫ t − h ( t ) t ∫ s t x ( u ) d u d s 和 ∫ t − h t ∫ s t x ( u ) d u d s ,可以看到更多的时滞信息和相互交叉的状态向量,这些都可以为降低保守性提供帮助。
V 6 ( t ) 求导后产生的二重积分就是利用引理4的积分不等式进行放缩的,值得注意的是利用互凸组合巧妙的化解分母为零的现象,并且可以看到利用新的积分不等式能产生更多的时滞信息和自由矩阵。
我们通过了下面的例子证明本文所提方法的有效性和优越性。
A = [ 0 1 − 1 − 2 ] , B = [ 0 0 − 1 1 ]
u | 0.1 | 0.2 | 0.5 |
---|---|---|---|
[ | 6.5906 | 3.6728 | 1.4118 |
[ | 7.1250 | 4.4133 | 2.2430 |
[ | 7.1480 | 4.4660 | 2.3521 |
[ | 7.1672 | 4.5175 | 2.4158 |
[ | 7.1905 | 4.5275 | 2.4473 |
[ | 7.2611 | 4.6380 | 2.5898 |
定理1 ( β = 0.5 ) | 8.1018 | 5.4514 | 2.7180 |
定理1 ( β = 0.7 ) | 9.5063 | 6.1771 | 2.8181 |
表1. 当u取不同值时h最大允许的时滞上界
图1. 状态响应图
这个例子主要用来验证时滞系统的稳定性和计算最大允许时滞上界h,通过图1我们可以看到,当取 β = 0.5 , u = 0.2 时,令 h = 5.4514 ,取 h ( t ) = 10.9028 sin ( t / 2 ) ,我们可以清楚看到系统是渐近稳定的,这证明我们所提方法的有效性。运用定理1通过表1中的数据对比可以的出我们所提方法的确具有优越性,能有效降低时滞系统的保守性,且可以通过控制调节参数 β 找到最优解。当 β = 0.7 , u = 0.2 时,运用定理1可以得到最大允许时滞上界h的值是6.1771,它比文献 [
本文探讨了时滞系统的稳定性问题,首先通过两个零等式引入自由矩阵改进具有增广的二重积分不等式,然后在充分考虑各个状态向量的基础上构造带有增广的李雅普诺夫泛函,并利用提出的二重积分不等式以及广义的自由矩阵积分不等式处理泛函的导数。最后,通过一个数值例子来说明所得结论的有效性和优越性。本文的方法还可以扩展到具有马尔科夫跳跃的时滞神经网络系统的稳定性以及控制问题的研究中。
国家自然科学基金(12061088)。
叶永佳,熊良林,张海洋. 一类新的二重积分不等式在时滞系统中的应用A Novel Double Integral Inequalities Applied to Time-Delay Systems[J]. 理论数学, 2021, 11(08): 1535-1545. https://doi.org/10.12677/PM.2021.118172