环及其它代数系统的根理论有了丰富的研究,Puczylowski建立了一般代数正规类的根理论。本文研究点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类τ s与绝对素代数类τ及其确定的上根性质Uτ s,Uτ,证明了Uτ s是超幂零根,Uτ是特殊根,τ s是遗传根。 The radicals of rings and other various algebraic structures have been researched very much. Puczylowski established the general theory of radicals of the objects called algebras. In this paper, we study the absolutely semiprime algebras class τ s and the absolutely semiprime algebras class τ in the normal classes of pointwise complete algebras and the properties of the upper radical Uτ s, Uτ determined by τ s and τ, it is proved that Uτ s is a supernilpotent radical, Uτ is a special radical and τ s is a hereditary radical.
环及其它代数系统的根理论有了丰富的研究,Puczylowski建立了一般代数正规类的根理论。本文研究点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类 τ s 与绝对素代数类 τ 及其确定的上根性质 U τ s , U τ ,证明了 U τ s 是超幂零根, U τ 是特殊根, τ s 是遗传根。
点态化完备代数正规类,绝对半素代数,绝对素代数,上根,超幂零根,特殊根
Zongwen Yang, Bengong Lou
Department of Mathematics, Yunnan University, Kunming Yunnan
Received: Oct. 12th, 2022; accepted: Nov. 11th, 2022; published: Nov. 21st, 2022
The radicals of rings and other various algebraic structures have been researched very much. Puczylowski established the general theory of radicals of the objects called algebras. In this paper, we study the absolutely semiprime algebras class τ s and the absolutely semiprime algebras class τ in the normal classes of pointwise complete algebras and the properties of the upper radical U τ s , U τ determined by τ s and τ , it is proved that U τ s is a supernilpotent radical, U τ is a special radical and τ s is a hereditary radical.
Keywords:Normal Classes of Complete Pointwise Algebras, Absolutely Semiprime Algebras, Absolutely Prime Algebras, Upper Radical, Supernilpotent Radical, Special Radical
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [
本文在文献 [
首先引入点态化完备代数正规类的相关概念及性质 [
A 是一个完备代数正规类, ∀ a ∈ A ,存在一个非空集 S a 和一个单射 ϕ a : L a s → P ( S a ) ( P ( S a ) 是 S a 的幂集,且 ϕ a ( 0 ) = S 0 是单点集,也记为0),并且满足:
1) ϕ a ( a ) = S a ;
2) ∀ i , j ∈ L a s , i ≤ j ,有 ϕ a ( i ) ⊆ ϕ a ( j ) ;
3) ∀ i α ≤ a , α ∈ Γ ,
ϕ a ( ∧ i α ) = ∩ ϕ a ( i α ) , ϕ a ( ∨ i α ) = ∪ { ϕ a ( i 1 ∨ i 2 ∨ ⋯ ∨ i k ) | i 1 , i 2 , ⋯ , i k ∈ Γ , k ≥ 1 } ;
4) ∀ i ⊲ a ,存在一个满射 γ i : S α → S α / i ,使得 ∀ ∅ ≠ A ⊆ S a , ∅ ≠ U ⊆ V ⊆ S a ,有 〈 γ i ( A ) 〉 = ( 〈 A 〉 ∨ i ) / i , 〈 γ i ( A ) ) = ( 〈 A ) ∨ i ) / i , ( γ i ( A ) 〉 = ( ( A 〉 ∨ i ) / i , ( γ i ( A ) ) = ( ( A ) ∨ i ) / i ,且 γ i ( U ) ⊆ γ i ( V ) 。
∀ t ∈ S a ,显然有
〈 t 〉 ≤ 〈 t ) = 〈 t 〉 ∨ 〈 t 〉 a ≤ ( t ) = 〈 t 〉 ∨ 〈 t 〉 a ∨ a 〈 t 〉 ∨ a 〈 t 〉 a ,
〈 t 〉 ≤ ( t 〉 = 〈 t 〉 ∨ a 〈 t 〉 ≤ ( t ) = 〈 t 〉 ∨ 〈 t 〉 a ∨ a 〈 t 〉 ∨ a 〈 t 〉 a 。
对正整数n, ∀ x ∈ S a ,存在一个 y s ⊆ 〈 x 〉 n , y r , y l , y ∈ S a ,使得 〈 x 〉 n + 1 = 〈 x 〉 〈 y s 〉 = 〈 y s 〉 〈 x 〉 , 〈 x ) n = 〈 y r ) , ( x 〉 n = 〈 y l ) , ( x ) n = ( y ) ;对正整数n, S a 的非空有限子集或可数子集A,存在有限子集 A ′ s ⊆ 〈 A 〉 n , A ′ r , A ′ l , A ′ ⊆ S a ,使得 〈 A 〉 n + 1 = 〈 A 〉 〈 A ′ s 〉 = 〈 A ′ s 〉 〈 A 〉 , 〈 A ) n = 〈 A ′ r ) , ( A 〉 n = 〈 A ′ l ) , ( A ) n = ( A ′ ) 。则称 A 是一个点态化完备代数正规类。 ∀ x ∈ S a ,称x是a的一个点。
∀ S a , S a 上有点乘积定义为 S a 上一个满足以下条件的二元运算' ⋅ ':
1) ∀ x , y ∈ S a ,都有 x ⋅ y ∈ S a ( x ⋅ y 记为 x y );
2) ∀ x , y , z ∈ S a ,有 ( x y ) z = x ( y z ) (记为 x y z );
3) 存在唯一的单点 0 ′ ∈ S a (0'也记为0),满足: ∀ x ∈ S a ,有 0 x = x 0 = 0 。
结合环类 R 和大半环类SB都是点态化完备代数正规类。
引理2.1 [
1) x y ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 〈 y 〉 ) ;
2) n是正整数,则 x n ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 n ) , 〈 x 〉 n = 〈 x n 〉 。
引理2.2 [
定义2.3 [
1) ∀ a ∈ K ,a中无非0幂零理想;
2) ∀ a ∈ K , i ⊲ a ,则 i ∈ K ;
3) ∀ a ∈ A , i ⊲ a , i ∈ K , i * = 0 ,则 a ∈ K 。
定义2.4 [
1) ∀ a ∈ K ,a是一个素代数;
2) ∀ a ∈ K , i ⊲ a ,则 i ∈ K ;
3) ∀ a ∈ A , i ⊲ a , i ∈ K ,则 a / i * ∈ K ,其中i*是a的使得 k i = i k = 0 的最大理想(称i的0化子)。
定义2.5 [
1) S是遗传根;
2) ∀ a ∈ A ,如果a是幂零代数,则 a ∈ S 。
引理2.6 [
引理2.7 [
1) ∀ i ⊲ a , i ∈ K , i * = 0 ,则 a ∈ K ;
2) ∀ i ⊲ ⋅ a , i ∈ K 且 a / i ∈ K ,则 a ∈ K (即K本质扩张闭);
3) ∀ i ⊲ a , i ∈ K ,则 a / i * ∈ K 。
引理2.8 [
1) ∀ a ∈ K ,a是半素代数;
2) ∀ a ∈ K , i ⊲ a ,则 i ∈ K ;
3) ∀ i ⊲ ⋅ a , i ∈ K 且 a / i ∈ K ,则 a ∈ K (即K本质扩张闭)。
由定义2.3,引理2.7得:
引理2.9: ∀ K ⊆ A ,称K是一个特殊类,如果K满足以下3条:
1) ∀ a ∈ K ,a是一个素代数;
2) ∀ a ∈ K , i ⊲ a ,则 i ∈ K ;
3) ∀ i ⊲ ⋅ a , i ∈ K 且 a / i ∈ K ,则 a ∈ K (即K本质扩张闭)。
引理2.10 [
a) ∀ a ∈ A , i ⊲ a ,如果 a ∈ R ,则 a / i ∈ R (即R商闭);
b ¯ ) ∀ a ∈ A ,如果 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是a的R-理想升链(即 ∀ μ , i μ ∈ R ),则理想 ∨ μ i μ ∈ R (称R有归纳性质);
c ¯ ) ∀ a ∈ A , i ⊲ a ,如果 i , a / i ∈ R ,则有 a ∈ R (称R扩张闭)。
本节讨论点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类及绝对素代数类。
A 是一个点态化完备代数正规类。
定义3.1 [
2) ∀ a ∈ A ,如果0是a的一个素理想,则称a是一个素代数;
3) ∀ a ∈ A , p ⊲ a ,如果 ∀ i ⊲ a , i 2 ≤ p 可推出 i ≤ p ,则称p是a的一个半素理想;
4) ∀ a ∈ A ,如果0是a的一个半素理想,则称a是一个半素代数;
5) x ∈ S a ,如果有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ,则称x是一个幂等元;
6) 如果 ∀ x ∈ S a ,有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ,则称a是Boolean代数。
记P是所有素代数类。
记所有Boolean代数的类为β。Boolean代数类β是遗传根类、左遗传根、右遗传根及强遗传根,但不是超幂零根。
定义3.2:1) ∀ a ∈ A , 0 ≠ p ⊲ a ,存在 0 ≠ x ∈ ϕ a ( p ) ,有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 (即x是一个非零幂等元),则称a是一个绝对半素代数;
2) ∀ a ∈ A , p ⊲ a ,如果p/a是绝对半素代数,则称p是a的一个绝对半素理想;
3) ∀ a ∈ A ,如果a是一个绝对半素代数又是一个素代数,则称a是一个绝对素代数。
4) ∀ a ∈ A , p ⊲ a ,如果p/a是绝对素代数,则称p是a的一个绝对素理想。
所有绝对半素代数及绝对素代数构成的代数类分别称绝对半素代数类及绝对素代数类,分别记为 τ s , τ 。
显然有: τ ⊆ τ s , τ ⊆ P , β ⊆ τ s 。
引理3.3:绝对半素代数是半素代数。
证明:1) ∀ a ∈ τ s , p ⊲ a , p 2 = 0 。如果 p ≠ 0 ,则存在 0 ≠ x ∈ ϕ a ( p ) ,有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ,从而 0 ≠ 〈 x 〉 = 〈 x 2 〉 ≤ p 2 ,与 p 2 = 0 矛盾,所以 p = 0 ,即a是半素代数。证毕。
故绝对半素代数是半素代数,绝对素代数是素代数。但是,素代数不一定是绝对半素代数(从而半素代数不一定是绝对半素代数,素代数不一定是绝对素代数),并且绝对半素代数不一定是素代数。
例1:取 A 是结合环类 R ,则整数环Z是素代数(从而是半素代数),但Z不是绝对半素代数。
事实上,对 p ⊲ Z , p ≠ Z ,则 p = k Z , k > 1 , ∀ 0 ≠ x ∈ p ,有 x = k n , 〈 x 2 〉 = { k 2 n 2 m | m ∈ Z } , 〈 x 〉 = { k n m | m ∈ Z } ,从而 〈 x 2 〉 ≠ 〈 x 〉 ,即p中无非零幂零元,Z不是绝对半素代数。
例2:取 A 是结合环类 R , F 1 , F 2 是2个域, A = F 1 ⊕ F 2 ,则A是是绝对半素代数,但A不是素代数。
事实上,对 p ⊲ Z , p ≠ Z ,则 p = k Z , k > 1 , ∀ 0 ≠ x ∈ p ,有 x = k n , 〈 x 2 〉 = { k 2 n 2 m | m ∈ Z } , 〈 x 〉 = { k n m | m ∈ Z } ,从而 〈 x 2 〉 ≠ 〈 x 〉 ,即p中无非零幂零元,Z不是绝对半素代数。
引理3.4:1) τ s 是遗传类;
2) τ s 是本质扩张闭类;
3) τ s 是商闭类;
4) τ s 有归纳性质;
5) τ s 是扩张闭类。
证明:1) ∀ a ∈ τ s , 0 ≠ i ⊲ a ,设 0 ≠ j ⊲ i ⊲ a , j ¯ 是j在a中生成的理想,则 j ¯ 3 ≤ j 。如果 j ¯ 3 = 0 ,因为 0 ≠ j ¯ ⊲ a ,取 0 ≠ x ∈ ϕ a ( j ¯ ) ,a是绝对半素代数,故有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ≠ 0 ,从而 0 ≠ 〈 x 〉 = 〈 x 2 〉 = 〈 x 4 〉 ≤ j ¯ 4 ≤ j ¯ 3 ≤ j ,故 0 ≠ x ∈ ϕ a ( j ) 是j中幂等元,即i中非零理想都有非零幂等元,i是绝对半素代数,所以 i ∈ τ s , τ s 是遗传的。
2) 设 a ∈ A , b ⊲ ⋅ a , b ∈ τ s , 0 ≠ i ⊲ a ,则 0 ≠ b ∧ i ⊲ b ,故存在 0 ≠ x ∈ b ∧ i 是幂等元,从而x也是i中非零幂等元,从而a是绝对半素代数,即 τ s 将本质扩张闭。
3) ∀ a ∈ τ s , i ⊲ a , a / i ≠ 0 , 0 ≠ x ∈ S a / i 。对满射 γ i : S a → S a / i ,存在 0 ≠ y ∈ S a , x = γ i ( y ) 。由 a ∈ τ s ,则 〈 y 2 〉 = 〈 y 〉 ,所以 〈 x 2 〉 = 〈 ( γ i ( y ) ) 2 〉 = 〈 γ i ( y 2 ) 〉 = 〈 γ i ( y ) 〉 = 〈 x 〉 ,从而 a / i ∈ τ s ,即 τ s 是商闭类。
4) ∀ a ∈ A ,如果 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是a的 τ s 理想升链, ∀ 0 ≠ x ∈ ϕ a ( ∨ i u ) = ∪ ϕ a ( i u ) ,故存在μ,使得 0 ≠ x ∈ ϕ a ( i u ) ,由 i μ 是a的 τ s 理想,因此有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ,即 ∨ i μ ∈ τ s ,代数类 τ s 有归纳性质。
5) ∀ a ∈ A , i ⊲ a ,如果 i , a / i ∈ τ s 。 0 ≠ x ∈ S a , y = γ i ( x ) ∈ a / i 。如果 y = γ i ( x ) = 0 ,则 x ∈ S i ,由 i ∈ τ s ,故 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 。如果 y = γ i ( x ) ≠ 0 ,由 a / i ∈ τ s 有 〈 y 2 〉 = 〈 y 〉 ,即 〈 y 〉 = ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i = 〈 y 2 〉 = ( 〈 x 2 〉 ∨ i ) / i ,故而 〈 x 〉 ∨ i = 〈 x 2 〉 ∨ i ,因此 〈 x 〉 ≤ 〈 x 2 〉 ∨ i ,所以有 x 1 ∈ 〈 x 2 〉 , x 2 ∈ i ,使得 〈 x 〉 ≤ 〈 x 1 〉 ∨ 〈 x 2 〉 , 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ∨ 〈 x 1 〉 。由于 x 1 ∈ 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ,所以 〈 x 1 〉 ≤ 〈 x 〉 ,故 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ∨ 〈 x 〉 = 〈 x 〉 。又因为 i ∈ β , x 2 ∈ ϕ a ( i ) ,所以 〈 x 2 2 〉 = 〈 x 2 〉 ,故 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 2 = 〈 x 2 〉 2 = 〈 x 2 2 〉 = 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ,即 a ∈ τ s , τ s 扩张闭。证毕。
定理3.5: τ s 是弱特殊类。
证明:1) ∀ a ∈ τ s ,a是绝对半素代数,从而a是半素代数。
2) 由引理3.4有 τ s 是遗传的。
3) 由引理3.4有 τ s 本质扩张闭。
由引理2.8知 τ s 是弱特殊类。证毕。
由例2知 τ s 不是特殊类。
引理3.6:1) τ 是遗传类;
2) τ 是本质扩张闭类。
证明:1) ∀ a ∈ τ ,a是绝对素代数,从而a是素代数。
2) ∀ a ∈ τ , 0 ≠ i ⊲ a ,a是绝对素代数,从而a是绝对半素代数及素代数。由引理3.4知i是绝对半素代数,由素代数的遗传性知i是绝对半素代数,所以i是绝对素代数,即 i ∈ τ , τ 是遗传的。
3) 设 a ∈ A , b ⊲ ⋅ a , b ∈ τ ,b是绝对半素代数及素代数。由定理3.3知a是绝对半素代数,由素代数的本质扩张闭性知a是素代数,从而a是绝对素代数,即 a ∈ τ ,即 τ 本质扩张闭。证毕。
定理3.7: τ 是特殊类。
证明:1) ∀ a ∈ τ ,a是绝对素代数,从而a是素代数。
2) 由定理3.6知 τ 是遗传的。
3) 由定理3.6知 τ 本质扩张闭。
由引理2.9知 τ 是特殊类。证毕。
由 τ s , τ 确定的上根 U τ s , U τ 分别称绝对半素根及绝对素根,由定理3.5知绝对半素根 U τ s 是超幕零根,但不是特殊根;由定理3.7知绝对素根 U τ 是特殊根。
根据上根的性质有:
推论3.8: ∀ a ∈ A ,有:
1) U τ s ( a ) = ∧ { i ⊲ a | a / i ∈ τ s } = ∧ { i ⊲ a | i 是 绝 对 半 素 理 想 } ;
2) U τ ( a ) = ∧ { i ⊲ a | a / i ∈ τ } = ∧ { i ⊲ a | i 是 绝 对 素 理 想 } 。
由引理3.4有 τ s 是遗传类、商闭类、有归纳性质及是扩张闭类,从而由引理2.10得:
定理3.9: τ s 是遗传根。
P 是所有素代数类,Bear根 B = U P [
B ≤ U τ , U τ s ≤ U τ 。
本文研究点态化完备代数正规类中的绝对半素代数、绝对半素代数 τ s 、绝对素代数、绝对素代数类 τ ,证明了 τ s 是弱特殊类, τ 是特殊类,从而上根 U τ s 是超幂零根, U τ 是超幂零根, τ s 是遗传根。
国家自然科学基金(11261067)。
杨宗文,娄本功. 点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类与绝对素代数类The Absolutely Semiprime Algebras Class and the Absolutely Prime Algebras Class in Normal Classes of Complete Pointwise Algebras[J]. 理论数学, 2022, 12(11): 1934-1940. https://doi.org/10.12677/PM.2022.1211208