为了描述投资组合问题的动态变化性,本文提出了一类含参数均值–方差投资组合模型。与类似模型相比,该模型具有以下特点:均值与协方差是时间的函数;考虑了噪声与计算误差等因素的影响;资源不允许卖空,即其要求决策变量非负。针对该模型,本文给出了一类抗噪声在线求解算法。理论分析表明,对于各类噪声,该在线算法生成的误差是有界的,并且该上界随时间的增长快速趋于零。最后,初步的仿真实验验证了所设计算法的有效性。 In order to describe the dynamic change of investment portfolio problem, this paper proposes a kind of portfolio model with parameter mean-variance. Compared with similar models, this model has the following characteristics: The mean and covariance contain a time parameter; the influence of noise and calculation error is considered; short selling of resources is not allowed, that is, it requires non-negative decision variables. For this model, a class of anti-noise online algorithm is presented in this paper. Theoretical analysis shows that the error generated by the online algorithm is bounded for all kinds of noises, and the upper bound quickly approaches zero with the increase of time. Finally, a preliminary simulation experiment verifies the effectiveness of the proposed algorithm.
为了描述投资组合问题的动态变化性,本文提出了一类含参数均值–方差投资组合模型。与类似模型相比,该模型具有以下特点:均值与协方差是时间的函数;考虑了噪声与计算误差等因素的影响;资源不允许卖空,即其要求决策变量非负。针对该模型,本文给出了一类抗噪声在线求解算法。理论分析表明,对于各类噪声,该在线算法生成的误差是有界的,并且该上界随时间的增长快速趋于零。最后,初步的仿真实验验证了所设计算法的有效性。
含参数均值–方差投资组合模型,不允许卖空,在线算法
Min Sun1, Dasheng Sun2, Jing Ge1
1School of Mathematics and Statistics, Zaozhuang University, Zaozhuang Shandong
2Zaozhuang No. 46 Middle School, Zaozhuang Shandong
Received: Jul. 18th, 2022; accepted: Jul. 29th, 2022; published: Aug. 10th, 2022
In order to describe the dynamic change of investment portfolio problem, this paper proposes a kind of portfolio model with parameter mean-variance. Compared with similar models, this model has the following characteristics: The mean and covariance contain a time parameter; the influence of noise and calculation error is considered; short selling of resources is not allowed, that is, it requires non-negative decision variables. For this model, a class of anti-noise online algorithm is presented in this paper. Theoretical analysis shows that the error generated by the online algorithm is bounded for all kinds of noises, and the upper bound quickly approaches zero with the increase of time. Finally, a preliminary simulation experiment verifies the effectiveness of the proposed algorithm.
Keywords:Mean-Variance Investment Portfolio Model with Parameter, No Short Sale, Online Algorithm
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
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均值–方差投资组合模型是由马科维茨在1952年提出的风险度量模型。该模型将收益率的方差作为风险的度量,并以极小化风险为目标,使收益与风险的多目标优化达到最佳的平衡效果,其所蕴含的风险分散化思想是现代投资理论的基础 [
自经典的均值–方差投资组合模型被提出以来,国内外学者对其进行了深入的研究。这些研究主要集中在两个方向:1) 对均值–方差模型计算方法的研究;2) 对均值–方差模型进行改进。对方向(1)的研究主要集中在数值迭代方法的研究上。由于经典的均值–方差模型是一个二次规划,并且目标函数的Hessian矩阵是半正定的,因此属于凸优化的范畴。一些经典求解二次规划的优化方法,比如零空间方法、拉格朗日方法、有效集方法等,可以用来求解均值–方差模型;同时也有很多的优化求解器,比如CVX、AMPL等,可以有效求解大规模的均值–方差模型。除此之外,学者们还将一些智能优化算法应用到该问题的求解中,比如基于粒子群优化算法,卢小丽等 [
通过引入一些新的测度来度量风险与收益,学者们提出了经典的均值–方差模型的变形。比如,针对分散高阶矩风险及涨跌不对称性对投资组合的影响,欧攀等 [
马科维茨建立的资产优化配置的均值–方差模型属于静态规划,该模型中目标函数的系数与约束的系数,即协方差
设有n种资产可供选择,其收益率记为
表示时间参数,协方差矩阵为
产的比例为
方差为
其中
注1.1:含参数均值–方差投资组合模型(1)比 [
问题(1)的KKT条件是
其中
考虑Fischer价值函数
定理1.1 (1) 对于任意的
(2) 当
注意(2)式的前三个式子构成了一个含参数线性互补问题。类似于 [
其中
这样处理后方程的个数也变成了
令
则
其中
在设计求解含参数系统的在线算法过程中,动态方程是最关键的环节之一。为了求解含参数系统,Zhang等 [
其中
本文,为了得到抗干扰性更强的快速算法,考虑如下指数型动态方程 [
其中
其中
本节利用动态方程(9),给出求解含参数均值–方差投资组合模型(1)的在线算法。
考虑时间参数t,将(4)定义的
其中
下面称
定理2.1假设
如果存在
如果任意
证明 (1) 由
其中
(2) 由于任意
结合链式法则得
显然
因为
下面考虑噪声环境下的含参数均值–方差投资组合模型,将噪声、误差等因素的干扰统一成一个含参数的加性噪声
令
假设加性噪声考虑噪声水平满足
定理2.2假设
(1) 如果存在
(2) 如果任意
证明 (1)的证明与定理2.1的(1)的证明是一样的。
(2) 此时抗噪声在线算法(12)可改写成
整理得
其中
对每个
令
(i) 如果
(ii) 如果
(iii) 如果
综上可得,对于任意的
本节给出三组实验,分别说明本文设计的两种在线算法,分别记为OLM(10)与OLM(12),可以有效求解无参数均值–方差投资组合模型、含参数均值–方差投资组合模型以及噪声环境下均值–方差投资组合模型,并与经典的求解含参数问题的在线算法,即Zhang神经网络(ZNN),进行数值对比。两种在线算法中的参数
问题4.1 [
试为之构造风险最小的资产组合,使预期收益率
图1. ZNN与OLM(10)求解问题4.1的仿真结果
由图1可以看出,两种方法都比较快的求出了问题4.1的较高精度近似解,ZNN在10秒时的精度达到了10−2,而OLM(10)在2秒左右时达到了这一精度;在最终时刻,即10秒时,OLM(10)的精度分别达到了10−8。由图1可以看出,在整个计算过程中,OLM(10)的数值表现几乎一直优于ZNN。这说明了我们推导的均值–方差投资组合模型的等价形式,即(3)式,是合理的。同时说明我们设计的OLM(10)是有效的。
问题4.2 [
同时假设协方差矩阵为
预期收益率
图2. ZNN与OLM(10)求解问题4.2的仿真结果
由图2的仿真结果可以看出,OLM(10)的表现明显优于ZNN。以
问题43:考虑问题4.2中三种资产的收益率均值与协方差矩阵,并假设周期噪声
图3. ZNN与OLM(12)求解问题4.3的仿真结果
由图3可看出,OLM(12)有一定的抗干扰能力,其最终的精度达到了10−2,而ZNN最终的精度是10−1。
本文针对不允许卖空的投资组合问题,提出了一类含参数均值–方差投资组合模型,该模型可以更细致地描述动态投资组合问题,同时考虑了噪声对模型的影响。设计了一类抗噪声在线求解算法。理论与实验结果都表明了在线算法的有效性。
基于本文提出的在线算法,我们将继续研究含参数均值–方差投资组合模型的求解方法,包括:设计具有有限时间终止的在线算法;设计抗噪声迭代算法;高精度迭代算法等。
感谢审稿人提出的宝贵意见。
国家级大学生创新创业训练计划项目(S202110904009)、枣庄学院教学改革重点项目(XJG21019)。
孙 敏,孙达生,葛 静. 不允许卖空的含参数均值–方差投资组合模型Parameterized Mean-Variance Investment Portfolio Model with No Short Sale[J]. 统计学与应用, 2022, 11(04): 792-800. https://doi.org/10.12677/SA.2022.114083