本文提出了一种非局部两分量耦合复可积无色散方程。利用达布变换方法得到了零种子解和非零种子解两种情况下,非局部两分量耦合复可积无色散方程的孤子解。 In this paper, a nonlocal two-component complex coupled integrable dispersionless equation is proposed. The soliton solutions of nonlocal two-component coupled complex integrable dispersion-less equations are obtained by using darboux transformation method under two cases of zero seed solution and non-zero seed solution.
本文提出了一种非局部两分量耦合复可积无色散方程。利用达布变换方法得到了零种子解和非零种子解两种情况下,非局部两分量耦合复可积无色散方程的孤子解。
非局部两分量耦合复可积无色散方程,达布变换,孤子解
Chenchen Fu
University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Apr. 20th, 2022; accepted: May 15th, 2022; published: May 23rd, 2022
In this paper, a nonlocal two-component complex coupled integrable dispersionless equation is proposed. The soliton solutions of nonlocal two-component coupled complex integrable dispersionless equations are obtained by using darboux transformation method under two cases of zero seed solution and non-zero seed solution.
Keywords:The Nonlocal Two-Component Complex Coupled Integrable Dispersionless Equations, Darboux Transformation, Soliton Solutions
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
耦合可积无色散(CID)系统
q x t = ρ q , ρ t + q q x = 0 (1)
是由Konno和Oono提出的 [
q x t = ρ q , ρ t + ( | q | 2 ) x 2 = 0 (2)
等效于Pohlmeyer-Lund-Regge模型的规范。在 [
q x t = ρ q , p x t = ρ p , ρ t + ( p q ) x 2 = 0 (3)
在 p = q 和 p = q * 的特殊情况。一般CID系统在群里论点 [
q j , x t = ρ q j , j = 1 , 2 , ⋯ , n
ρ t + 1 2 ( ∑ j = 1 n ε j | q j | 2 ) x = 0 , (4)
可以转化成多分量的短脉冲方程。
关于两分量复的CID系统
q 1 , x t = ρ q 1 , q 2 , x t = ρ q 2
ρ t + 1 2 ( ε 1 | q 1 | 2 + ε 2 | q 2 | 2 ) x = 0 (5)
的研究,也有了一些新的孤子解。例如,在背景解消失时的多峰孤子波解,这种解是局域波解,其振幅在传播过程中呈现周期性变化,同时它的呼吸II-型解、共振解、半有理性确定性奇异波解也相应被求出。
近年来,非局部可积方程引起了人们的广泛关注。非局部CID系统的对称性得到了证明,同时逆时空非局部CID系统的保对称不稳定孤子解以及经典CID系统的稳定孤子解都已经被求出。文献 [
q 1 , x t = ρ q 1
q 2 , x t = ρ q 2
ρ t + 1 2 ( ε 1 q 1 q 1 * ( − x , − t ) + ε 2 q 2 q 2 * ( − x , − t ) ) x = 0 (6)
在第二节中,构造非局部两分量复CID系统的达布变换(DT),它是构造可积系统解的一种有效方法。在第三节中,利用1-次DT,得到了在非局部两分量复CID系统(6)中的孤子解。
在本节中,我们将构造非局部两分量复CID系统的达布变换(DT)。
令
R = ( q 1 q 2 − ε 2 q 2 * ( − x , − t ) ε 1 q 1 * ( − x , − t ) ) , Q = ( ε 1 q 1 * ( − x , − t ) − q 2 ε 2 q 2 * ( − x , − t ) q 1 ) (7)
I 2 是二阶单位矩阵(*表示复共轭)。方程(6)的Lax对表示为:
Φ x = U Φ , U = 1 λ ( − i ρ I 2 − R x Q x i ρ I 2 )
Φ t = V Φ , V = i λ 4 ( I 2 0 0 I 2 ) + i 2 ( 0 R Q 0 ) (8)
其中 λ 为光谱参数, Φ = Φ ( x , t ; λ ) = ( ϕ 1 , ⋯ , ϕ 4 ) T (T表示矩阵转置)。
如果 Φ ( x , t ; λ i ) 是 λ = λ i 处Lax对(8)的列向量特征函数,此时很容易验证
Ψ ( − x , − t ; λ i ) = ( ϕ 2 * ( − x , − t ; λ i ) − ε 1 ε 2 ϕ 1 * ( − x , − t ; λ i ) ε 1 ϕ 4 * ( − x , − t ; λ i ) − ε 2 ϕ 3 * ( − x , − t ; λ i ) ) 是 λ = − λ i * 的Lax对(8)的列向量特征函数。为了方便起见,我们用
Φ ( λ i ) , Ψ ( λ i ) , ϕ l ( λ i ) 分别表示 Φ ( x , t ; λ i ) , Ψ ( − x , − t ; λ i ) , ϕ l ( x , t ; λ i ) 。
方程Lax对(8)的伴随问题是
θ x = − θ U ( − λ ) = θ M [ U ( λ * ) ] † M
θ t = − θ V ( − λ ) = θ M [ V ( λ * ) ] † M (9)
其中 M = d i a g ( 1 , ε 1 ε 2 , − ε 1 , − ε 2 ) ,( † 表示矩阵的复共轭转置),同时能够证明 θ ( x , t ; λ i * ) = Φ ( λ i ) † M 是 λ = λ i * 时(9)的解。
根据构造Darboux变换(DT)的过程,我们得到了lax对的一阶Darboux变换
Φ [ 1 ] = T Φ = Φ − η W − 1 Ω ( η , Φ ) = ( I + η W − 1 η † M ) Φ (10)
其中
η = ( Φ ( λ 1 ) , Ψ ( λ 1 ) ) , W = Ω ( η 1 , η 1 ) , Ω ( η , Φ ) = Ω ( η 1 , Φ )
Ω ( η i , η j ) = ( Φ ( λ i ) † M Φ ( λ j ) λ i * − λ j Φ ( λ i ) † M Ψ ( λ j ) λ i * + λ j * Ψ ( λ i ) † M Φ ( λ j ) − λ i − λ j Ψ ( λ i ) † M Φ ( λ j ) − λ i + λ j * ) , Ω ( η i , Φ ) = ( Φ ( λ i ) † M Φ ( λ ) λ i * − λ Ψ ( λ i ) † M Φ ( λ ) − λ i − λ )
变换(10)是非局部两分量复CID系统及其Lax对(8)的Darboux变换,变换后的谱问题和时间演化方程为
Φ [ 1 ] x = U [ 1 ] Φ [ 1 ] , U [ 1 ] = 1 λ ( − i ρ [ 1 ] I 2 − R [ 1 ] x Q [ 1 ] x i ρ [ 1 ] I 2 )
Φ [ 1 ] t = V [ 1 ] Φ [ 1 ] , V [ 1 ] = i λ 4 ( I 2 0 0 − I 2 ) + i 2 ( 0 R [ 1 ] Q [ 1 ] 0 ) (11)
其中
( 0 R [ 1 ] Q [ 1 ] 0 ) = ( 0 R Q 0 ) + 1 2 [ η W − 1 η † M , ( I 2 0 0 I 2 ) ] (12)
( − i ρ [ 1 ] I 2 − R [ 1 ] x Q [ 1 ] x i ρ [ 1 ] I 2 ) = ( − i ρ I 2 − R x Q x i ρ I 2 ) + ( η W − 1 η † M ) x (13)
q 1 [ 1 ] , q 2 [ 1 ] , ρ [ 1 ] 和 q 1 , q 2 , ρ 之间的关系是
q 1 [ 1 ] = q 1 − ε 1 ( λ 1 * − λ 1 ) a 1 ϕ 1 ϕ 1 * ( − x , − t ) + ε 1 ε 2 ϕ 2 ϕ 2 * ( − x , − t ) − ε 1 ϕ 3 ϕ 3 * ( − x , − t ) − ε 2 ϕ 4 ϕ 4 * ( − x , − t )
q 2 [ 1 ] = q 2 − ε 2 ( λ 1 * − λ 1 ) a 2 ϕ 1 ϕ 1 * ( − x , − t ) + ε 1 ε 2 ϕ 2 ϕ 2 * ( − x , − t ) − ε 1 ϕ 3 ϕ 3 * ( − x , − t ) − ε 2 ϕ 4 ϕ 4 * ( − x , − t )
ρ [ 1 ] = ρ + i ( λ 1 * − λ 1 ) ( a 3 ϕ 1 ϕ 1 * ( − x , − t ) + ε 1 ε 2 ϕ 2 ϕ 2 * ( − x , − t ) − ε 1 ϕ 3 ϕ 3 * ( − x , − t ) − ε 2 ϕ 4 ϕ 4 * ( − x , − t ) ) x (14)
其中:
a 1 = − ε 2 ϕ 4 ϕ 2 * ( − x , − t ) − ϕ 1 ϕ 3 * ( − x , − t ) , a 2 = ε 1 ϕ 3 ϕ 2 * ( − x , − t ) − ϕ 1 ϕ 4 * ( − x , − t ) ,
a 3 = ϕ 1 ϕ 1 * ( − x , − t ) + ε 1 ε 2 ϕ 2 ϕ 2 * ( − x , − t ) 。
本节利用达布变换得到了不同条件下非局部两分量复CID系统的孤子解,并分析它们的渐进行为。
ϕ 1 = c 1 e w ¯ 1 , ϕ 2 = c 2 e w ¯ 1 , ϕ 3 = c 3 e − w ¯ 1 , ϕ 4 = c 4 e − w ¯ 1 (15)
其中: w ¯ 1 = − i ρ 0 λ 1 x + i λ 1 4 t , w ¯ 1 * = i ρ 0 λ 1 x − i λ 1 4 。
令 a 1 = − ε 2 c 4 c 2 * e w ¯ 1 * − w ¯ 1 − c 1 c 3 * e w ¯ 1 − w ¯ 1 * , a 2 = ε 1 c 3 c 2 * e w ¯ 1 * − w ¯ 1 − c 1 c 4 * e w ¯ 1 − w ¯ 1 * , a 3 = ( | c 1 | 2 + ε 1 ε 2 | c 2 | 2 ) e w ¯ 1 * + w ¯ 1 。
将其代入(14)可得出孤子解为:
q 1 [ 1 ] = 2 i λ 1 I ε 1 a 1 ( | c 1 | 2 + ε 1 ε 2 | c 2 | 2 ) e w ¯ 1 * + w ¯ 1 + ( ε 1 | c 3 | 2 + ε 2 | c 4 | 2 ) e − ( w ¯ 1 * + w ¯ 1 )
q 2 [ 1 ] = 2 i λ 1 I ε 2 a 2 ( | c 1 | 2 + ε 1 ε 2 | c 2 | 2 ) e w ¯ 1 * + w ¯ 1 + ( ε 1 | c 3 | 2 + ε 2 | c 4 | 2 ) e − ( w ¯ 1 * + w ¯ 1 )
ρ [ 1 ] = ρ 0 + 2 i λ 1 I ( a 3 ( | c 1 | 2 + ε 1 ε 2 | c 2 | 2 ) e w ¯ 1 * + w ¯ 1 + ( ε 1 | c 3 | 2 + ε 2 | c 4 | 2 ) e − ( w ¯ 1 * + w ¯ 1 ) ) x (16)
当 ( | c 1 | 2 + ε 1 ε 2 | c 2 | 2 ) ( ε 1 | c 3 | 2 + ε 2 | c 4 | 2 ) > 0 时这些解是非奇异的。当 c j 全不为0时,式(16)中的分量 q 1 和 q 2 都是沿 θ 1 R = 0 传播的局域波,具有周期性现象,可称为多峰孤子波。
容易验证非局部的两分量CID系统有平面波解 ρ = ρ 0 、 q 1 = r 1 e ( k 1 x − w 1 t ) 、 q 2 = r 2 e ( k 2 x − w 2 t ) ,其中 ρ 0 = − k i w i , r 1 , r 2 , ρ 0 都是常数,在这个种子解下,为了求解线性微分方程(1.7),对 Φ 作变换
Φ ˜ = Q Φ
Q = d i a g ( 1 , e ( k 1 x − w 1 t ) + ( k 1 x − w 1 t ) , e ( k 1 x − w 1 t ) , e ( k 2 x − w 2 t ) ) (17)
则 Φ ˜ 满足,如下常系数的微分方程
Φ ˜ x = U ˜ Φ ˜
Φ ˜ t = V ˜ Φ ˜ (18)
其中
U ˜ = 1 λ ( − i ρ 0 0 − k 1 r 1 − k 2 r 2 0 − i ρ 0 + λ ( k 1 + k 2 ) k 2 r 2 ε 2 − k 1 r 1 ε 1 k 1 r 1 ε 1 − k 2 r 2 i ρ 0 + λ k 1 0 k 2 r 2 ε 2 k 1 r 1 0 i ρ 0 + λ k 2 )
V ˜ = ( i λ 4 0 i r 1 2 i r 2 2 0 i λ 4 − w 1 − w 2 − i 2 r 2 ε 2 i 2 r 1 ε 1 i 2 r 1 ε 1 − i r 2 2 i λ 4 − w 1 0 i 2 r 2 ε 2 i r 1 2 0 i λ 4 − w 2 )
矩阵 V ˜ 的特征方程是
D e t [ τ I 4 − V ˜ ] = 0 (19)
其中四个特征根是 τ j , j = 1 , 2 , 3 , 4 。
当 k 1 = k 2 , w 1 = w 2 时,则特征方程(21)为
b 1 b 2 256 = 0 (20)
其中
b 1 = ( λ 1 + 4 i τ ) ( λ 1 − 4 i τ − 4 i w ) + 4 ( r 1 2 ε 1 + r 2 2 ε 2 )
b 2 = ( λ 1 + 4 i τ + 8 i w 1 ) ( λ 1 − 4 i τ − 4 i w ) + 4 ( r 1 2 ε 1 + r 2 2 ε 2 ) (21)
当 b 1 = 0 时我们能得出方程的特征根是 τ j = − 2 w 1 ± ( 2 w 1 + i λ 1 ) 2 − 4 ( r 1 2 ε 1 + r 2 2 ε 2 ) 4 , j = 1 , 2 它对应的特征向量是 v j = ( 1 0 2 r 1 ε 1 λ 1 − 4 i τ j − 4 i w 1 2 r 2 ε 2 λ 1 − 4 i τ j − 4 i w 1 ) T 。当 b 2 = 0 时我们能得出方程的特征根是
τ l = − 6 w 1 ± ( 2 w 1 − i λ 1 ) 2 − 4 ( r 1 2 ε 1 + r 2 2 ε 2 ) 4 , l = 3 , 4 ,它对应的特征向量是
v j = ( 0 1 − 2 r 2 λ 1 − 4 i τ j − 4 i w 1 2 r 1 λ 1 − 4 i τ j − 4 i w 1 ) T 。
令 ν = ( v 1 v 2 v 3 v 4 ) ,则可以得出 λ 1 对应的线性问题(8)的通解是
Φ ( λ 1 ) = Q − 1 ν C (22)
其中:
C = ( c 1 e θ 1 c 2 e θ 2 c 3 e θ 3 c 4 e θ 4 ) T , θ j = m j x + τ j t , m k = λ 1 k 1 − 2 i ( ρ 0 − 2 i τ k ) 2 λ 1 , k = 1 , 2
m l = 3 λ 1 k 1 − 2 i ( 4 k w + ρ 0 + 2 k τ k ) 2 λ 1 , l = 3 , 4
则可以的得出特征函数是
Φ = ( c 1 e θ 1 + c 2 e θ 2 e − 2 x k 1 + 2 t w 1 ( c 3 e θ 3 + c 4 e θ 4 ) c 1 e θ 1 r 1 ε 1 l 1 + c 2 e θ 2 r 1 ε 1 l 2 + r 2 ( − c 3 e θ 3 l 3 − c 4 e θ 4 l 4 ) c 1 e θ 1 r 2 ε 2 l 1 + c 2 e θ 2 r 2 ε 2 l 2 + r 1 ( − c 3 e θ 3 l 3 − c 4 e θ 4 l 4 ) ) (23)
其中 l j = λ − 4 i w 1 − 4 i τ j , j = 1 , 2 , 3 , 4 。
将其代入(14)可得出孤子解为
p [ 1 ] = e k 1 x − t w 1 − − ε 1 ε 2 ϕ 4 g ¯ 2 − ε 1 ϕ 1 g ¯ 3 d
q [ 1 ] = e k 1 x − t w 1 − ε 1 ε 2 ϕ 3 g ¯ 2 − ε 1 ϕ 1 g ¯ 4 d
ρ [ 1 ] = ρ 0 + I ( ε 1 ε 2 ϕ 2 g ¯ 2 + ϕ 1 g ¯ 1 d ) x (24)
其中 d = − ( ε 1 ε 2 ϕ 2 g ¯ 2 + ϕ 1 g ¯ 1 + ε 1 ϕ 3 g ¯ 3 + ε 2 ϕ 4 g ¯ 4 ) / 2 i λ I 。当 d ≠ 0 时这些解是非奇异的。当 c j 不全为0时,式(24)中的分量 q 1 和 q 2 也都是孤子波。
本文研究的是非局部两分量复CID系统。我们给出了该方程的Lax对,并构造了其达布变换,利用Darboux的方法考虑零和非零种子解两种情况,得出非局部两分量复CID方程的孤子解。
付晨晨. 非局部两分量耦合复可积无色散方程的孤子解Soliton Solutions of Nonlocal Two-Component Coupled Complex Integrable Dispersionless Equations[J]. 应用数学进展, 2022, 11(05): 2703-2710. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.115286