运用特殊函数法和相关的分析技巧,考虑了带线性项的Carrier型问题,获得无论退化情形还是非退化情形都存在无穷多解,并对结论给出了适当的举例。 Carrier-type problem with linear term was considered by using the methods of special function and analysis techniques. We get that there exist infinitely many solutions whether degenerate case or non-degenerate case, and the examples are given at last.
运用特殊函数法和相关的分析技巧,考虑了带线性项的Carrier型问题,获得无论退化情形还是非退化情形都存在无穷多解,并对结论给出了适当的举例。
Carrier型问题,线性项,特殊函数法,无穷多解
Ronghua Zhong, Yue Wang*
School of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang Guizhou
Received: Oct. 6th, 2021; accepted: Nov. 9th, 2021; published: Nov. 16th, 2021
Carrier-type problem with linear term was considered by using the methods of special function and analysis techniques. We get that there exist infinitely many solutions whether degenerate case or non-degenerate case, and the examples are given at last.
Keywords:Carrier-Type Problem, Linear Term, Method of Special Function, Infinitely Many Solutions
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1945年,Carrier [
[ 1 + α − 2 2 π ∫ 0 π φ 2 ( ξ , η ) d ξ ] 2 ∂ 2 φ ∂ ξ 2 = ∂ 2 φ ∂ η 2
其中 α 2 = T 0 E A , ξ = π x l , η = π l ( T 0 ρ A ) 1 2 t 为无量纲量, T 0 是静止位置的张力,E是弦材料的恒定特性,A是弦在静止位置的截面积,l是弦材料的长度, ρ 表示单位体积的质量, φ 为一函数。由于此时该问题中的 ξ , η 利用了变量变换模式,而更一般的情形也随后得到了广泛的研究。同时在后面的研究者们将形如 − M ( t , x , ∫ Ω u 2 d x ) Δ u = f ( t , x , u ) 的问题称为Carrier型问题。文献 [
{ − ε 2 A ( ε − n ∫ Ω | u | q d x ) Δ u + V ( x ) u = | u | p − 1 u , x ∈ R N , 0 < u ∈ H 1 ( R N ) , l i m | x | → ∞ u ( x ) = 0
解的存在性,其中 1 < p < 2 ∗ − 1 , 2 ≤ q < 2 ∗ , A : ( 0 , + ∞ ) → [ a , + ∞ ) , V ( x ) : R N → R 是两个连续函数, a > 0 ,而 ε > 0 是一个小的参数;文献 [
− ( a − b ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) Δ u = u q , x ∈ Ω
古典解的存在性,其中常数a,b不同时为零, q ≠ − 1 , Ω ⊂ R N 。文献 [
{ − a ( ∫ Ω | u | q d x ) Δ u = h 1 ( x , u ) f ( ∫ Ω | u | p d x ) + h 2 ( x , u ) g ( ∫ Ω | u | p d x ) , x ∈ Ω , u ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω .
的解的存在性,其中 q , p , r ∈ [ 1 , + ∞ ) , h i : Ω ¯ × R + → R , i = 1 , 2 , a , f , g : [ 0 , + ∞ ) → ( 0 , + ∞ ) 是连续函数, Ω 是 R N 中的光滑有界域, N ≥ 1 。更多关于正负模量的Kirchhoff型问题以及Carrier型问题解的存在性研究,参见文献 [
诸如文献 [
{ − ( a − b ∫ Ω u 2 d x ) Δ u = λ u , x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (1)
其中 Ω ⊂ R N ( N ≥ 1 ) 为光滑有界域; a , b , λ 为任意实数,但至少有两个不同时为零。
设 Ω ⊂ R N ( N ≥ 1 ) 是光滑有界域,在文献 [
{ − Δ u = μ u , x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (2)
存在特征值序列 { μ i } i = 1 ∞ ⊂ R ,满足
0 < μ 1 < μ 2 ≤ ⋯ ≤ μ i ≤ ⋯ , lim i → ∞ μ i = + ∞ , 0 < μ 1 = inf φ ∈ C 0 2 , 2 ( Ω ) , φ ≠ 0 ∫ Ω | ∇ φ | 2 d x ∫ Ω φ 2 d x
及其对应的特征函数序列 { φ i } i = 1 ∞ ⊂ C 0 2 ( Ω ) ,同时有 ∫ Ω | ∇ φ i | 2 d x = μ i ∫ Ω φ i 2 d x ,当 μ ∈ { μ i } i = 1 ∞ 时问题(2)有解 φ i ,即 t φ i 是问题(2)的解,而当 μ ∉ { μ i } i = 1 ∞ 时问题(2)无解。
立足于上述事实,我们将对 a , b , λ 满足不同情形时问题(1)解的存在性及解的形式作讨论。由于问题(1)中出现的实数 a , b , λ 在符号上具有对称性,因此我们只给出 a ≥ 0 时 b , λ 在不同符号下问题(1)的解及状态,而当 a < 0 时问题(1)解的存在性问题类似可得,不再赘述。下面的理论都立足于实数范围。
定理1 如果 a > 0 , λ ≥ 0 ,则当 b > 0 时问题(1)有无穷多解 { u n } n = 1 ∞ ;当 b < 0 时存在正数列 { λ i } i = 0 ∞ ,使得 λ i < λ ≤ λ i + 1 时问题(1)至少有i个线性无关解 { u n } n = 1 i ,而 λ ≤ λ 1 时,只有零解。
证明 当 i > 1 时,我们考虑关于t的代数方程
a − b ∫ Ω ( t φ i ) 2 d x = λ μ i (3)
当 b ≠ 0 时,方程(3)具有实数或复数型的解
t ± = ± [ a μ i − λ b μ i ( ∫ Ω φ i 2 d x ) − 1 ] 1 2 (4)
且当 a μ i − λ b ≥ 0 时其解总为实数。需要注意的是,此时直接可以验证 − Δ ( t ± φ i ) = μ i ( t ± φ i ) ,现让它与式(3)左右两边分别相乘,再联系到式(4),则可得到
{ − ( a − b ∫ Ω ( t ± φ i ) 2 d x ) Δ ( t ± φ i ) = λ ( t ± φ i ) , x ∈ Ω , t ± φ i = 0 , x ∈ ∂ Ω . (5)
也就是说,当 a μ i − λ b = 0 时有 t ± ≡ 0 ,而当 a μ i − λ b > 0 时式(5)总成立,从而 u i = t ± φ i 是问题(1)的解。
(i) a > 0 , b > 0 , λ ≥ 0 时,对于任意的 λ > 0 ,必存在 k ∈ N ∗ , k ≥ 1 ,使得 λ < a μ k + 1 ;若 λ ≤ a μ 2 ,则 a μ i + 1 − λ > 0 总成立。因此再根据式(4)和式(5)可得到问题(1)有解
u i = t ± φ i = ± [ a μ i + 1 − λ b μ i + 1 ( ∫ Ω φ i + 1 2 d x ) − 1 ] 1 2 φ i +1 = ± ( a μ i + 1 − λ b ) 1 2 ( ∫ Ω | ∇ φ i + 1 | 2 d x ) − 1 2 φ i +1 (6)
由于 i = 1 , 2 , ⋯ ,取 n = 1 对应k, n = 2 对应 k + 1 , ⋯ ,则它们可以构成解序列 { u n } n = 1 ∞ 。另一方面,若 a > 0 , b > 0 , λ = 0 ,此时原问题的解必然在 a − b ∫ Ω u 2 d x = 0 或者 Δ u ≡ 0 的函数集中取得。而满足 Δ u 有界且 ∫ Ω u 2 d x = a b 的函数u有无穷多,事实上对任意的 v ∈ C 0 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) ,可得所有的
u : = ( a b ∫ Ω v 2 d x ) − 1 2 v
都是问题(1)的解。
(ii) a > 0 , b < 0 , 0 < λ 1 ≤ λ i < λ ≤ λ i + 1 时,因为有 λ i = a μ i + 1 , n = 1 , ⋯ , i ,则 λ n − λ b μ n + 1 = a μ n + 1 − λ b μ n + 1 > 0 恒成立,故方程(3)总有非零解可以表述为(4),从而问题(1)至少有i对非平凡解
u n = ± ( a μ n − λ b ) 1 2 ( ∫ Ω | ∇ φ n | 2 d x ) − 1 2 φ n , n = 1 , ⋯ , i
显然这些解至少有i个线性无关。当 0 < λ ≤ λ 1 = a μ 1 时,只有平凡解 u ≡ 0 。事实上,如果此时 u ≠ 0 ,则根据 a > 0 , b < 0 , λ ≤ a μ 1 ,利用格林公式得出
a ∫ Ω | ∇ u | 2 d x < ( a + | b | ∫ Ω u 2 d x ) ∫ Ω | ∇ u | 2 d x = λ ∫ Ω u 2 d x ≤ a μ 1 ∫ Ω u 2 d x ≤ a ∫ Ω | ∇ u | 2 d x
这显然构成矛盾。综上所述,不仅证明了定理1解的存在性,而且还给出了一类解的抽象形式。
定理2 如果 a = 0 ,则当 b λ < 0 时,问题(1)有无穷多解 { u n } n = 1 ∞ ,而 b λ ≥ 0 时只有平凡解。
证明 若 a = 0 , b λ < 0 ,则对 i ≥ 1 时的特征值 μ i 和它对应的特征函数 φ i ,方程(3)变为
− | b | ∫ Ω ( t φ i ) 2 d x = | λ | μ i
关于t的方程总有实数解
t ± = ± [ | λ | | b | μ i ( ∫ Ω φ i 2 d x ) − 1 ] 1 2 = ± ( | λ b | ( ∫ Ω | ∇ φ i | 2 d x ) − 1 ) 1 2
则易知问题(1)有无穷多解,可以表示为
u n = ± ( | λ b | ∫ Ω | ∇ φ i | 2 d x ) − 1 2 φ n , i = 1 , 2 , ⋯
此外,若 a = 0 , b λ ≥ 0 时u是问题(1)的解,则根据格林公式有
| b | ( ∫ Ω u 2 d x ) ∫ Ω Δ u v d x = | λ | ∫ Ω u v d x = − | b | ( ∫ Ω u 2 d x ) ∫ Ω ∇ v ∇ u d x
特别取 v = u 时便得出 u = 0 ,因此 a = 0 且 b λ ≥ 0 时问题(1)只有平凡解。
注记1 当 b = 0 时,如果 λ a ∈ { λ i } i = 0 ∞ ,则问题(1)存在无穷多解。
例1 设 Ω = ( 1 , 2 ) ,此时问题(1)为
{ − ( a − b ∫ Ω u 2 ( x ) d x ) u ″ ( x ) = λ u ( x ) , x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (7)
下面我们推导注记1和定理1的结论,即在 a > 0 , λ > 0 的条件假设下有如下的结论:如果 b > 0 ,则问题(7)有无穷多解 { u n } n = 1 ∞ ;如果 b < 0 ,则存在正数列 { λ i } i = 0 ∞ ,使得 λ i < λ ≤ λ i + 1 时问题(7)至少有i个线性无关解 { u n } n = 1 i ;而 λ ≤ λ 1 时,问题(7)只有零解。根据文献 [
∫ 1 2 | ∇ φ i | 2 d x = i 2 π 2 2 .
当 a > 0 , b = 0 , λ > 0 时,只要取 λ i = a μ i = a i 2 π 2 ,由于i的任意性,当 λ a ∈ { λ i } i = 0 ∞ ,即存在某个k使得 λ = a λ k = a k 2 π 2 时直接验证可知问题(7)有无穷多解 u k , t = t sin [ k π ( x − 1 ) ] ,其中的无穷性由t的任意性决定;当 a > 0 , b > 0 时,对于任意的 λ > 0 ,必存在 k ∈ N ∗ , k ≥ 1 ,使得 λ < a μ k + 1 ,则对任意的正整数 n ≥ k + 1 , a μ n − λ > 0 总成立,因此我们直接可验证对任意的正整数 n ≥ k + 1 ,函数
u n ( x ) = ± 2 n π [ a n 2 π 2 − λ b ] 1 2 sin [ n π ( x − 1 ) ] (8)
都满足方程(7),也就是说,对任意的正整数 n ≥ k + 1 ,(8)都是问题(7)的解。易知问题(7)有无穷解。
如果 b < 0 ,则对正数列 { λ i } i = 0 ∞ = { a i 2 π 2 } i = 0 ∞ ,如果 λ i = a i 2 π 2 < λ ≤ λ i + 1 = a i i + 1 2 π 2 ,则对于 n = 0 , ⋯ , i ,总有 a n 2 π 2 − λ b > 0 ,因此问题(7)至少有i个线性无关解 { u n } n = 1 i ,其表达式为(8);而果 b < 0 且 λ ≤ λ 1 时,很显然 a n 2 π 2 − λ b < 0 ,它的二次方根并不是一个实数,但零是其解并且能够利用格林公式得出问题(7)只有零解。
例2 设 Ω = ( 1 , 2 ) ,对任意非零整数 i , m ,当 a > 0 , b > 0 , λ = 0 ,取
u i , m ( x ) = ± 1 i π [ 2 a b ] 1 2 sin [ i π ( x − 1 ) + 2 m π ] ,
这里的 i , m 为任意整数,那么
{ u ′ i , m ( x ) = ± 1 i π [ 2 a b ] 1 2 cos [ i π ( x − 1 ) + 2 m π ] , − u ″ i , m ( x ) = ± [ 2 a b ] 1 2 sin [ i π ( x − 1 ) + 2 m π ] ,
显然 u ″ i , m ( x ) 是有界函数;另外,注意到此时 u i , m 2 ( x ) = ± 2 a b ( i π ) 2 sin 2 [ i π ( x − 1 ) + 2 m π ] ,于是
a − b ∫ 1 2 u i , m 2 ( x ) d x = a − 2 a b ( i π ) 2 ∫ 1 2 sin 2 [ i π ( x − 1 ) + 2 m π ] d x = a − a = 0 ,
也就是说 u i , m ( x ) 都是问题(7)的解。由于 i , m 的任意性,则可以得出问题(7)有无穷解。注意,当 a > 0 , b > 0 , λ = 0 时,除了 u i , m ( x ) 外,问题(7)的解还有很多,这里不再列举。
贵州省研究生科研基金立项项目(黔教合YJSCXJH[
钟荣花,王 跃. 带线性项Carrier型问题的无穷多解Infinitely Many Solutions of Carrier Type Problems with Linear Term[J]. 理论数学, 2021, 11(11): 1803-1809. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1111203