水泥基体由具有不规则几何形貌的组分无序堆积而成,在空间维度上呈现出典型的结构异质性。本文以不同养护龄期(7 d, 28 d)的普通硅酸盐水泥净浆为例,基于X射线计算机断层扫描(X–ray Computed Tomography, XCT)技术获取其三维灰度图像。针对水泥基体的三维结构,以局部孔隙率为指标开展多重分形分析。结果表明,多重分形分析对于定量描述水泥基体结构异质性具有很好的适用性。此外,本文提出利用一般化二项迭代方法模拟水泥基体的结构异质性。 Cement paste is comprised of anhydrous clinkers and hydrates of irregular morphology, which manifests an intrinsic structural heterogeneity in spatial domain. Taking ordinary Portland cement paste cured at 7 d and 28 d into account, we use the X-ray Computed Tomography (XCT) to acquire their 3-dimensional structural features. With the 3-dimensional XCT images as input, the multifractal analysis is performed based on a definition of local porosity. Results indicate that the multifractal analysis shows a good applicability in quantification of the structural heterogeneity in cement paste. Besides that, a generalized binomial multiplicative cascade is introduced to model the multifractal structural heterogeneity.
水泥基体由具有不规则几何形貌的组分无序堆积而成,在空间维度上呈现出典型的结构异质性。本文以不同养护龄期(7 d, 28 d)的普通硅酸盐水泥净浆为例,基于X射线计算机断层扫描(X–ray Computed Tomography, XCT)技术获取其三维灰度图像。针对水泥基体的三维结构,以局部孔隙率为指标开展多重分形分析。结果表明,多重分形分析对于定量描述水泥基体结构异质性具有很好的适用性。此外,本文提出利用一般化二项迭代方法模拟水泥基体的结构异质性。
水泥基体,结构异质性,X射线计算机断层扫描,多重分形分析,一般化二项迭代方法
Yanwei Jiang1, Yanan Xi2*
1China Railway No. 4 Engineering Group Co., Ltd., Hefei Anhui
2College of Mechanics and Materials, Hohai University, Nanjing Jiangsu
Received: Sep. 6th, 2022; accepted: Sep. 22nd, 2022; published: Sep. 29th, 2022
Cement paste is comprised of anhydrous clinkers and hydrates of irregular morphology, which manifests an intrinsic structural heterogeneity in spatial domain. Taking ordinary Portland cement paste cured at 7 d and 28 d into account, we use the X-ray Computed Tomography (XCT) to acquire their 3-dimensional structural features. With the 3-dimensional XCT images as input, the multifractal analysis is performed based on a definition of local porosity. Results indicate that the multifractal analysis shows a good applicability in quantification of the structural heterogeneity in cement paste. Besides that, a generalized binomial multiplicative cascade is introduced to model the multifractal structural heterogeneity.
Keywords:Cement Paste, Structural Heterogeneity, X-Ray Computed Tomography, Multifractal Analysis, Generalized Binomial Multiplicative Cascade
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
深刻理解材料的内部结构特征属于材料科学研究的重要范畴。众所周知,水泥基体在混凝土材料中占据至关重要的地位,其由水化产物、未水化相以及孔隙等无序堆积而成,且各种组分具有不规则的几何形貌,因此在空间维度上呈现出典型的结构异质性。时至今日,研究人员已经获得大量有关水泥基体的物相组成和微观结构信息。然而,由于缺乏行之有效的研究手段,针对其结构异质性的定量描述仍然进展甚微。
研究人员在小角度X射线散射实验基础上使用分形理论描述水泥基体的结构异质性 [
事实上,虽广泛使用,分形理论对于描述水泥基体却也存在一定的不足 [
本文使用南京小野田PII 52.5水泥,制备不同养护龄期(7 d, 28 d)的普通硅酸盐水泥浆体,水灰比固定为0.4。将水泥称重完毕后,倒入搅拌锅中,先干拌3分钟,以防止结块的产生。之后,加入称量好的水,边搅拌边加水,待原材料全部加入后按照低速3分钟–高速2分钟–低速3分钟的顺序搅拌充分,完毕后装入40 × 40 × 160 mm3的棱柱模具成型,并放到振动台上振动60次抹平。成型后的试件用保鲜膜覆盖进行静置,常温养护1天待其硬化后脱模。随后置于标准养护室(温度20℃ ± 1℃,相对湿度 ≥ 95%)养护至设计龄期。待养护完成后,先从试件中心部位钻取直径2 mm、高度5 mm的样品,再手工打磨至直径1 mm、高度4 mm。最后将样品置于乙醇溶液中浸泡48小时终止水化,加以冷冻干燥法做干燥处理。
如图1所示,本文采用的实验仪器是德国制造的蔡司Xradia 510型X射线显微镜,主要由微焦点射线源、精密样品台、高分辨率探测器、控制以及成像单元所组成。该仪器包含两级放大系统,第一级是传统的X射线几何放大,第二级是将X射线经闪烁体转化为可见光之后用镜头进行的光学放大,由此得以在较大样品尺寸、较远工作距离下实现亚微米级的空间分辨率。X射线扫描待测样品时,材料局部的X射线吸收系数存在差异,投射至探测器上对应不同的像素灰度值。对于水泥净浆样品,一般认为X射线吸收系数即像素灰度值与局部材料密度成正比关系。
XCT图像的空间分辨率和像素对比度受到射线功率和样品尺寸的影响。一方面,较高的射线功率提高空间分辨率,但降低像素对比度;另一方面,更薄的样品导致更高质量的图像。应当注意的是,当样品太薄时,其图像会在厚度方向上受到边壁效应的影响,无法代表真正的水泥浆体。本文所有扫描均以60 kV的X射线峰值能量和83 μA的电流进行,样品距射线源和探测器分别为14 mm、80 mm。每次扫描获得1601帧二维XCT图像,每个投影的采集时间为6 s,像素的空间分辨率为1 μm以及像素灰度值变化范围为0~255。如图2所示,顺序裁取128帧二维XCT图像(128 × 128 μm2),将其重构成三维XCT图像(128 × 128 × 128 μm3)。图3所示为重构后的胶凝体系三维XCT图像,其中灰度值已做归一化处理。
图1. Xradia 510型X射线显微镜及工作原理示意图
图2. 三维XCT图像重构示意图
图3. 不同养护龄期的水泥浆体三维XCT图像(a) 7 d;(b) 28 d
Mach等从随机过程角度考虑,将研究对象视为有限单元的集合,并构建函数 Φ 关联起概率测度与空间尺度如下 [
Φ ( q , τ ) = ∑ i = 1 N p i q δ i τ (1)
N为单元数目,q、τ为实数变量,pi、δi为单元i对应的概率测度、空间尺度。对于多重分形,满足Φ(q, τ) = 1。取δi = δ,结合式(1),则有
χ ( q ) = ∑ i = 1 N p i q ∝ δ τ ( q ) (2)
χ ( q ) 、 τ ( q ) 称为配分函数、尺度函数。式(2)构成以q为基本变量的多重分形表达式,相应地,也可以取pi = p建立以τ为基本变量的多重分形表达式。q的取值不同,对应pi对χ的贡献不同。具体地,当q为负值时,pi越小,对χ的贡献越大;当q为正值时,pi越大,对χ的贡献越大。将q视为自变量,对χ求一阶导数,则有
∑ i = 1 N ( p i q ln p i ) ∝ δ τ ( q ) ln δ d τ ( q ) d q (3)
引入α满足
∑ i = 1 N ( p i q ln p i ) = ∑ i = 1 N [ p i q ln ( δ α ( q ) ) ] (4)
将式(4)、式(2)代入到式(3),则有
α ( q ) = d τ ( q ) d q (5)
α(q)称为奇异指数或者Hölder指数,满足αmin ≤ α ≤ αmax,其中αmin = α(q → +∞),αmax = α(q → –∞)。Hölder指数α直接联系着概率测度pi与空间尺度δ,即
p i = l a w δ α (6)
具有Hölder指数为α的单元数目
N α = N ⋅ δ − f ( α ) (7)
f(α)称为Hausdorff维数。f(α)、α(q)以及τ(q)不是互相独立的,满足
f ( α ) = q ( α ) ⋅ α − τ [ q ( α ) ] (8)
f(α)对α的函数关系称为多重分形谱。
对于三维XCT图像,假定每个像素包含凝胶孔和毛细孔,其对应的局部孔隙率fv定义如下:
f v = 1 − h v 1 − < h v > f c (9)
h v ∈ [ 0 , 1 ] 代表像素的归一化灰度值,<>代表关于图像内所有像素的平均值,fc为整体孔隙率。当hv = 1时,fv = 0;当hv = 0时,fv = fc/(1 – v>)以及 v> = f c。
如图4所示,在多重分形分析中,将三维XCT图像划分成不同空间尺度的立方体单元。对于每个立方体单元,其对应的概率测度pi的计算式如下:
p i = ∑ i f v ∑ f v (10)
∑ i 代表对单元i包含的像素求和,∑代表对XCT图像包含的所有像素求和,显然有 ∑ p i = 1 。
图4. 关于XCT图像的多重分形分析示意图
常用的多重分形分析方法包括Stanley和Meakin提出的矩方法 [
α = lim δ → 0 ∑ i { μ i ( q , δ ) ⋅ ln ( p i ) } ln δ (11)
f ( α ) = lim δ → 0 ∑ i { μ i ( q , δ ) ⋅ ln [ μ i ( q , δ ) ] } ln δ (12)
μ i ( q , δ ) 称为单元i的归一化概率测度,其计算式如下:
μ i ( q , δ ) = p i q ∑ i p i q (13)
在多重分形模拟领域,有属于网格迭代类的,如Saucier提出的网格基几何多重分形 [
考虑三维Euclidean空间中具有单位长度的立方体迭代元,在每个维度上将其h等分,即有总共h3个长度为1/h的立方体小单元,并对所有小单元分配概率测度:先随机选取m1个,每个分配w1/m1的概率测度;再随机选取m2个,每个分配w2/m2的概率测度;满足m1 + m2 ≤ h3及w1 + w2 = 1。历经j次迭代后,单元的概率测度
p ( j , k ) = ( w 1 / m 1 ) k ( w 2 / m 2 ) j − k ; k = 0 , ⋯ , j (14)
相应地,具有概率测度 p ( j , k ) 的单元数目
N ( j , k ) = m 1 k m 2 j − k ( j k ) (15)
将式(14)、式(15)代入式(2),配分函数
χ ( q , j ) = ( m 1 1 − q w 1 q + m 2 1 − q w 2 q ) j (16)
以及尺度函数
τ ( q ) = − ln ( m 1 1 − q w 1 q + m 2 1 − q w 2 q ) ln h (17)
Hölder指数α和Hausdorff维数f(α)则满足
α ( q ) = − ξ ln ( w 1 / m 1 ) + ( 1 − ξ ) ln ( w 2 / m 2 ) ln h (18)
f [ α ( q ) ] = − ξ ln ( ξ / m 1 ) + ( 1 − ξ ) ln [ ( 1 − ξ ) / m 2 ] ln h (19)
其中
ξ = m 1 1 − q w 1 q m 1 1 − q w 1 q + m 2 1 − q w 2 q (20)
取q值遍历[–30 m, 30],由式(11)、式(12)计算多重分形谱,如图5所示。不难发现,水泥基体呈现出典型的多重分形结构异质性,即具有清晰可辨的“吊钟型”多重分形谱。考虑δ → 0,由式(6)、式(10)可知:αmax对应着局部孔隙率fv的极小值,αmin对应着局部孔隙率fv的极大值;以Euclidean维数3为基准,α > 3对应着局部孔隙率fv的较小值(即凝胶孔),α < 3对应着局部孔隙率fv的较大值(即毛细孔)。在多重分形理论中,通常使用谱宽Δα = αmax – αmin作为结构异质性的量化指标。具体地,随水泥基体的养护龄期增加(7 d → 28 d),其多重分形谱变宽(0.98 → 1.01),对应着局部孔隙率fv分布范围的展宽;考虑δ → 0,由式(7)可知:f(α > 3)增大,表明含有较小局部孔隙率fv的单元数目增多,即凝胶孔逐渐增多;f(α < 3)减小,表明含有较大局部孔隙率fv的单元数目减少,即毛细孔逐渐减少。鉴于多重分形理论无需设定凝胶孔和毛细孔的具体几何形貌,因此在描述水泥基体孔隙结构变化方面具有很好的适用性。
图5. 不同养护龄期(7 d, 28 d)的水泥基体多重分形谱
Cheng提出的一般化二项迭代方法模拟多重分形结构异质性涉及5个参数,即h、m1、m2、w1、w2。具体求解包含3个步骤。首先,从图5中读取f(αmax)、f(αmin)、αmax、αmin等特征量的数值;其次,依据式(21)
{ m 1 = exp [ f ( α max ) ln h ] m 2 = exp [ f ( α min ) ln h ] h = ( m 1 + m 2 ) 1 3 (21)
结合牛顿迭代法求解参数h、m1、m2以及式(22)
{ w 1 = m 1 h − α max w 2 = m 2 h − α min (22)
求解参数w1、w2;最后,将参数h、m1、m2、w1、w2的数值代入式(18)、式(19)即得到水泥基体的模拟多重分形谱。如图6所示,一般化二项迭代方法较好地对多重分形谱的整体形状(“吊钟型”)进行模拟,但是在精度上存在一定的不足。
本文结合XCT技术和多重分形理论定量描述水泥基体的结构异质性。鉴于多重分形理论在胶凝体系研究领域尚未得到广泛应用,本文从随机过程角度介绍多重分形理论的一般概念。在此基础上,从XCT灰度图像出发,定义水泥基体的局部孔隙率,对结构异质性进行多重分形分析(直接法)和模拟(一般化二项迭代方法)。主要结论如下:
图6. 不同养护龄期的水泥基体多重分形谱分析值与模拟值对比(a) 7 d;(b) 28 d
1) 水泥基体呈现出典型的多重分形结构异质性,即具有清晰可辨的“吊钟型”多重分形谱。随水泥基体的养护龄期增加,多重分形谱变宽。
2) 一般化二项迭代方法较好地对多重分形谱的整体形状(“吊钟型”)进行模拟,但是在精度上存在一定的不足。
蒋燕伟,奚亚男. 水泥基体结构异质性多重分形分析与模拟Multifractal Analysis and Modeling of Structural Heterogeneity in Cement Paste[J]. 土木工程, 2022, 11(09): 1037-1045. https://doi.org/10.12677/HJCE.2022.119114