相分离是环境条件发生变化导致原来混合流体分离出两相或多相的不稳定倾向和过程,是多相流研究的核心内容之一。本文采用自由能格子Boltzmann模型,将流体黏度与温度变化过程耦合,研究二元混合流体在温度变化条件下的相分离行为。 Phase separation is an unstable tendency and process of separating two or more phases from the original mixed fluids due to the change in environmental conditions. It is one of the core contents in the study of multiphase fluids. In this paper, the phase separation behavior of binary fluids under the change of temperature is studied by the free-energy lattice Boltzmann model coupling the fluid viscosity and temperature.
相分离是环境条件发生变化导致原来混合流体分离出两相或多相的不稳定倾向和过程,是多相流研究的核心内容之一。本文采用自由能格子Boltzmann模型,将流体黏度与温度变化过程耦合,研究二元混合流体在温度变化条件下的相分离行为。
相分离,格子Boltzmann方法,自由能模型
Yanggui Li1,2, Xiaochong Huang3, Dacheng Liang4*
1School of Mathematics and Statistics, Lingnan Normal University, Zhanjiang Guangdong
2Institute of Synthetic Biology, Shenzhen Institute of Advanced Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenzhen Guangdong
3Aizhou Senior High School of Zhanjiang, Zhanjiang Guangdong
4Department of Mathematics, Guangdong Preschool Normal College in Maoming, Maoming Guangdong
Received: Nov. 7th, 2022; accepted: Nov. 21st, 2022; published: Dec. 9th, 2022
Phase separation is an unstable tendency and process of separating two or more phases from the original mixed fluids due to the change in environmental conditions. It is one of the core contents in the study of multiphase fluids. In this paper, the phase separation behavior of binary fluids under the change of temperature is studied by the free-energy lattice Boltzmann model coupling the fluid viscosity and temperature.
Keywords:Phase Separation, Lattice Boltzmann Method, Free Energy Model
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
变温场相分离是二元流体许多理论和工业生产研究的重要课题 [
对于二元混合流体,以总密度 ρ 、浓度差 φ 表示的质量和动量守恒方程 [
∂ ρ ∂ t + ∇ ( ρ u → ) = 0 (1)
∂ ( ρ u → ) ∂ t + ∇ ( ρ u → u → ) = − ∇ P α β + η m i x ∇ 2 ( ρ u → ) + ∇ ( λ ( ρ ) ∇ ( ρ u → ) ) (2)
∂ ϕ ∂ t + ∇ ( φ u → ) = Γ θ ∇ 2 δ μ − θ ∇ ( φ ρ ∇ P α β ) (3)
∂ T ∂ t ˜ + ∇ ( T u → ) = ∇ ⋅ ( D m i x ∇ T ) + F (4)
式中, P α β 、 u → 、 η m i x 、 λ ( ρ ) 、 Γ θ 、 D m i x 和F分别是二元流体中混合物的压力张量、速度、混合运动粘度、体粘度、宏观迁移率、热扩散率和外力 [
η m i x = η A ⋅ ρ + φ 2 ρ + η B ⋅ ρ − φ 2 ρ (5)
D m i x = D A ⋅ ρ + φ 2 ρ + D B ⋅ ρ − φ 2 ρ (6)
其中, D A 、 D B 和 η A 、 η B 分别是组分A和B的热扩散系数和初始粘度。二元体系的温度依赖粘度 η [
η = η m i x 1 + β ( T − T ∞ ) (7)
其中 T ∞ 是初始温度。温度粘度系数 β 是恒定的,取决于流体的热性质,它表示与温度相关的粘度灵敏度。这里值得一提的是,当 β → 0 , η → η m i x (常数)。还需要注意的是, β 对于液体为正,对于气体为负。宏观方程式(2)修改为
∂ ( ρ u → ) ∂ t + ∇ ( ρ u → u → ) = − ∇ P α β + η m i x ∇ 2 ( ρ u → ) + ∇ ( λ ( ρ ) ∇ ( ρ u → ) ) − ∇ ( η m i x β ( T − T ∞ ) 1 + β ( T − T ∞ ) ∇ ( ρ u → ) ) (8)
这些方程描述了非均匀温度系统的动力学。
通过压力张量 P α β 和化学势差 δ μ [
ψ = ∫ ( ϕ ( T , ρ , φ ) + κ 2 ( ∇ ρ ) 2 + κ 2 ( ∇ φ ) 2 ) (9)
温度 T 下的体自由能密度为
ϕ ( T , ρ , φ ) = λ 4 ρ ( 1 − φ 2 ρ 2 ) − T ρ + T 2 ( ρ + φ ) ln ( ρ + φ 2 ) + T 2 ( ρ − φ ) ln ( ρ − φ 2 ) (10)
其中 λ 是二元液体的相互作用强度, κ 是界面宽度。当温度T降至 T c = λ 2 时,混合流体被分为两个相,密度差为 ± φ 。化学势差和压力张量 [
δ μ ( φ , ρ , T ) = − λ 2 φ ρ + T 2 ln ( ρ + φ ρ − φ ) − κ ∇ 2 φ − κ T ( ∇ φ ∇ 1 T ) (11)
和
P α β = p 0 δ α β + κ ( ∂ ρ ∂ x α ∂ ρ ∂ x β + ∂ φ ∂ x α ∂ φ ∂ x β ) (12)
其中
p 0 = ρ T − κ 2 ( ρ ∇ 2 ρ + φ ∇ 2 φ ) − κ 2 ( | ∇ ρ | 2 + | ∇ φ | 2 )
在最常见的Raylareigh-Benard对流形式中,粘性流体被限制在两个保持不同温度场的水平刚性边界之间。当流体具有位置热膨胀系数,且重力与温度梯度方向相同时,净浮力与重力方向相反 [
度 ρ 被假设为温度的线性函数,即 ρ ρ ∞ = 1 + D ( T − T ∞ ) 。这里, ρ ∞ 和 T ∞ 分别为参考点处的密度和温度,
D为恒定热膨胀系数。因此,重力为 F = ρ ∞ g + ρ ∞ g D ( T − T ∞ ) 。在将第一项吸收到压力中后,有效体积力与温度变化成线性比例。在我们的模拟中,当压缩可以忽略不计时(如在小马赫数限制下),速度场近似为扩散力,温度场满足被动标量方程(4)。
我们使用二维九速度(D2Q9)模型将Navier-Stokes方程(NS)与二维(2D) Boltzmann格子Bhatnagar- Gross-Krook模型(LBGK)对应 [
e → i = { ( 0 , 0 ) i = 0 c ( cos ( i − 1 ) π 2 , sin ( i − 1 ) π 2 ) i = 1 , ⋯ , 4 2 c ( cos ( 2 i − 1 ) π 4 , sin ( 2 i − 1 ) π 4 ) i = 5 , ⋯ , 8 (13)
其中 c = δ x δ t ,这里 δ x 为空间步长(格子边长), δ t 为时间步长。
图1. D2Q9速度模型示意图
通过LBM,我们使用双分布函数模型来描述二元流体中的相分离和温度场。分别通过两组分布函数 f i 和 g i ,在空间和时间上离散二元流体混合系统的密度场和相分离场的演化方程,每组份流体与速度矢量 e → i 相关:
f i ( x → + e → i δ t , t + δ t ) − f i ( x → , t ) = − 1 τ f ( f i ( x → , t ) − f i e q ( x → , t ) ) (14)
g i ( x → + e → i δ t , t + δ t ) − g i ( x → , t ) = − 1 τ g ( g i ( x → , t ) − g i e q ( x → , t ) ) (15)
其中 x → 为网格节点位置, τ f 和 τ g 是松弛时间, f i e q 和 g i e q 是平衡态分布函数。
通过如下的粒子分布函数,现有的热LBM可以模拟温度场的演变,
h i ( x → + e ˜ i δ t ˜ , t + δ t ˜ ) − h i ( x → , t ) = − 1 τ h ( h i ( x → , t ) − h i e q ( x → , t ) ) (16)
其中 τ h 是与热扩散系数 D A = D B = ( τ h − 0.5 ) c ˜ 2 δ t ˜ / 3 相关的无量纲松弛时间。 δ t ˜ 是分布函数 h i 的时间步长,且 c ˜ = δ x δ t ˜ ,
e ˜ i = { ( 0 , 0 ) i = 0 c ˜ ( cos ( i − 1 ) π 2 , sin ( i − 1 ) π 2 ) i = 1 , ⋯ , 4 2 c ˜ ( cos ( 2 i − 1 ) π 4 , sin ( 2 i − 1 ) π 4 ) i = 5 , ⋯ , 8 (17)
宏观流速 u → ,密度 ρ ,密度差 φ 和温度T关于平衡态分布函数 f i e q , g i e q 和 h i e q 的表达式如下:
ρ = ∑ i f i e q (18)
ρ u α = ∑ i f i e q e i α (19)
φ = ∑ i g i e q (20)
T = ∑ i h i (21)
平衡态密度分布函数的高阶矩定义如下:
∑ i f i e q e i α e i β = P α β + ρ u α u β (22)
∑ i g i e q e i α = φ u α (23)
∑ i g i e q e i α e i β = Γ δ μ δ α β + φ u α u β (24)
∑ i h i e q e i α = T u α (25)
这些矩必须满足宏观方程(1)~(3),以描述二元液体混合物的动力学。这里,自由能格子Boltzmann格式也适用于方程组(22)~(24)。通过Chapman Enskog展开,可以通过演化方程(14)~(15)恢复连续方程、NS方程和相场方程(1)、(3)和(8),从而得到
θ = c 2 δ t ( τ f − 1 2 )
η m i x = ( 2 τ f − 1 ) ( 1 + β ( T − T ∞ ) ) 6 c 2 δ t
λ ( ρ ) = ( τ f − 1 2 ) ( 2 c 2 3 − d p 0 d ρ ) δ t (26)
来自等式(14)和(15)的这一推导,受参考文献 [
在所有模拟中,在上边界和下边界施加了非滑移边界条件,正如针对二元剪切流体系统提出的那样。该算法可以使研究人员严格保持边界墙上的质量和动量。可用于模拟温度场的热边界条件 [
h i ( x → , t ) = h i ∗ ( x → , t ) + ω i G c (27)
其中 G c 是内能影响的修正值。Dirichlet热边界条件适用于温度T恒定的边界节点。对于迁移后的上边界,在上排的每个位置都知道函数 h 0 、 h 1 、 h 3 、 h 2 、 h 5 和 h 6 。然后使用方程(27)确定 h 4 、 h 7 和 h 8 ,要求上边界温度为 T c ,这也适用于下边界。修正后上边界分布函数为
G c = T c − ( h 0 + h 1 + h 3 + h 2 + h 5 + h 6 ) ω 4 + ω 7 + ω 8 (28)
h 4 = h 4 ∗ + ω 4 G c
h 7 = h 7 ∗ + ω 7 G c
h 8 = h 8 ∗ + ω 8 G c (29)
其中分布函数 h 4 ∗ , h 7 ∗ 和 h 8 ∗ 由上一步的计算值决定,即 h i ∗ ( x → , t ) = h i ( x → , t − δ t ˜ ) 。
我们演示耦合温度与粘度的自由能格子Boltzmann模型在 ρ = 1.0 , φ = 0 和 u → = 0 情况下的简单应用。图2给出了混合流体初始状态示意图。在模拟中, ρ 的值在系统的整个时间演化过程中保持不变。 φ 的初始值对应于两种流体完全混合的对称系统。为便于描述热扩散和对流之间的竞争,引入Prandtl数(Pr),
图2. 混合流体初始状态示意图
其定义为 Pr = η ∞ / D 。其它计算参数为 k = 6.67 × 10 − 3 , τ g = ( 1 + 1 / 3 ) / 2 , δ x = 1.0 , Γ θ = 0.2 。格子数为 256 × 256 ,初始温度为 T ∞ = 0.6 和边界温度 T C = 0.49 (对应于最大密度差 φ C ≈ ± 0.55 ),参数 β 与式(7)
相关,其取值范围为 [ 0 , 1 T ∞ − T C ] ,这里 β = 10 − 2 ,热扩散系数 D A = D B = 0.1 ,粘度 η A = η B = 0.1 ( Pr = 1 )。
图3给出了在温度变化条件下的相分离过程。从图3(a)可以看到,在上下低温边界附近首先出现相分离,这是因为在靠近低温边界地方通过传热使得温度首先降低,从而导致原来混合的流体发生分离。随着时间演化,内部温度高的地方不断向低温边界方向传热,相分离区域不断向内部推进(图3(b)~(e))。在这个过程中,由于温差引起的对流也对传热和相分离产生影响,加快传热和相分离的进程。此外,经过一段时间后,表面张力引起的速度场可以加速同相聚集的过程。经过较长的一段时间后,相分离渐渐
图3. 相分离的演化过程
趋于稳态,聚集和破碎两种机制将达到平衡(图3(f)~(h))。图3相分离的数值模拟结果与文献 [
本工作采用耦合温度和黏度的自由能格子Boltzmann模型研究了由温度变化引起的二元混合流体的相分离过程。在低温边界附近先发生相分离,随着传热的进行,相分离渐渐向内部高温区域发展,最后相分离趋于稳定。相分离经历亚稳相分解和相畴增长两个阶段。计算结果还表明,耦合温度和黏度的自由能格子Boltzmann模型能够有效模拟变温场诱导相分离过程。
国家自然科学基金(11804355, 31800083)。
李阳贵,黄笑冲,梁大成. 变温场诱导相分离的格子Boltzmann数值模拟 Lattice Boltzmann Numerical Simulation of Phase Separation Induced by Variable Temperature Field[J]. 流体动力学, 2022, 10(04): 56-65. https://doi.org/10.12677/IJFD.2022.104006