本文研究一维非线性Allen-Cahn方程的保结构Du Fort-Frankel差分法。该格式是显式的且无条件能量稳定。所得的数值解满足离散最大化原则。运用离散最大化原则得到该格式在L 2范数下有O()的收敛阶。最后,数值算例验证了理论结果。 In this paper, we consider the structure preserving Du Fort-Frankel difference schemes for one dimensional nonlinear Allen-Cahn equation. The scheme is explicit and unconditionally energy stable. The numerical solution satisfies the principle of discrete maximum. The convergence order of the scheme is O() under L 2 norm. Finally, numerical examples verify the theoretical results.
本文研究一维非线性Allen-Cahn方程的保结构Du Fort-Frankel差分法。该格式是显式的且无条件能量稳定。所得的数值解满足离散最大化原则。运用离散最大化原则得到该格式在 L 2 范数下有 Ο ( τ 2 + h 2 + τ 2 / h 2 ) 的收敛阶。最后,数值算例验证了理论结果。
Allen-Cahn方程,Du Fort-Frankel格式,离散最大化原则,离散能量稳定性
Shuhua Lin
College of Mathematics and Information Science, Nanchang Hangkong University, Nanchang Jiangxi
Received: Aug. 18th, 2022; accepted: Sep. 19th, 2022; published: Sep. 26th, 2022
In this paper, we consider the structure preserving Du Fort-Frankel difference schemes for one dimensional nonlinear Allen-Cahn equation. The scheme is explicit and unconditionally energy stable. The numerical solution satisfies the principle of discrete maximum. The convergence order of the scheme is Ο ( τ 2 + h 2 + τ 2 / h 2 ) under L 2 norm. Finally, numerical examples verify the theoretical results.
Keywords:Allen-Cahn Equation, Du Fort-Frankel Difference Schemes, Maximum Principle, Energy Stability
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
本文考虑如下一维非线性Allen-Cahn方程的初边值问题(IBVP),
{ u t − ε 2 u x x = f ( u ) , x ∈ Ω , t ∈ ( 0 , T ) , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , x ∈ Ω ¯ , u | ∂ Ω = 0 , t ∈ ( 0 , T ] . (1.1)
这里u表示二元合金中的一个金属部件的浓度, ε > 0 表示接口的宽度,非线性项 f ( u ) = u − u 3 , Ω 为 Ω ¯ 的内部点。
早在1979年,Allen和Cahn在描述晶体中的反相位边界运动时引入Allen-Cahn方程 [
众所周知,IBVP(1.1)有两个重要的性质,其一是能量稳定性,一维非线性Allen-Cahn方程具有如下的能量函数:
E ( u ) = ∫ Ω 1 2 ε 2 | ∇ u | 2 + 1 4 ( u 2 − 1 ) 2 d x , (1.2)
该能量函数随时间递减;其二是该方程的精确解满足最大化原则。这两点性质在研究Allen-Cahn方程高效的数值解法中发挥重要作用。
目前关于Allen-Cahn方程的数值逼近学者们做了很多工作。2010年, [
本文通过构造显式保结构有限差分方法(简称SP-DFFT-FDMs)对IBVP(1.1)进行数值求解。文章其余部分安排如下,在第二节,给出一些必需的符号和辅助引理以及差分格式的建立;第三节从离散最大化原则、离散能量稳定性和收敛性三个方面进行数值分析;第四节,数值算例验证了理论分析的正确性;第五节给出一些结论。
在建立差分格式前,先介绍一些符号和引理。首先,对求解区间 Ω = { ( x , t ) | X l ≤ x ≤ X r , 0 ≤ t ≤ T } 进行剖分,取空间步长 h = ( X r − X l ) / m ( m ∈ Z + ) , x j = X l + j h ( 0 ≤ j ≤ m ) ,时间步长 τ = T / N ( N ∈ Z + ) , j , k 均为整数, t k = k τ ( 0 ≤ k ≤ N ) ,对时间方向和空间方向剖分形成的网格定义如下:
Ω τ = { t k | t k = k τ , 0 ≤ k ≤ N }
Ω h = { x j | X l + j h , 1 ≤ j ≤ m − 1 }
∂ Ω h = { x j | j = 0 或 m }
此外,记网格空间 Ω h τ = Ω τ ∪ Ω h ∪ ∂ Ω h 。记 T h 0 = { V | V = { V j | 0 ≤ j ≤ m , V 0 = V m = 0 } } 为 Ω h τ 上的网格函数,取网格函数 U ∈ T h 0 ,定义如下算子:
δ t U k + 1 2 = U k + 1 − U k τ , δ t 2 U k = U k + 1 − 2 U k + U k − 1 τ 2 ,
δ t ^ U k = U k + 1 − U k − 1 2 τ , U k ¯ = U k + 1 + U k − 1 2 ,
δ x U j − 1 2 = U j − U j − 1 h , δ x 2 U j = U j + 1 − 2 U j + U j − 1 h 2 .
对于任意的 U , V ∈ T h 0 ,定于如下内积和范数:
〈 U , V 〉 = h ∑ j = 1 m − 1 U j k V j k , 〈 δ x U , δ x V 〉 = h ∑ j = 0 m − 1 δ x U j + 1 2 k δ x V j + 1 2 k , ‖ U k ‖ 2 = h ∑ j = 1 m − 1 ( U j k ) 2 ,
| U | H 1 2 = 〈 δ x U , δ x U 〉 , ‖ U ‖ H 1 = | U | H 1 2 + ‖ U ‖ 2 , ‖ U ‖ ∞ = max 0 ≤ j ≤ m | U j | .
引理2.1 ( [
F k ≤ e c k t ( F 0 + g c ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋯
记 u j k 和 U j k 分别表示问题IBVP(1.1)的精确解和数值解,常数C为不依赖网格参数,不同的情形下取不同的值。
在结点 ( x j , t k ) 处考虑IBVP(1.1)有
u t ( x j , t k ) = ε 2 u x x ( x j , t k ) − ( u ( x j , t k ) ) 3 + u ( x j , t k ) . (3.1)
由带拉格朗日余项的泰勒展开式得
u t ( x j , t k ) = δ t ^ u j k − τ 2 6 ∂ 3 u ∂ t 3 ( x j , ( ξ 1 ) j k ) , t k − 1 ≤ ( ξ 1 ) j k ≤ t k + 1 , (3.2a)
u x x ( x j , t k ) = δ x 2 u j k − τ 2 h 2 δ t 2 u j k − h 2 12 ∂ 4 u ∂ x 4 ( ( ξ 2 ) j k , t k ) + τ 2 h 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 3 ) j k ) , x j − 1 ≤ ( ξ 2 ) j k ≤ x j + 1 , t k − 1 ≤ ( ξ 3 ) j k ≤ t k + 1 , (3.2b)
u t t ( x j , t k ) = δ t 2 u j k − τ 2 12 ∂ 4 u ∂ t 4 ( x j , ( ξ 4 ) j k ) , t k − 1 ≤ ( ξ 4 ) j k ≤ t k + 1 , (3.2c)
u ( x j , t k ) = u j k ¯ − τ 2 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 5 ) j k ) , t k − 1 ≤ ( ξ 5 ) j k ≤ t k + 1 , (3.2d)
τ 2 δ t 2 u j k = τ 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 6 ) j k ) , t k − 1 ≤ ( ξ 6 ) j k ≤ t k + 1 , (3.2e)
其中 τ 2 δ t 2 u j k 为稳定项。记 s x = ( ε τ / h ) 2 ,将(3.2a)~(3.2e)代入(3.1)中,得
δ t ^ u j k − ε 2 δ x 2 u j k + ( s x + τ 2 ) δ t 2 u j k + ( u j k ) 2 u j k ¯ − u j k ¯ = ( R 1 ) j k , 1 ≤ j ≤ m , 0 ≤ k ≤ N − 1 , (3.3a)
u j 0 = u 0 ( x j ) , 1 ≤ j ≤ m , (3.3b)
u 0 k = u m k = 0 , 0 ≤ k ≤ N , (3.3c)
其中
( R 1 ) j k = τ 2 6 ∂ 3 u ∂ t 3 ( x j , ( ξ 1 ) j k ) + h 2 12 ∂ 4 u ∂ x 4 ( ( ξ 2 ) j k , t k ) − τ 2 h 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 3 ) j k ) + τ 2 12 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 4 ) j k ) + τ 2 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 5 ) j k ) + τ 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( x j , ( ξ 6 ) j k ) . (3.4)
显然存在一个正常数C,使得
( R 1 ) j k = C ( τ 2 + h 2 + τ 2 / h 2 ) . (3.5)
由于差分格式(3.3a)是三层格式,已知第0层的数值解,为了启动数值模拟,第1层的数值解采用以下格式( [
δ t U j 1 2 − ε 2 δ x 2 U j 1 − U j 0 + ( U j 0 ) 3 = ( R 1 ) j 0 , (3.6)
其中
( R 1 ) j 0 = C ( τ 2 + h 2 ) . (3.7)
在(3.3a)~(3.3c)和(3.6)中,忽略 ( R 1 ) j k 和 ( R 1 ) j 0 ,用数值解 U j k 代替精确解 u j k ,得到差分格式SP-DFFT-FDMS:
δ t ^ U j k − ε 2 δ x 2 U j k + ( s x + τ 2 ) δ t 2 U j k + ( U j k ) 2 U j k ¯ − U j k ¯ = 0 , 1 ≤ j ≤ m , 1 ≤ k ≤ N − 1 , (3.8a)
δ t U j 1 2 − ε 2 δ x 2 U j 1 − U j 0 + ( U j 0 ) 3 = 0 , 1 ≤ j ≤ m , (3.8b)
U j 0 = u 0 ( x j ) , 1 ≤ j ≤ m , (3.8c)
U 0 k = U m + 1 k = 0 , 0 ≤ k ≤ N . (3.8d)
稳定化差分格式SP-DFFT-FDMS具有 Ο ( τ 2 + h 2 + ( τ / h ) 2 ) 形式的截断误差。
本节,将给出差分格式SP-DFFT-FDMS的一些性质:离散最大化原则和离散能量稳定性。
引理4.1 ( [
引理4.2 ( [
h 2 | U | H 1 2 ≤ 4 ‖ U ‖ 2 , ‖ U ‖ ∞ ≤ X r − X l 2 | U | H 1 .
引理4.3对于任意的网格函数 U ∈ T h 0 ,有以下成立:
ε 2 2 〈 δ x U k + 1 , δ x U k 〉 ≥ ε 2 2 | U k + 1 2 | H 1 2 − s x 2 ‖ δ t U k + 1 2 ‖ 2 .
证 结合文献 [
ε 2 2 〈 δ x U k + 1 , δ x U k 〉 = ε 2 2 h ∑ j = 1 m − 1 [ ( δ x U k + 1 + δ x u k ) 2 4 − ( δ x U k + 1 − δ x U k ) 2 4 ] = ε 2 2 | U k + 1 2 | H 1 2 − ε 2 τ 2 8 | δ x δ t U k + 1 2 | H 1 2 ≥ ε 2 2 | U k + 1 2 | H 1 2 − s x 2 ‖ δ t U k + 1 2 ‖ 2 .
定理4.1假设 max x ∈ Ω ¯ | u 0 ( x ) | ≤ 1 ,当 r x + τ ≤ 1 2 时,有如下成立:
max 0 ≤ k ≤ N ‖ U k ‖ ∞ ≤ 1. (4.1)
证 应用数学归纳法证明,显然 ‖ U 0 ‖ ∞ ≤ 1 。根据文献 [
现假设当 k = N 时,记 r x = ε 2 τ / h 2 ,可将差分格式SP-DFFT-FDMS中的(3.8a)改写为
f ( U j − 1 k , U j + 1 k , U j k , U j k − 1 ) = U j k + 1 = 2 r x ( U j + 1 k + U j − 1 k ) 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 4 τ 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 U j k + 1 − 2 r x − τ − τ ( U j k ) 2 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 U j k − 1 , (4.2)
U j k + 1 是有关于 U j − 1 k , U j + 1 k , U j k 和 U j k − 1 的函数,结合 r x + τ ≤ 1 2 和归纳假设 max 0 ≤ k ≤ n ‖ U k ‖ ∞ ≤ 1 ,易得
∂ U j k + 1 ∂ U j + 1 k = ∂ U j k + 1 ∂ U j − 1 k = 2 r x 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 ≥ 0 , (4.3)
∂ U j k + 1 ∂ U j k − 1 = 1 − 2 r x − τ − τ ( U j k ) 2 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 ≥ 1 − 2 r x − τ − τ 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 ≥ 0 , (4.4)
此外,通过简单的计算可知
∂ U j k + 1 ∂ U j k = g ( U j k , U j k − 1 , U j + 1 k , U j − 1 k ) [ 1 + 2 r x + τ + τ ( U j k ) 2 ] 2 , (4.5)
其中
g ( U j k , U j k − 1 , U j + 1 k , U j − 1 k ) = 4 τ + 8 s x + 4 τ 2 − 4 τ 2 ( U j k ) 2 − 4 s x ( U j k ) ( U j + 1 k + U j − 1 k ) − 4 τ U j k U j k − 1 ≥ 0. (4.6)
由(4.3)~(4.5)可得,关于 U j k , U j k − 1 , U j + 1 k , U j − 1 k 的函数 U j k + 1 是单调递增的,注意到 − 1 ≤ U k l ≤ 1 ( k = j , j − 1 , j + 1 , l = N , N − 1 ) 。有如下结果
− 1 ≤ f ( − 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) ≤ U j k + 1 ≤ f ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ≤ 1 , (4.7)
结合 | U j k + 1 | ≤ 1 , ( j = 0 , m ) ,可得 ‖ U k + 1 ‖ ∞ ≤ 1 。证毕。
本节研究差分格式的稳定性,定义如下相应的离散能量 E k + 1 :
E k + 1 = ε 2 2 〈 δ x U k + 1 , δ x U k 〉 + s x + τ 2 2 ‖ δ t U k + 1 2 ‖ 2 + 1 4 ‖ U k + 1 U k ‖ 2 − 1 4 ( ‖ U k + 1 ‖ 2 + ‖ U k ‖ 2 ) + C , ( k = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 ) . (4.8)
记
F k = ‖ δ t ^ 2 U k ‖ 2 + ‖ ( E k + 1 − E k − 1 ) / 2 τ ‖ 2 , ( k = 1 , 2 , ⋯ , N − 1 ) . (4.9)
定理4.2假设 { U j k | 0 ≤ j ≤ m , 0 ≤ k ≤ N } 是差分格式SP-DFFT-FDMS的数值解,则有如下成立:
E k + 1 ≤ E k ( k = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 ) , F k = 0 ( k = 1 , 2 , ⋯ , N − 1 ) . (4.10)
证 将(3.8a)与 h δ t ^ U j k 作内积,对j从1到 m − 1 求和,可得
‖ δ t ^ U k ‖ 2 + ε 2 2 τ [ 〈 δ x U k + 1 , δ x U k 〉 − 〈 δ x U k , δ x U k − 1 〉 ] + s x + τ 2 2 τ [ ‖ δ x U k + 1 2 ‖ 2 − ‖ δ x U k − 1 2 ‖ 2 ] + 1 4 τ [ ‖ U k + 1 U k ‖ 2 − ‖ U k U k − 1 ‖ 2 ] − 1 4 τ { [ ‖ U k + 1 ‖ 2 + ‖ U k ‖ 2 ] − [ ‖ U k ‖ 2 + ‖ U k - 1 ‖ 2 ] } = 0. (4.11)
可将(4.11)改写为如下形式
‖ δ t ^ U k ‖ 2 + E k + 1 − E k τ = 0 , (4.12)
显然有 E k + 1 ≤ E k ( k = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 ) , F k = 0 ( k = 1 , 2 , ⋯ , N − 1 ) 。证毕。
本节考虑差分格式数值解的收敛性。首先给出一个重要的引理,这将用于后续的收敛性分析。
引理3假设有如下成立
H k + 1 = ε 2 2 〈 δ x e k + 1 , δ x e k 〉 + s x + τ 2 2 ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 ,
则有
C ‖ e k + 1 ‖ 2 ≤ H k + 1 , ‖ e k + 1 ‖ 2 ≤ C H k + 1 .
证 结合 e j k + 1 = e j k + 1 + e j k 2 + e j k + 1 − e j k 2 与不等式 ( a + b ) 2 ≤ 2 a 2 + 2 b 2 ,易得
‖ e k + 1 ‖ 2 ≤ 1 2 ( ‖ e k + 1 + e k ‖ 2 + ‖ e k + 1 − e k ‖ 2 ) .
应用引理1,可得
H k + 1 = ε 2 2 〈 δ x e k + 1 , δ x e k 〉 + s x + τ 2 2 ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 = ε 2 2 [ | e k + 1 2 | H 1 2 − τ 2 4 | δ t e k + 1 2 | H 1 2 ] + s x + τ 2 2 ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 ≥ 3 ε 2 2 ( X r − X l ) 2 ‖ e k + 1 + e k ‖ 2 + 1 2 ‖ e k + 1 − e k ‖ 2 ≥ min { 3 ε 2 ( X r − X l ) 2 , 1 } ‖ e k + 1 + e k ‖ 2 + ‖ e k + 1 − e k ‖ 2 2 ≥ min { 3 ε 2 ( X r − X l ) 2 , 1 } ‖ e k + 1 ‖ 2 = C ‖ e k + 1 ‖ 2 .
易得, ‖ e k + 1 ‖ 2 ≤ C H k + 1 。证毕。
假定 u ( x , t ) ∈ C x , t 4 , 3 为IBVPs(1.1)的精确解,则存在正整数C,使得
‖ ( R 1 ) 0 ‖ 2 ≤ C ( τ 2 + h 2 ) 2 , (4.13)
max 1 ≤ k ≤ N − 1 ‖ ( R 1 ) k ‖ 2 ≤ C ( τ 2 + h 2 + τ 2 / h 2 ) 2 . (4.14)
定理4.3假设 U ( x , t ) ∈ C x , t 4 , 3 。 U k 为IBVP(1.1)的数值解, u k 为精确解,定义误差为 e j k = u j k − U j k , 0 ≤ j ≤ m , 0 ≤ k ≤ N 。有
‖ e k ‖ 2 ≤ C ( τ 2 + h 2 + τ 2 / h 2 ) 2 . (4.15)
证 将(3.8a)~(3.8d)与(3.3a)、(3.6)相减,得到如下误差方程:
δ t ^ e j k − ε 2 δ x 2 e j k + ( s x + τ 2 ) δ t 2 e j k + ( u j k + U j k ) u j k ¯ e j k + ( U j k ) 2 e j k ¯ − e j k ¯ = ( R 1 ) j k , 1 ≤ j ≤ m , 1 ≤ k ≤ N − 1 , (4.16a)
δ t e j 1 2 − δ x 2 e j 1 − e j 0 + ( u i 0 ) 3 − ( U i 0 ) 3 = ( R 1 ) j 0 , 1 ≤ j ≤ m ,
e j 0 = 0 , 1 ≤ j ≤ m , (4.16b)
e 0 k = e m k = 0 , 0 ≤ k ≤ N , (4.16c)
将(4.16b)与 h δ t ^ e j 1 2 作内积,对j从1到 m − 1 进行求和,得
‖ δ t e 1 2 ‖ 2 + 1 τ | e 1 | H 1 2 = 〈 ( R 1 ) 0 , δ t e 1 2 〉 ≤ 1 2 ‖ ( R 1 ) 0 ‖ 2 + 1 2 ‖ δ t e 1 2 ‖ 2 , (4.17)
结合(4.13),有如下成立:
‖ δ t e 1 2 ‖ 2 ≤ 2 ‖ ( R 1 ) 0 ‖ 2 ≤ C ( τ 2 + h 2 ) 2 , (4.18)
‖ e 1 ‖ 2 ≤ ( X r − X l ) 2 6 | e 1 | H 1 2 ≤ τ ( X r − X l ) 2 12 ‖ ( R 1 ) 0 ‖ 2 ≤ C ( τ 2 + h 2 ) 2 , (4.19)
此外,由引理3可得
H 0 = ( s x + τ 2 ) ‖ δ t e 1 2 ‖ 2 ≤ c 1 ( τ 2 + h 2 ) 2 . (4.20)
将(4.16a)与 h δ t ^ e j k 作内积,对j从1到 m − 1 进行求和,得
‖ δ t ^ e k ‖ 2 + H k + 1 − H k 2 τ = 〈 e k ¯ , δ t ^ e k 〉 − 〈 ( u k + U k ) u k ¯ e k , δ t ^ e k 〉 − 〈 ( U k ) 2 e k ¯ , δ t ^ e k 〉 + 〈 ( R 1 ) k , δ t ^ e k 〉 . (4.21)
假设 ‖ u k ‖ ∞ ≤ 1 , ‖ U k ‖ ∞ ≤ 1 ,应用不等式 a b ≤ ε a 2 + b 2 / 4 ε ,可得
〈 e k ¯ , δ t ^ e k 〉 ≤ ε 1 ‖ δ t ^ e k ‖ 2 + 1 8 ε 1 ( ‖ e k + 1 ‖ 2 + ‖ e k − 1 ‖ 2 ) , (4.22)
− 〈 ( u k + U k ) u k ¯ e k , δ t ^ e k 〉 ≤ ε 2 ‖ δ t ^ e k ‖ 2 + 1 ε 2 ‖ e k ‖ 2 , (4.23)
− 〈 ( U k ) 2 e k ¯ , δ t ^ e k 〉 ≤ ε 3 ‖ δ t ^ e k ‖ 2 + 1 8 ε 3 ( ‖ e k + 1 ‖ 2 + ‖ e k − 1 ‖ 2 ) , (4.24)
〈 ( R 1 ) k , δ t ^ e k 〉 ≤ ε 4 ‖ δ t ^ e k ‖ 2 + 1 4 ε 4 ‖ ( R 1 ) k ‖ 2 , (4.25)
取 ε j = 1 4 ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,将(4.22)~(4.25)代入(4.21)整理得
H k + 1 − H k 2 τ ≤ ‖ e k + 1 ‖ 2 + 4 ‖ e k ‖ 2 + ‖ e k − 1 ‖ 2 + ‖ ( R 1 ) k ‖ 2 , (4.26)
在上式两边同乘 2 τ C ,用l取代k,对l从0到k进行求和,可得
‖ e k + 1 ‖ 2 ≤ C H 0 + C ∑ l = 1 k + 1 ‖ e l ‖ 2 + 2 τ C ∑ l = 1 k ‖ ( R 1 ) k ‖ 2 , (4.27)
当 τ → 0 , h → 0 时,应用引理2.1,有如下成立:
‖ e k + 1 ‖ 2 ≤ C ( τ 2 + h 2 + τ 2 / h 2 ) 2 . (4.28)
证毕。
在分析最大化原则时,本文所建立的格式满足最大化原则要求 τ = Ο ( h 2 ) 的条件略强于文献 [
本节将给出数值算例来验证得到前几节所得的理论结果。
定义 L 2 范数为 L E ( h , τ ) = max { ‖ u n − U n ‖ } , L 2 范数下的收敛阶为 L R = log 2 [ L E ( 2 h , 4 τ ) / L E ( h , τ ) ] 。
算例4.1考虑如下一维非线性Allen-Cahn方程的初边值问题(IBVP(1.1)),取定初边值条件为
u 0 ( x ) = x 3 ( 1 − x ) 3 , x ∈ [ 0 , 1 ] ,
u ( 0 , t ) = u ( 1 , t ) = 0 , t ∈ [ 0 , T ] .
给定 ε = 0.1 , T = 1 。
在表1给出了取不同网格的步长的条件下,差分格式SP-DFFT-FDMS所得数值解 U j k 在 L 2 范数下的误差和收敛阶,从表格中,可以观察到数值解具有二阶收敛精度。
h | LE | LR | CPU |
---|---|---|---|
1/10 | 1.6329e−04 | * | 0.0013s |
1/20 | 4.1072e−05 | 1.9912 | 0.0017s |
1/40 | 1.0275e−05 | 1.9990 | 0.0106s |
1/80 | 2.5693e−06 | 1.9997 | 0.0493s |
表1. 取不同步长时的数值结果 ( τ = h 2 / 2 ( ε 2 + 1 ) )
图1. 取h = 0.1, C = 1时,格式SP-DFFT-FDMs所得Ek, Fk的时间演化图
图2. 取h = 0.1, C = 1时,格式SP-DFFT-FDMs的最大值
图1表示离散能量 E k 和 F k 当时间 T = 100 和 T = 1000 的演化过程,如图所见,离散能量 E k 随时间推移而衰减,其中 F k 均趋于零,达到机器精度,说明离散能量方程对机器精度有效。图2刻画了本文格式所得数值解的最大值,图2验证了差分格式满足离散的最大化原则。此外,由图1和图2可以看出,当 T = 1000 时,离散能量依旧满足衰减性且 F k 趋于零,同时满足了最大化原则,这验证了差分格式长时间计算的有效性。
本文对一维非线性Allen-Cahn方程建立了一种无条件稳定的显式保结构算法。离散格式满足离散最大化原则且所得的数值解满足离散能量衰减性;通过离散最大化原则证明了该差分格式在 L 2 范数下的收敛阶达到二阶。第四节的数值算例验证了理论结果,此外,从数值结果来看,当 T = 1000 时,该格式仍保持离散最大化原则、能量稳定性以及二阶收敛,可见,本文所设计的保结构算法具有长时间模拟的优势。然而该格式应用于求解二维非线性Allen-Cahn方程时,能否满足离散最大化原则和离散能量稳定性有待进一步分析。
国家自然科学基金项目(No. 11861047);江西省杰出青年基金(20212ACB211006);江西省自然科学基金(20202BABL201005)。
林树华. 一维Allen-Cahn方程Du Fort-Frankel格式的离散最大化原则和能量稳定性研究Discrete Maximum Principle and Energy Stability Analysis of Du Fort-Frankel Scheme for 1D Allen-Cahn Equation[J]. 理论数学, 2022, 12(09): 1501-1511. https://doi.org/10.12677/PM.2022.129164