本文主要研究复矩阵的复对称问题。通过将2 × 2复矩阵转化为上三角矩阵,研究上三角矩阵的共轭算子,再根据原复矩阵酉等价于上三角矩阵以及它的每一个位置去构造共轭算子,使得这个复矩阵关于此共轭算子是复对称的,进而证明出任意2 × 2复矩阵都是复对称的。 In this paper, complex symmetry of complex matrices is studied. By transforming 2 × 2 complex matrix into upper triangular matrix, the conjugate operator of the upper triangular matrix is stud-ied, and then the conjugate operator is constructed according to the unitary equivalent of the origi-nal complex matrix to the upper triangular matrix and every position of it, so that the complex ma-trix is complex symmetric with respect to the conjugate operator, and then it is proved that any 2 × 2 complex matrix is complex symmetric.
本文主要研究复矩阵的复对称问题。通过将2 × 2复矩阵转化为上三角矩阵,研究上三角矩阵的共轭算子,再根据原复矩阵酉等价于上三角矩阵以及它的每一个位置去构造共轭算子,使得这个复矩阵关于此共轭算子是复对称的,进而证明出任意2 × 2复矩阵都是复对称的。
复矩阵,共轭算子,复对称算子
Siyi Jia, Sitong Liu*, Ran Li
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
Received: Apr. 25th, 2022; accepted: May 19th, 2022; published: May 27th, 2022
In this paper, complex symmetry of complex matrices is studied. By transforming 2 × 2 complex matrix into upper triangular matrix, the conjugate operator of the upper triangular matrix is studied, and then the conjugate operator is constructed according to the unitary equivalent of the original complex matrix to the upper triangular matrix and every position of it, so that the complex matrix is complex symmetric with respect to the conjugate operator, and then it is proved that any 2 × 2 complex matrix is complex symmetric.
Keywords:Complex Matrix, Conjugate Operator, Complex Symmetric Operator
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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矩阵理论和积分方程的研究推动了线性算子理论的发展。算子理论中的许多重要思想和概念都在矩阵分析中有它的“影子”或参照物。比如Hilbert空间上自伴算子的概念就源于实对称矩阵的概念。再比如Toeplitz算子就源于有限维矩阵中斜对角线元素均相同的矩阵。2006年,Garcia和Putinar [
对于任意的Hilbert空间H, B ( H ) 表示H上的所有有界线性算子。H上的共轭算子一般记为C,满足
1) 共轭线性,即 C ( λ f ) = λ ¯ c f , ∀ f ∈ H , λ ∈ ℂ 。
2) 对和运算,即 C 2 = I 。
3) 反等距,即 〈 C f , C g 〉 = 〈 g , f 〉 , ∀ f , g ∈ H 。
若对 ∀ T ∈ B ( H ) ,存在共轭算子C,使得 C T C = T * ,则T叫做C-对称算子。所有的C-对称算子称为复对称算子。
到目前为止,关于复对称算子的结构理论已经得到了许多让人印象深刻的结果,甚至在量子力学当中也有非常深刻的应用。例如计算或估计复对称算子的范数有助于对量子力学系统中薛丁格算子的研究。而计算复对称算子的范数就要依赖于复对称算子的豫解集。2008年,Tener [
复对称算子提出的十几年来,随着越来越多的研究者对复对称算子算子本身及复对称算子在实际中应用等研究的深入,人们不再单纯地研究复对称算子本身性质,而是衍生出很多与复对称算子相关的课题,例如:与复对称算子具有结构相似的算子的研究。近来,复对称算子与其他特殊算子结合的相关研究也吸引了学者们的注意,H. Caleb,M. C. Thaddeus,T. Derek在文章 [
本文为了研究复矩阵的复对称问题,首先根据引理1将问题简化,即将2 × 2复矩阵转化为上三角矩阵,进一步探讨两种特定形式矩阵的共轭算子。而对于上三角矩阵,我们可以根据引理2,3将其进一步简化,得到了两种情况下的共轭算子。最后,由原复矩阵酉等价于上三角矩阵,得到2 × 2复矩阵的两种复对称算子。
引理1 [
引理2:形如
( 1 α 0 0 )
的矩阵是C-对称的,其中
C ( z 1 z 2 ) = ( e 2 i θ 1 + r 2 r ⋅ e i θ 1 + r 2 r ⋅ e i θ 1 + r 2 − 1 1 + r 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) , (1)
α = r ⋅ e i θ ∈ ℂ , r ∈ ℝ 表示 α 的模, θ 表示 α 的幅角。
证明:设
D = ( 1 α 0 0 ) ,
对于矩阵D,令 U = ( e − i θ 0 0 1 ) ,使得 U D U * = G ,其中
G = ( 1 r 0 0 ) .
因此形如 ( 1 α 0 0 ) 的复矩阵都酉等价于实矩阵 ( 1 | α | 0 0 ) 。
令
C 0 ( z 1 z 2 ) = ( 1 1 + r 2 r 1 + r 2 r 1 + r 2 − 1 1 + r 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) , (2)
显然 C 0 是共轭算子。
因此
C 0 G C 0 ( z 1 z 2 ) = C 0 G ( 1 1 + r 2 r 1 + r 2 r 1 + r 2 − 1 1 + r 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) = C 0 ( 1 + r 2 0 0 0 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) = ( 1 r 0 0 ) ( z 1 z 2 ) = ( z 1 + r z 2 0 ) = G * ( z 1 z 2 ) .
即 C 0 G C 0 = G * 。从而G是C0-对称的。
令
C ( z 1 z 2 ) = U * C 0 U ( z 1 z 2 ) = ( e 2 i θ 1 + r 2 r ⋅ e i θ 1 + r 2 r ⋅ e i θ 1 + r 2 − 1 1 + r 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ )
则 C D C = D * ,则D是C-对称的。
证毕。
引理3:形如
( 0 β 0 0 )
的矩阵是C-对称的,其中 β ∈ ℂ ,
C ( z 1 z 2 ) = ( 0 1 1 0 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) . (3)
证明:令
D = ( 0 β 0 0 )
对于矩阵D,令
C ( z 1 z 2 ) = ( 0 1 1 0 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
显然C是共轭算子。
因此
C D C ( z 1 z 2 ) = C D ( 0 1 1 0 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) = C ( 0 β 0 0 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) = ( 0 1 1 0 ) ( β z 1 ¯ 0 ) = ( 0 β z 1 ¯ ) = D * ( z 1 z 2 ) ,
即 C D C = D * ,从而D是C对称的。
证毕。
有了引理1至引理3,下面我们给出本文重要定理。
定理4:对于2 × 2复矩阵 A = ( a b c d ) ,令 m = a − d + ( a − d ) 2 + 4 b c 2 c 。
1) 当 ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) ≠ 0 时,A是C1-对称的,其中
C 1 ( z 1 z 2 ) = ( m 2 e 2 i θ − 2 m r e i θ − 1 ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 m e 2 i θ + m ¯ + ( | m | 2 − 1 ) r e i θ ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 m e 2 i θ + m ¯ + ( | m | 2 − 1 ) r e i θ ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 2 m ¯ r e i θ − m ¯ 2 + e 2 i θ ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) . (4)
2) 当 ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) = 0 时,A是C2-对称的,其中
C 2 ( z 1 z 2 ) = ( 2 m ¯ | m | 2 + 1 | m | 2 − 1 | m | 2 + 1 | m | 2 − 1 | m | 2 + 1 − 2 m | m | 2 + 1 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) . (5)
证明:由引理1,可将复矩阵A酉等价为上三角矩阵B。由参考文献 [
U = ( m | m | 2 + 1 − 1 | m | 2 + 1 1 | m | 2 + 1 m ¯ | m | 2 + 1 ) , (6)
使得
U * A U = ( | m | 2 a + m c + m ¯ b + d | m | 2 + 1 − m ¯ a − c + ( m ¯ ) 2 b + m ¯ d | m | 2 + 1 0 a − c m − b m ¯ + d | m | 2 | m | 2 + 1 ) = B . (7)
对于矩阵B,将矩阵B分解
B = ( ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) | m | 2 + 1 − m ¯ a − c + ( m ¯ ) 2 b + m ¯ d | m | 2 + 1 0 0 ) + ( a − c m − b m ¯ + d | m | 2 | m | 2 + 1 0 0 a − c m − b m ¯ + d | m | 2 | m | 2 + 1 ) ,
令
D = ( ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) | m | 2 + 1 − m ¯ a − c + ( m ¯ ) 2 b + m ¯ d | m | 2 + 1 0 0 ) = { ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) | m | 2 + 1 D 1 , ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) ≠ 0 D 2 , ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) = 0
其中
D 1 = ( 1 − m ¯ a − c + ( m ¯ ) 2 b + m ¯ d ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) 0 0 ) ,
D 2 = ( 0 − m ¯ a − c + ( m ¯ ) 2 b + m ¯ d | m | 2 + 1 0 0 ) .
则
B = D + a − c m − b m ¯ + d | m | 2 | m | 2 + 1 I , (8)
当 ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) ≠ 0 时,由引理2有, D 1 是 C ′ -对称的,其中
C ′ ( z 1 z 2 ) = ( e 2 i θ 1 + r 2 r ⋅ e i θ 1 + r 2 r ⋅ e i θ 1 + r 2 − 1 1 + r 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
因此B也是 C ′ -对称的。故A是 U C ′ U * -对称的。令 C 1 = U C ′ U * ,则
C 1 ( z 1 z 2 ) = U C ′ U * ( z 1 z 2 ) = ( m 2 e 2 i θ − 2 m r e i θ − 1 ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 m e 2 i θ + m ¯ + ( | m | 2 − 1 ) r e i θ ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 m e 2 i θ + m ¯ + ( | m | 2 − 1 ) r e i θ ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 2 m ¯ r e i θ − m ¯ 2 + e 2 i θ ( | m | 2 + 1 ) 1 + a 2 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
因此A是C1-对称的。
当 ( a − d ) | m | 2 + 2 c m + 2 b m ¯ − ( a − d ) ≠ 0 时,由引理3, D 2 是 C ″ -对称的,其中
C ″ ( z 1 z 2 ) = ( 0 1 1 0 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
因此B也是 C ″ -对称的。故A是 U C ″ U * 对称的。令 C 2 = U C ″ U * ,则有
C 2 ( z 1 z 2 ) = U C ″ U * ( z 1 z 2 ) = ( 2 m ¯ | m | 2 + 1 | m | 2 − 1 | m | 2 + 1 | m | 2 − 1 | m | 2 + 1 − 2 m | m | 2 + 1 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
因此A是C2-对称的。
证毕。
例5:矩阵 A = ( 1 2 i 3 i 4 ) 为C-对称矩阵,其中
C ( z 1 z 2 ) = ( 3 3 5 5 ⋅ − 15 + 5 15 i 12 3 3 5 5 ⋅ 5 15 + 15 i 36 3 3 5 5 ⋅ 5 15 + 15 i 36 3 3 5 5 ⋅ − 15 + 5 15 i 12 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
证明:由矩阵A可以计算出
m = a − d + ( a − d ) 2 + 4 b c 2 c = 3 i + 15 6 .
因为 ( 1 − 4 ) × | 3 i + 15 6 | 2 + 2 × 3 i × 3 i + 15 6 + 2 × 2 i × 15 − 3 i 6 − ( 1 − 4 ) = 5 3 15 i ≠ 0 ,所以由定理4(1),矩阵
A是C-对称的,其中
C ( z 1 z 2 ) = ( 3 3 5 5 ⋅ − 15 + 5 15 i 12 3 3 5 5 ⋅ 5 15 + 15 i 36 3 3 5 5 ⋅ 5 15 + 15 i 36 3 3 5 5 ⋅ − 15 + 5 15 i 12 ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
例6:矩阵 B = ( 2 i i 0 ) 为C-对称矩阵,其中
C ( z 1 z 2 ) = ( i 0 0 i ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
证明:由矩阵B可以计算出
m = a − d + ( a − d ) 2 + 4 b c 2 c = − i .
因为 ( 2 − 0 ) × | − i | 2 + 2 × i × ( − i ) + 2 × i × i − ( 2 − 0 ) = 0 ,所以由定理4(2),矩阵B是C-对称的,其中
C ( z 1 z 2 ) = ( i 0 0 i ) ( z 1 ¯ z 2 ¯ ) .
本文以2 × 2复矩阵为例,研究了复矩阵的复对称性。利用3条引理可以将其化成上三角矩阵,得到了两种情况下的共轭算子,然后根据原复矩阵与上三角矩阵的酉等价关系,得到2 × 2复矩阵的两种复对称算子,从而证明了任意2 × 2复矩阵都是复对称的。最后,给出了两个仿真例子说明了本文方法的有效性。
感谢老师在本次论文完成过程中对我们的悉心帮助,从选题到细节修改都离不开老师的付出。在本次研究过程中,增强了我们的逻辑思维能力并且激发了我们对数学本质的思考。本篇论文的完成离不开团队成员的合作,今后的学习过程中我们会以科学严谨的态度对待每一个数学问题。
辽宁省教育厅青年项目LQ2019017。
贾思怡,刘思彤,李 然. 复矩阵的复对称性Complex Symmetries of Complex Matrices[J]. 应用数学进展, 2022, 11(05): 2919-2926. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.115310