本文针对一类细菌降解宿主组织模型的行波解,为了研究行波解的局部稳定性,我们需要研究其渐近行为。我们将竞争系统转化为合作系统,讨论平衡点的类型和稳定性,并利用比较原理和渐近分析的方法,研究了它在不稳定点的渐近行为。 In this paper, we aim at the traveling-wave solution of a class of bacterial degradation host tissue models. In order to study the local stability of the traveling-wave solution, we need to study its asymptotic behavior. We transform a competitive system into a cooperative system, discuss the types and stability of equilibrium points, and study its asymptotic behavior at unstable points using the method of comparison principle and asymptotic analysis.
本文针对一类细菌降解宿主组织模型的行波解,为了研究行波解的局部稳定性,我们需要研究其渐近行为。我们将竞争系统转化为合作系统,讨论平衡点的类型和稳定性,并利用比较原理和渐近分析的方法,研究了它在不稳定点的渐近行为。
细菌降解宿主组织,行波解,渐近分析
Die Peng1,2, Yating Yi1
1School of Mathematics and Physics, University of South China, Hengyang Hunan
2School of Resource Environment and Safety Engineering, University of South China, Hengyang Hunan
Received: Oct. 17th, 2022; accepted: Nov. 16th, 2022; published: Nov. 24th, 2022
In this paper, we aim at the traveling-wave solution of a class of bacterial degradation host tissue models. In order to study the local stability of the traveling-wave solution, we need to study its asymptotic behavior. We transform a competitive system into a cooperative system, discuss the types and stability of equilibrium points, and study its asymptotic behavior at unstable points using the method of comparison principle and asymptotic analysis.
Keywords:Bacterial Degradation Host Tissue, Traveling-Wave Solution, Asymptotic Analysis
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
为了描述细胞外细菌病原体的过程,例如铜绿假单胞菌,能够通过外毒素和降解外酶的作用穿透宿主组织。King等人在文献 [
{ u t = u x x − u + v − γ u ( 1 − v ) , v t = u ( 1 − v ) . (1)
其中u表示细菌产生的降解酶的浓度, 1 − v 表示衡量健康组织的体积分数, γ 为正常数。人们一般认为细菌的种群密度与v成正比。
通过简单的计算,易得系统(1)有两个常数平衡点 e 0 = ( 0 , 0 ) 和 e 1 = ( 1 , 1 ) 。其中, e 0 是不稳定的, e 1 是稳定的。因此,系统(1)就是单稳态的单调系统。通过做以下变化
u ( x , t ) = U ¯ ( z ) , v ( x , t ) = V ¯ ( z ) , z = x − c t , (2)
然后可以得到
( U ¯ , V ¯ ) ( − ∞ ) = e 1 , ( U ¯ , V ¯ ) ( + ∞ ) = e 0 . (3)
结合方程(1),得到关于 ( U ¯ , V ¯ ) ( z ) 的系统:
{ U ¯ z z + c U ¯ z − U ¯ + V ¯ − γ U ¯ ( 1 − V ¯ ) = 0 , c V ¯ z + U ¯ ( 1 − V ¯ ) = 0. (4)
进一步,使用变换 ( u , v ) ( x , t ) = ( U , V ) ( z , t ) 可以把方程(1)转化为以下系统
{ U t = U z z + c U z − U + V − γ U ( 1 − V ) , V t = c V z + U ( 1 − V ) . (5)
本文的目的是研究方程(1)稳态解的局部渐近行为。渐近行为可以作为行波解动力学性质很重要的部分,可以用来证明行波解的稳定性等。本文将具体分析行波解在平衡点附近的动力学行为。
我们的安排如下,第一节主要讨论系统的研究背景,并将竞争系统转换为合作系统,讨论了平衡点的稳定类型。第二节研究了在不稳定点处的局部渐近行为,并给出了在无穷远处的等价行为。第三节给出了本文的结论。
在这个部分,我们将研究行波解 ( U ¯ , V ¯ ) ( z ) 在靠近平衡点(0, 0)的局部渐近行为。先讨论 z → ∞ 时,系统(4)的渐近行为。让
( U ¯ , V ¯ ) ( z ) ~ ( ζ 1 e − μ z , ζ 2 e − μ z ) , (6)
其中,参数 ζ 1 , ζ 2 , μ 都为正的常数。把式(6)代入(4),线性化系统,得到
A ( μ ) ( ζ 1 ζ 2 ) = ( 0 0 ) , (7)
其中,
A ( μ ) = ( μ 2 − c μ − ( 1 + γ ) 1 1 − c μ ) . (8)
这个方程(7)有非零的解,当且仅当 det ( A ) = 0 。因此,可以得到
μ 3 − c μ 2 − μ ( 1 + γ ) + 1 c = 0. (9)
假设 μ i ( i = 1 , 2 , 3 ) 是方程(9)的三个根,由韦达定理,根据根与系数的关系,得
μ 1 + μ 2 + μ 3 = c > 0 , μ 1 μ 2 μ 3 = − 1 c < 0 , (10)
假设 g ( μ ) = μ 3 − c μ 2 − μ ( 1 + γ ) + 1 c ,那么计算可得 g ( 0 ) = 1 c > 0 和 g ( − ∞ ) < 0 。因此,方程(9)存在一个负数根 μ 3 < 0 。那么其他的两个根 μ 1 、 μ 2 满足方程
μ 2 + ( μ 3 − c ) μ − 1 c μ 3 = 0. (11)
通过计算式(11),可以得到
μ 1 = ( c − μ 3 ) − ( c − μ 3 ) 2 + 4 c μ 3 2 , μ 2 = ( c − μ 3 ) + ( c − μ 3 ) 2 + 4 c μ 3 2 . (12)
由文献 [
{ c 0 μ 0 = − ( 1 + γ ) + ( 1 + γ ) 2 + 3 , 3 μ 0 2 = − ( 1 + γ ) + 2 ( 1 + γ ) 2 + 3 . (13)
当 c ≥ c 0 时, μ 1 , μ 2 才是实数。此时,我们有 μ 3 < 0 < μ 1 < μ 2 。当 z → ∞ 时,行波解 ( U ¯ , V ¯ ) ( z ) 的渐近行为可以表示为:
( U ¯ ( z ) V ¯ ( z ) ) ∼ C 1 ( ζ 1 ( μ 1 ) ζ 2 ( μ 1 ) ) e − μ 1 z + C 2 ( ζ 1 ( μ 2 ) ζ 2 ( μ 2 ) ) e − μ 2 z , (14)
其中,要么 C 1 > 0 ,或者 C 1 = 0 时, C 2 > 0 。特别的,特征值 μ i ( i = 1 , 2 ) 对应的特征向量可为
( ζ 1 ( μ i ) ζ 2 ( μ i ) ) = ( c μ i 1 ) . (15)
定理1. 对于任何的 c > c 0 ,波前解 U ¯ 有如下的渐近行为,当 z → ∞ ,有
U ¯ ( z ) ~ C 1 e − μ 1 z , C 1 > 0. (16)
证明:反证法,假设对于 c 1 > c 0 ,波前解 U ¯ 有如下的渐近行为,当 z → ∞ ,有
U ¯ ( z ) ~ C 2 e − μ 2 z , C 2 > 0. (17)
在这个假设条件下, ( U ¯ , V ¯ ) ( x − c 1 t ) 是如下偏微分方程系统的解:
{ u t = u x x − u + v − γ u ( 1 − v ) , v t = u ( 1 − v ) . (18)
它的初值条件是
u ( x , 0 ) = U ¯ ( x ) , v ( x , 0 ) = V ¯ ( x ) . (19)
对于 c ≥ c 0 ,我们知道系统(15)存在一个单调的行波解。特别地,选取 c ∈ ( c 0 , c 1 ) ,假设 ( U , V ) ( x − c t ) 是系统(15)具有初始条件的一个解,它的初始条件为
u ( x , 0 ) = U ( x ) , v ( x , 0 ) = V ( x ) . (20)
通过简单的计算这个解在系统(3)~(4)的 ± ∞ 处的渐近行为。我们总能得到(有必要的话,通过平移变换) U ¯ ( x ) ≤ U ( x ) ,通过比较原理,对于任意的 ( x , t ) ∈ ( ℝ , ℝ + ) ,我们可以得到
U ¯ ( x − c 1 t ) ≤ U ( x − c t ) , V ¯ ( x − c 1 t ) ≤ V ( x − c t ) . (21)
另一方面,让 ξ = x − c 1 t ,显然 U ¯ ( ξ ) > 0 ,当 z → ∞ ,有
U ( x − c t ) = U ( ξ + ( c 1 − c ) t ) ~ U ( + ∞ ) = 0 , (22)
而由(18)知, U ¯ ( ξ ) ≤ 0 。而这个结论与假设所得 U ¯ ( ξ ) > 0 矛盾,所以命题得证。
本文讨论行波解的渐近行为,是为了分析其局部稳定性和全局稳定性。本文的分析方法也可以适用于其他的竞争模型或者其余的反应扩散方程。
湖南省教育厅资助项目:17C1363。
彭 叠,易亚婷. 细菌降解宿主组织模型行波解的局部渐近行为Local Asymptotic Behavior of Traveling-Wave Solutions for Bacterial Degradation of Host Tissue Models[J]. 理论数学, 2022, 12(11): 1966-1970. https://doi.org/10.12677/PM.2022.1211212