本文首先基于极端积算子,结合扩张原理,给出LL-型直觉模糊数间除法运算的结果。通过举例来说明基于极端积算子的除法不能保证直觉模糊数的形状不变性。其次基于直觉模糊数的截集提出了直觉模糊数之间距离测量并进行性质分析,利用距离将直觉模糊回归模型等价于整合回归分析,极端积算子的LL-型直觉模糊数间的运算,以及最小一乘估计的最小优化问题,考虑当直觉模糊数退化成模糊数时的模型。最后将模型应用到对称的三角直觉模糊数据和对称的模糊数据,利用三个拟合优度准则,与其他方法进行对比验证了该方法的适用性。 This paper uses the drastic product operator, combines with extension principle, division between LL-type intuitionistic fuzzy numbers is given by. An example is given to illustrate that the division based on drastic product operator cannot guarantee the shape invariance of intuitionistic fuzzy numbers. Secondly, based on the level set of intuitionistic fuzzy numbers, the distance measurements between intuitionistic fuzzy numbers are obtained and properties are discussed. The intuitionistic fuzzy regression model is explained as the equivalent minimum optimization problem integrating regression analysis, drastic product operator based arithmetic operations on LL-type intuitionistic fuzzy numbers and least absolutes estimates by distance view together to derive the intuitionistic fuzzy dependency relationship, and the model is considered when intuitionistic fuzzy numbers degenerates into fuzzy numbers. Finally, the model is applied to symmetric triangular intuitionistic fuzzy data and symmetric fuzzy data, and three goodness of fit criteria are used to verify the applicability of this method compared with other methods.
本文首先基于极端积算子,结合扩张原理,给出LL-型直觉模糊数间除法运算的结果。通过举例来说明基于极端积算子的除法不能保证直觉模糊数的形状不变性。其次基于直觉模糊数的截集提出了直觉模糊数之间距离测量并进行性质分析,利用距离将直觉模糊回归模型等价于整合回归分析,极端积算子的LL-型直觉模糊数间的运算,以及最小一乘估计的最小优化问题,考虑当直觉模糊数退化成模糊数时的模型。最后将模型应用到对称的三角直觉模糊数据和对称的模糊数据,利用三个拟合优度准则,与其他方法进行对比验证了该方法的适用性。
极端积算子,LL-型直觉模糊数,直觉模糊回归,水平截集距离
Liangfeng Chen, Qiujun Lu
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Mar. 15th, 2022; accepted: Apr. 15th, 2022; published: Apr. 21st, 2022
This paper uses the drastic product operator, combines with extension principle, division between LL-type intuitionistic fuzzy numbers is given by. An example is given to illustrate that the division based on drastic product operator cannot guarantee the shape invariance of intuitionistic fuzzy numbers. Secondly, based on the level set of intuitionistic fuzzy numbers, the distance measurements between intuitionistic fuzzy numbers are obtained and properties are discussed. The intuitionistic fuzzy regression model is explained as the equivalent minimum optimization problem integrating regression analysis, drastic product operator based arithmetic operations on LL-type intuitionistic fuzzy numbers and least absolutes estimates by distance view together to derive the intuitionistic fuzzy dependency relationship, and the model is considered when intuitionistic fuzzy numbers degenerates into fuzzy numbers. Finally, the model is applied to symmetric triangular intuitionistic fuzzy data and symmetric fuzzy data, and three goodness of fit criteria are used to verify the applicability of this method compared with other methods.
Keywords:Drastic Product Operator, LL-Type Intuitionistic Fuzzy Number, Intuitionistic Fuzzy Regression, Level Cut Distance
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
回归分析是用来评估一个响应变量和一组解释变量之间函数关系的一种数据分析工具,它被广泛的应用于通过对解释变量的观测来描述、控制和预测响应变量的值。在实际应用中,信息往往是不能被精确的测量,比如:性格稳定,波动平稳等具有模糊性的语言,经典的回归方法就有一定的局限性。
Zadeh [
最早的模糊环境下的回归分析研究是Tanaka等 [
根据输入、输出数据及系数的类型,模糊回归模型主要可分为以下几类,一是具有清晰输入、清晰输出和模糊系数(CICOFC)的模型,二是具有清晰输入、模糊输出和模糊系数(CIFOFC)的模型,三是具有模糊输入、模糊输出和清晰系数(FIFOCC)的模型,四是具有模糊输入、模糊输出和模糊系数(FIFOFC)的模型。Mogilenko等 [
直觉模糊集的特点为回归分析提供了比传统模糊回归更丰富的工具来把握模糊性。Parvathi等 [
通过以上的回顾可知关于基于极端积算子的直觉模糊回归模型还较少,本文首先为了更准确的将基于极端积算子推导的直觉模糊数之间的运算运用到直觉模糊回归模型中,给出LL-型直觉模糊数间除法的结果。其次提出两个基于水平截集的直觉模糊数之间的距离函数来表示对象之间的差异,并对其性质进行讨论。根据提出的新的距离建立了基于极端积算子,输入、输出、系数都是直觉模糊数的直觉模糊回归模型。并讨论了LL-型直觉模糊数退化成对称直觉模糊数,LL-型模糊数的情况。最后,利用三个拟合优度准则,与一些算例进行比较,验证了该方法具有较好的适用性和有效性。
本文其余的部分组织如下:第2节介绍了直觉模糊数的相关知识及给出了基于极端积算子的LL-型直觉模糊数间除法运算的算例;第3节根据直觉模糊集的距离给出了三个直觉模糊数间的距离公式并对其性质进行讨论;第4节根据提出的新距离建立了基于极端积算子的直觉模糊回归模型及其估计过程;第5节介绍了三种性能评价指标;第6节将提出的模型应用到直觉模糊数据集和模糊数据集上,并与其他模型进行比较;第7节是结论。
定义1 [
A = { 〈 x , μ A ( x ) , ν A ( x ) 〉 | x ∈ X } ,
其中 μ A : X → [ 0 , 1 ] 为A的隶属函数, ν A : X → [ 0 , 1 ] 为A的非隶属函数,且对 x ∈ X , 0 ≤ μ A ( x ) + ν A ( x ) ≤ 1 。X上的直觉模糊集的全体记为 I F S ( X ) 。
定义2 [
A α = { x | μ A ( x ) ≥ α , x ∈ X } , A β = { x | ν A ( x ) ≤ β , x ∈ X } ,
定义3 [
1) T ( a , b ) = T ( b , a ) ,
2) T ( T ( a , b ) , c ) = T ( a , T ( b , c ) ) ,
3) a ≤ c , b ≤ d ⇒ T ( a , b ) ≤ T ( c , d ) ,
4) T ( 1 , a ) = a 。
则称T为 [ 0 , 1 ] 上的T-模。
定义4 [
μ A ( x ) = { L ( a − x α A ) , a − α A < x < a , α A > 0 , 1 , x = a , R ( x − a β A ) , a < x < a + β A , β A > 0 , 0 , others ,
ν A ( x ) = { 1 − L ( a − x α ′ A ) , a − α ′ A < x < a , α ′ A > 0 , 0 , x = a , 1 − R ( x − a β ′ A ) , a < x < a + β ′ A , β ′ A > 0 , 1 , others .
其中 L ( 1 ) = R ( 1 ) = 0 , L , R ∈ L ,a是A的中心, α A 和 β A 是隶属函数的左右展形, α ′ A 和 β ′ A 是非隶属函数的左右展形。记为 A = ( a ; α A , β A ; α ′ A , β ′ A ) L R 。记所有直觉模糊数的全体构成的集合为IFN,所有LL-型直觉模糊数的集合记为 IFN L ,所有正的LL-型直觉模糊数的集合记为 IFN L + ,所有负的LL-型直觉模糊数的集合记为 IFN L − 。所有非负的LL-型直觉模糊数的集合记为 IFN L + * ,所有非正的LL-型直觉模糊数的集合记为 IFN L − * 。
注1 当 L = R , α A = β A , α ′ A = β ′ A 时,A退化成对称直觉模糊数,即 A = ( a ; α A ; α ′ A ) L 。当 L ( x ) = R ( x ) = max { 0 , 1 − | x | } , x ∈ [ 0 , 1 ] 时,直觉模糊数变成三角直觉模糊数记为 A = ( a ; α A , β A ; α ′ A , β ′ A ) T 。
定义5 [
A ⊛ T B = { 〈 z , sup x ∗ y = z { T ( μ A ( x ) , μ B ( y ) ) } , T x ∗ y = z { sup ( ν A ( x ) , ν B ( y ) ) } 〉 | z ∈ Z } ,
其中T为三角模。分别称 A ⊕ T B , A ⊖ T B , A ⊙ T B , A ⊘ T B 为A与B基于T-模的扩张加法、扩张减法、扩张乘法、扩张除法。 A ⊕ W B , A ⊖ W B , A ⊙ W B , A ⊘ W B 为A与B基于 T W 的扩张加法、扩张减法、扩张乘法、扩张除法。 A ⊕ M B , A ⊖ M B , A ⊙ M B , A ⊘ M B 为A与B基于 T M 的扩张加法、扩张减法、扩张乘法、
扩张除法。
接下来我们给出基于极端积算子的LL-型直觉模糊数间的加法、减法、乘法、数乘相关运算如下所示
设 A = ( a ; α A , β A ; α ′ A , β ′ A ) L L , B = ( a ; α B , β B ; α ′ B , β ′ B ) L L , k ∈ R ,则 [
1) A ⊕ W B = ( a + b ; max ( α A , α B ) , max ( β A , β B ) ; max ( α ′ A , α ′ B ) , max ( β ′ A , β ′ B ) ) L L ,
2) A ⊖ W B = ( a − b ; max ( α A , β B ) , max ( α B , β A ) ; max ( α ′ A , β ′ B ) , max ( β ′ A , α ′ B ) ) L L ,
3) A ⊙ W B = { ( a b ; max ( b α A , a α B ) , max ( b β A , a β B ) ; max ( b α ′ A , a α ′ B ) , max ( b β ′ A , a β ′ B ) ) L L , a ≥ 0 , b ≥ 0 , ( a b ; max ( − a β B , − b β A ) , max ( − a α B , − b α A ) ; max ( − a β ′ B , − b β ′ A ) , max ( − a α ′ B , − b α ′ A ) ) L L , a ≤ 0 , b ≤ 0 , ( a b ; max ( a α B , − b β A ) , max ( a β B , − b α A ) ; max ( a α ′ B , − b β ′ A ) , max ( a β ′ B , − b α ′ A ) ) L L , a > 0 , b < 0 , ( a b ; max ( b α A , − a β B ) , max ( b β A , − a α B ) ; max ( b α ′ A , − a β ′ B ) , max ( b β ′ A , − a α ′ B ) ) L L , a < 0 , b > 0.
关于直觉模糊数间的除法运算,在文献 [
μ A ⊘ W B ( z ) = { 4 z 3 − 1 , 3 4 < z ≤ 3 2 6 z − 3 , 3 2 < z < 2 0 , 其 他 ν A ⊘ W B ( z ) = { − z + 3 2 , 1 2 < z ≤ 4 3 2 z − 4 3 , 4 3 < z ≤ 3 2 − 3 z + 2 , 3 2 < z < 3 1 , 其 他
除法结果近似为三角直觉模糊数 A ⊘ W B = ( 3 2 ; 3 4 , 1 2 ; 1 , 3 2 ) T ,见图1(b)。
图1. 结果对比。(a) A ⊘ W B 的精确结果;(b) A ⊘ W B 的近似结果
在应用中,为了衡量两个直觉模糊数间的差异程度,我们通过水平集将其转化成区间与区间之间的差异,下面由直觉模糊集之间的距离度量 [
定义6 [
1) D ( A , B ) = 0 ⇔ A = B ,
2) D ( A , B ) = D ( B , A ) ,
3) D ( A , C ) ≤ D ( A , B ) + D ( B , C ) 。
假如A是直觉模糊数, A α k 和 A β k 可以被两个区间表示: A α k = [ A μ L ( α k ) , A μ U ( α k ) ] 和 A β k = [ A 1 − ν L ( 1 − β k ) , A 1 − ν U ( 1 − β k ) ] 。
对于 A , B ∈ I F N , α k = ( k − 1 ) / ( r − 1 ) , β k = 1 − α k , k = 1 , ⋯ , r ,r是A的截集个数,直觉模糊数之间的距离用截集表示如下
D 1 ( A , B ) = max 1 ≤ k ≤ r ( | A μ L ( α k ) − B μ L ( α k ) | , | A μ U ( α k ) − B μ U ( α k ) | , | A 1 − ν L ( α k ) − B 1 − ν L ( α k ) | , | A 1 − ν U ( α k ) − B 1 − ν U ( α k ) | ) .
D 2 ( A , B ) = 1 4 r ∑ k = 1 r ( | 2 ( A μ L ( α k ) − B μ L ( α k ) ) − ( A 1 − ν L ( α k ) − B 1 − ν L ( α k ) ) | + | 2 ( A μ U ( α k ) − B μ U ( α k ) ) − ( A 1 − ν U ( α k ) − B 1 − ν U ( α k ) ) | + | 2 ( A 1 − ν L ( α k ) − B 1 − ν L ( α k ) ) − ( A μ L ( α k ) − B μ L ( α k ) ) | + | 2 ( A 1 − ν U ( α k ) − B 1 − ν U ( α k ) ) − ( A μ U ( α k ) − B μ U ( α k ) ) | )
D 3 ( A , B ) = 1 6 r ∑ k = 1 r ( | A μ L ( α k ) − B μ L ( α k ) | + | A μ U ( α k ) − B μ U ( α k ) | + | A 1 − ν L ( α k ) − B 1 − ν L ( α k ) | + | A 1 − ν U ( α k ) − B 1 − ν U ( α k ) | + max ( | A μ L ( α k ) − B μ L ( α k ) | , | A 1 − ν L ( α k ) − B 1 − ν L ( α k ) | ) + max ( | A μ U ( α k ) − B μ U ( α k ) | , | A 1 − ν U ( α k ) − B 1 − ν U ( α k ) | ) )
由距离的定义可知,提出的距离满足以下性质
1) ( IFN , D 1 ) , ( IFN , D 2 ) , ( IFN , D 3 ) 是度量空间。
2) D 1 , D 2 , D 3 满足若 A ⊆ B ⊆ C ,则 max { D ( A , B ) , D ( B , C ) } ≤ D ( A , C ) 。
我们用提出的基于两个截集水平 α = 0 , 1 的距离应用到三种不同的情形中来说明这些距离可以合理地描述直觉模糊数之间的差异并且不涉及复杂的计算,结果见表1。情形1中, D ( A 2 , B ) 的距离比 D ( A 1 , B ) 的更小。在情形2中, B ⊆ A 1 ⊆ A 2 ,因为 A 1 和B更接近,所以 D ( A 1 , B ) 的距离比 D ( A 2 , B ) 的距离更小。在情形3中,直觉模糊数之间只有中心值的差异,用这三个距离求出的距离值也较好地说明了这种情况。
情形1 | A 1 = ( 5 ; 1 , 3 ; 4 , 7 ) T | A 2 = ( 4 ; 2 , 1 ; 3 , 2 ) T | B = ( 3 ; 1 , 2 ; 3 , 5 ) T |
---|---|---|---|
D 1 | D 2 | D 3 | |
D ( A 1 , B ) | 2.500 | 2.333 | 2.250 |
D ( A 2 , B ) | 1.250 | 1.000 | 1.625 |
情形2 | A 1 = ( 6 ; 2 , 3 ; 3 , 5 ) T | A 2 = ( 6 ; 4 , 5 ; 5 , 8 ) T | B = ( 6 ; 1 , 2 ; 2 , 4 ) T |
---|---|---|---|
D 1 | D 2 | D 3 | |
D ( A 1 , B ) | 0.500 | 0.500 | 0.500 |
D ( A 2 , B ) | 1.750 | 1.667 | 1.625 |
情形3 | A 1 = ( 3 ; 1 , 1 ; 1 , 1 ) T | A 2 = ( 9 ; 1 , 1 ; 1 , 1 ) T | B = ( 5 ; 1 , 1 ; 1 , 1 ) T |
D 1 | D 2 | D 3 | |
D ( A 1 , B ) | 2 | 2 | 2 |
D ( A 2 , B ) | 4 | 4 | 4 |
表1. 距离对比
用LL-型直觉模糊数建立的直觉模糊回归模型一般形式如下
Y i = A 0 ⊕ W ( B 1 ⊙ W X 1 i ) ⊕ W ⋯ ⊕ W ( B p ⊙ W X p i ) ,
其中, Y i = ( y i ; α Y i , β Y i ; α ′ Y i , β ′ Y i ) L L , i = 1 , ⋯ , n 是输出的预测值, X j i = ( x j i ; α x j i , β x j i ; α ′ x j i , β ′ x j i ) L L , j = 1 , ⋯ , p 是第j个自变量,n是数据量,p是自变量的个数, A 0 = ( a 0 ; α A 0 , β A 0 ; α ′ A 0 , β ′ A 0 ) L L , B j = ( b j ; α B j , β B j ; α ′ B j , β ′ B j ) L L
是LL-型直觉模糊系数。
为了估计模型的系数,通过使得估计的因变量和观测的因变量之间的距离最小,也就是
min ∑ i = 1 n D ( Y i , Y ^ i ) = ∑ i = 1 n D ( Y i , A 0 ⊕ W ( B ^ 1 ⊙ W X 1 i ) ⊕ W ⋯ ⊕ W ( B ^ p ⊙ W X p i ) ) ,
首先令 P = { j | b j > 0 , j = 1 , ⋯ , p } 和 N = { j | b j < 0 , j = 1 , ⋯ , p } ,于是得到直觉模糊输出估计 Y ^ i = ( y ^ ; α ^ Y i , β ^ Y i ; α ^ ′ Y i , β ^ ′ Y i ) L L 为
y ^ i = a ^ 0 + ∑ j = 1 p b ^ j x j i ,
α ^ Y i = max ( α ^ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ B j , b ^ j α X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i β ^ B j , b ^ j α X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ B j , − b ^ j β X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i β ^ B j , − b ^ j β X j i ) ) ,
β ^ Y i = max ( β ^ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i β ^ B j , b ^ j β X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i α ^ B j , b ^ j β X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i β ^ B j , − b ^ j α X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i α ^ B j , − b ^ j α X j i ) ) ,
α ^ ′ Y i = max ( α ^ ′ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ ′ B j , b ^ j α ′ X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i β ^ ′ B j , b ^ j α ′ X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ ′ B j , − b ^ j β ′ X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i β ^ ′ B j , − b ^ j β ′ X j i ) ) ,
β ^ ′ Y i = max ( β ^ ′ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i β ^ ′ B j , b ^ j β ′ X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i α ^ ′ B j , b ^ j β ′ X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i β ^ ′ B j , − b ^ j α ′ X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i α ^ ′ B j , − b ^ j α ′ X j i ) ) .
· 对称直觉模糊数
具有以下的形式 Y i = ( y i ; α Y i ; α ′ Y i ) L , X j i = ( x j i ; α X j i ; α ′ X j i ) L , A ^ 0 = ( a ^ 0 ; α ^ A 0 ; α ^ ′ A 0 ) L , B ^ j = ( b ^ j ; α ^ B j ; α ^ ′ B j ) L 。于是得到估计的对称直觉模糊输出 Y ^ i = ( y ^ i ; α ^ Y i ; α ^ ′ Y i ) L 为
y ^ i = a ^ 0 + ∑ j = 1 p b ^ j x j i ,
α ^ Y i = max ( α ^ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ B j , b ^ j α X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i α ^ B j , b ^ j α X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ B j , − b ^ j α X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i α ^ B j , − b ^ j α X j i ) ) ,
α ^ ′ Y i = max ( α ^ ′ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ ′ B j , b ^ j α ′ X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i α ^ ′ B j , b ^ j α ′ X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ ′ B j , − b ^ j α ′ X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i α ^ ′ B j , − b ^ j α ′ X j i ) ) .
· LL-型模糊数
具有以下的形式 Y i = ( y i , α Y i , β Y i ) L L , X j i = ( x j i , α X j i , β X j i ) L L , A ^ 0 = ( a ^ 0 , α ^ A 0 , β ^ A 0 ) L L 与 B ^ j = ( b ^ j , α ^ B j , β ^ B j ) L L ,则获得的估计的模糊输出 Y ^ i = ( y ^ i , α ^ Y i , β ^ Y i ) L L 如下
y ^ i = a ^ 0 + ∑ j = 1 p b ^ j x j i ,
α ^ Y i = max ( α ^ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ B j , b ^ j α X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i β ^ B j , b ^ j α X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i α ^ B j , − b ^ j β X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i β ^ B j , − b ^ j β X j i ) ) ,
β ^ Y i = max ( β ^ A 0 , max j ∈ P , x j i ≥ 0 ( x j i β ^ B j , b ^ j β X j i ) , max j ∈ P , x j i < 0 ( − x j i α ^ B j , b ^ j β X j i ) , max j ∈ N , x j i ≥ 0 ( x j i β ^ B j , − b ^ j α X j i ) , max j ∈ N , x j i < 0 ( − x j i α ^ B j , − b ^ j α X j i ) ) .
我们最小化 Y i 和 Y ^ i 之间的距离之和,即 min ∑ i = 1 n D ( Y i , Y ^ i ) ,结合距离的定义等价于下列式子
min ∑ i = 1 n D 1 ( Y i , Y ^ i ) = ∑ i = 1 n max 1 ≤ k ≤ r ( | Y i , μ L ( α k ) − Y ^ i , μ L ( α k ) | , | Y i , μ U ( α k ) − Y ^ i , μ U ( α k ) | , | Y i , 1 − ν L ( α k ) − Y ^ i , 1 − ν L ( α k ) | , | Y i , 1 − ν U ( α k ) − Y ^ i , 1 − ν U ( α k ) | ) ,
m i n ∑ i = 1 n D 3 ( Y i , Y ^ i ) = 1 6 r ∑ i = 1 n ∑ k = 1 r ( | Y i , μ L ( α k ) − Y ^ i , μ L ( α k ) | + | Y i , μ U ( α k ) − Y ^ i , μ U ( α k ) | + | Y i , 1 − ν L ( α k ) − Y ^ i , 1 − ν L ( α k ) | + | Y i , 1 − ν U ( α k ) − Y ^ i , 1 − ν U ( α k ) | + max ( | Y i , μ L ( α k ) − Y ^ i , μ L ( α k ) | , | Y i , 1 − ν L ( α k ) − Y ^ i , 1 − ν L ( α k ) | ) + max ( | Y i , μ U ( α k ) − Y ^ i , μ U ( α k ) | , | Y i , 1 − ν U ( α k ) − Y ^ i , 1 − ν U ( α k ) | ) ) .
为了简化上述优化问题,我们将其转化成标准的数学规划问题,对于绝对值表达 | Y i , μ L ( α k ) − Y ^ i , μ L ( α k ) | ,引入非负变量 ( d i k ) μ L + , ( d i k ) μ L − ,于是可转化成
| Y i , μ L ( α k ) − Y ^ i , μ L ( α k ) | = ( d i k ) μ L + + ( d i k ) μ L − , Y i , μ L ( α k ) − Y ^ i , μ L ( α k ) = ( d i k ) μ L + − ( d i k ) μ L − ,
这里 ( d i k ) μ L + = max { ( Y i ) μ L ( α k ) − ( Y ^ i ) μ L ( α k ) , 0 } , ( d i k ) μ L − = max { ( Y ^ i ) μ L ( α k ) − ( Y i ) μ L ( α k ) , 0 } 。类似地,引入 ( d i k ) μ U + , ( d i k ) μ U − , ( d i k ) 1 − ν L + , ( d i k ) 1 − ν L − , ( d i k ) 1 − ν U + , ( d i k ) 1 − ν U − 这些非负变量。于是模型转化为以下式子
∑ i = 1 n D 1 ( Y i , Y ^ i ) = ∑ i = 1 n max 1 ≤ k ≤ r ( ( d i k ) μ L + + ( d i k ) μ L − , ( d i k ) μ U + + ( d i k ) μ U − , ( d i k ) 1 − ν L + + ( d i k ) 1 − ν L − , ( d i k ) 1 − ν U + + ( d i k ) 1 − ν U − ) ,
∑ i = 1 n D 3 ( Y i , Y ^ i ) = 1 6 r ∑ i = 1 n ∑ k = 1 r ( ( d i k ) μ L + + ( d i k ) μ L − + ( d i k ) μ U + + ( d i k ) μ U − + ( d i k ) 1 − ν L + + ( d i k ) 1 − ν L − + ( d i k ) 1 − ν U + + ( d i k ) 1 − ν U − ) + max { ( d i k ) μ L + + ( d i k ) μ L − , ( d i k ) 1 − ν L + + ( d i k ) 1 − ν L − } + max { ( d i k ) μ U + + ( d i k ) μ U − , ( d i k ) 1 − ν U + + ( d i k ) 1 − ν U − } ,
在约束条件下
{ y i − y ^ i − ( 1 − α k ) ( α Y i − α Y ^ ) = ( d i k ) μ L + − ( d i k ) μ L − y i − y ^ i + ( 1 − α k ) ( β Y i − β Y ^ ) = ( d i k ) μ U + − ( d i k ) μ U − y i − y ^ i + ( 1 − α k ) ( β ′ Y i − β ′ Y ^ i ) = ( d i k ) 1 − ν U + − ( d i k ) 1 − ν U − y i − y ^ i − ( 1 − α k ) ( α ′ Y i − α ′ Y ^ i ) = ( d i k ) 1 − ν L + − ( d i k ) 1 − ν L − ( d i k ) 1 − ν L + , ( d i k ) 1 − ν L − , ( d i k ) μ L + , ( d i k ) μ L − , ( d i k ) μ U + , ( d i k ) μ U − , ( d i k ) 1 − ν U + , ( d i k ) 1 − ν U − ≥ 0 α A ^ 0 , β A ^ 0 , α ′ A ^ 0 , β ′ A ^ 0 , α B ^ j , β B ^ j , α ′ B ^ j , β ′ B ^ j ≥ 0 i = 1 , ⋯ , n ; j = 1 , ⋯ , p ; k = 1 , 2 , ⋯
同样的,以 D 2 为距离的模型被转化成如下规划问题
min ∑ i = 1 n D 2 ( Y i , Y ^ i ) = 1 4 r ∑ i = 1 n ∑ k = 1 r ( ( d i k ) μ , 1 − ν L + + ( d i k ) μ , 1 − ν L − + ( d i k ) μ , 1 − ν U + + ( d i k ) μ , 1 − ν U − + ( d i k ) 1 − ν , μ L + + ( d i k ) 1 − ν , μ L − + ( d i k ) 1 − ν , μ U + + ( d i k ) 1 − ν , μ U − ) ,
在约束条件下
{ y i − y ^ i − 2 ( 1 − α k ) ( α Y − α Y ^ i ) + ( 1 − α k ) ( α ′ Y i − α ′ Y ^ i ) = ( d i k ) μ , 1 − ν L + − ( d i k ) μ , 1 − ν L − y i − y ^ i − 2 ( 1 − α k ) ( α ′ Y i − α ′ Y ^ i ) + ( 1 − α k ) ( α Y i − α Y ^ i ) = ( d i k ) 1 − ν , μ L + − ( d i k ) 1 − ν , μ L − y i − y ^ i + 2 ( 1 − α k ) ( β Y i − β Y ^ i ) − ( 1 − α k ) ( β ′ Y i − β ′ Y ^ i ) = ( d i k ) μ , 1 − ν U + − ( d i k ) μ , 1 − ν U − y i − y ^ i + 2 ( 1 − α k ) ( β ′ Y i − β ′ Y ^ i ) − ( 1 − α k ) ( β Y i − β Y ^ i ) = ( d i k ) 1 − ν , μ U + − ( d i k ) 1 − ν , μ U − ( d i k ) μ , 1 − ν L + , ( d i k ) μ , 1 − ν L − , ( d i k ) μ , 1 − ν U + , ( d i k ) μ , 1 − ν U − , ( d i k ) 1 − ν , μ L + , ( d i k ) 1 − ν , μ L − , ( d i k ) 1 − ν , μ U + , ( d i k ) 1 − ν , μ U − ≥ 0 α A ^ 0 , β A ^ 0 , α ′ A ^ 0 , β ′ A ^ 0 , α B ^ j , β B ^ j , α ′ B ^ j , β ′ B ^ j ≥ 0 i = 1 , ⋯ , n ; k = 1 , 2 ; j = 1 , ⋯ , p
其中 ( d i k ) μ , 1 − ν L + , ( d i k ) μ , 1 − ν L − , ( d i k ) μ , 1 − ν U + , ( d i k ) μ , 1 − ν U − , ( d i k ) 1 − ν , μ L + , ( d i k ) 1 − ν , μ L − , ( d i k ) 1 − ν , μ U + , ( d i k ) 1 − ν , μ U − 为非负变量。
拟合结果的效果是回归分析中最关心的问题之一。在本节中,采用以下三种指标来评价直觉模糊模型的拟合效果。
1) 平均Kim & Bishu 测度(MKB)
K B = 1 2 ( ∫ − ∞ ∞ | μ Y ( y ) − μ Y ^ ( y ) | d y ∫ − ∞ ∞ μ Y ( y ) d y + ∫ − ∞ ∞ | ν Y ( y ) − ν Y ^ ( y ) | d y ∫ − ∞ ∞ ( 1 − ν Y ( y ) ) d y ) , M K B = 1 n ∑ i = 1 n K B ( Y i , Y ^ i ) .
2) 平均贴近测度(S)
设Y和 Y ^ 分别为直觉模糊输出的实际值和拟合值,则S测度定义如下:
S = 1 2 ( ∫ − ∞ ∞ min ( μ Y ( y ) , μ Y ^ ( y ) ) d y ∫ − ∞ ∞ max ( μ Y ( y ) , μ Y ^ ( y ) ) d y + ∫ − ∞ ∞ min ( ( 1 − ν Y ( y ) ) , ( 1 − ν Y ^ ( y ) ) ) d y ∫ − ∞ ∞ max ( ( 1 − ν Y ( y ) ) , ( 1 − ν Y ^ ( y ) ) ) d y ) , M S = 1 n ∑ i = 1 n S ( Y i , Y ^ i ) .
3) 平均贴近测度(SM)
S M = 1 − 1 2 ( ∫ − ∞ ∞ | μ Y ( y ) − μ Y ^ ( y ) | d y ∫ − ∞ ∞ μ Y ( y ) d y + ∫ − ∞ ∞ μ Y ^ ( y ) d y + ∫ − ∞ ∞ | ν Y ( y ) − ν Y ^ ( y ) | d y ∫ − ∞ ∞ ( 1 − ν Y ( y ) ) d y + ∫ − ∞ ∞ ( 1 − ν Y ^ ( y ) ) d y ) , M S M = 1 n ∑ i = 1 n S M ( Y i , Y ^ i ) .
在这里我们将提出的基于 D 2 , D 3 的模型应用到直觉模糊数据和模糊数据中来验证模型的可行性与有效性。
在这个算例中考虑文献 [
由表2可知,Arefifi等 [
MS | MKB | MSM | |
---|---|---|---|
Arefifi等 [ | 0.3333(5) | 1.7723(5) | 0.4748(4) |
Chen等 [ | 0.3801(4) | 1.1422(4) | 0.4735(5) |
Chen等 [ | 0.3975(3) | 1.1077(1) | 0.4878(1) |
本文方法(用 D 2 ) | 0.3990(2) | 1.1301(3) | 0.4862(3) |
本文方法(用 D 3 ) | 0.3992(1) | 1.1250(2) | 0.4863(2) |
表2. 不同模型对直觉模糊数据集的拟合效果
注:括号内为各个评价指标的优劣次序。
图2. 直觉模糊数据集上回归模型的拟合效果
该数据集由Sakawa等 [
这里将所有对比模型分为两类,一类是模型系数是精确的,另一类是模型系数是模糊的。对于模型系数是精确系数的情况,Diamond [
对于模型系数为模糊数的情况,在Sakawa等 [
本文提出的模型以 D 2 , D 3 作为目标函数,当直觉模糊数退化成模糊数时, D 2 , D 3 是相等的,由表3可以看出,本文提出的模型MKB值较低,对于MS和MSM分别处于第四,第五。从MSM指标来看,Sakawa等 [
算例 | 模糊回归模型 | 性能 | ||
---|---|---|---|---|
MKB | MS | MSM | ||
Diamond [ | Y ^ = ( 3.563 , 0.300 ) ⊕ M 0.521 ⊙ M X | 1.5483 | 0.1614 | 0.2409 |
Sakawa等 [ | Y ^ = ( 3.201 , 0.170 ) ⊕ M ( 0.579 , 0.081 ) ⊙ M X | 1.9070 | 0.2282 | 0.3583 |
Kao等 [ | Y ^ = 3.572 ⊕ M 0.519 ⊙ M X ⊕ M ( 0 , 0.240 ) | 1.5038 | 0.1499 | 0.2228 |
Yang等 [ | Y ^ = ( 3.497 , 0.292 ) ⊕ M ( 0.529 , 0.004 ) ⊙ M X | 1.5852 | 0.1571 | 0.1824 |
D'Urso等 [ | y ^ i = 3.5223 + 0.5189 x i + 0.0854 d i | 1.5659 | 0.1647 | 0.2449 |
e ^ i = 0.0121 y ^ i + 0.5346 | ||||
Nasrabadi等 [ | Y ^ = ( 3.577 , 0 ) ⊕ M ( 0.547 , 1 ) ⊙ M X | 1.4880 | 0.2025 | 0.2560 |
Chen等 [ | Y ^ = 1.981 ⊕ M 0.444 ⊙ M X ⊕ M ( 1.964 , 0.278 ) | 1.2474 | 0.3072 | 0.3510 |
Choi等 [ | Y ^ = 3.944 ⊕ M 0.444 ⊙ M X ⊕ M ( 0 , 0.278 ) | 1.2453 | 0.3099 | 0.3524 |
Chen等 [ | Y ^ = 0.519 ⊙ M X ⊕ M ( 3.572 , 0.300 ) | 1.5442 | 0.1625 | 0.2423 |
Kelkinnama等 [ | Y ^ = ( 3.724 , 0.448 ) ⊕ W ( 0.500 , 0.034 ) ⊙ W X | 1.4016 | 0.1627 | 0.2144 |
Chachi等 [ | Y ^ = 3.530 ⊕ M 0.525 ⊙ M X | 1.3286 | 0.0831 | 0.1288 |
Chen等 [ | Y ^ = ( 3.944 , 0.278 ) ⊕ F P C ( 0.444 , 0 ) ⊙ F P C X | 1.2452 | 0.3099 | 0.3521 |
本文方法 | Y ^ = ( 3.944 , 0.500 ) ⊕ W ( 0.444 , 0.040 ) ⊙ W X | 1.2278 | 0.2995 | 0.3366 |
表3. 不同模型对模糊数据集的拟合效果
本文讨论了直觉模糊多元回归方法,提出利用最小绝对偏差估计直觉模糊系数。在模型中,输入和输出以及系数都是LL-型直觉模糊数。基于极端积算子结合扩张原理推导了直觉模糊数间的除法,并通过举例说明基于极端积算子的除法并不能保持形状不变性。为了得到直觉模糊回归模型,提出了基于直觉模糊数的水平集的距离度量并应用到规划问题中,与其他模型进行对比说明本文模型的可行性与有效性。
很明显,我们不能断言所提出的模型总是优于其他模型。因此我们需要根据数据的特性和问题的具体要求,决定在提出的模型中应该使用什么距离度量。直觉模糊回归分析还需要进一步的后续研究,有必要建立具有更好解释能力的模型。此外,我们可以研究如何建立一个与人工智能相结合的直觉模糊回归系统,以处理非线性函数关系、随机不确定性或多重共线性的数据。我们希望这种直觉模糊回归模型能够成为分析带有随机性或模糊性的非线性依赖关系的有效工具。
陈良凤,陆秋君. 基于极端积算子的具有直觉模糊输入–直觉模糊输出的回归模型研究Research on Regression Model for Intuitionistic Fuzzy Input-Intuitionistic Fuzzy Output System Based on Drastic Product Operator[J]. 运筹与模糊学, 2022, 12(02): 141-156. https://doi.org/10.12677/ORF.2022.122014