本文研究了具有比例时滞的Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性。首先通过适当的变换,将比例时滞的Cohen-Grossberg神经网络模型等价的转换为具有常时滞的Cohen-Grossberg神经网络模型。通过应用M-矩阵理论和不等式技巧建立了全局指数稳定性的充分条件。通过数值仿真来验证了所得结论的有效性。 This paper investigates global exponential stability of Cohen-Grossberg neural networks with proportional delays. Firstly, the Cohen-Grossberg neural networks model with proportional delay is equivalent to the Cohen-Grossberg neural networks model with constant delay through appropriate transformation. Sufficient conditions for global exponential stability are established by applying M-matrix theory and inequality techniques. The validity of the obtained conclusions is verified by numerical simulation.
本文研究了具有比例时滞的Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性。首先通过适当的变换,将比例时滞的Cohen-Grossberg神经网络模型等价的转换为具有常时滞的Cohen-Grossberg神经网络模型。通过应用M-矩阵理论和不等式技巧建立了全局指数稳定性的充分条件。通过数值仿真来验证了所得结论的有效性。
Cohen-Grossberg神经网络,全局指数稳定,比例时滞,M-矩阵理论
Gulijiayina Muheyati, Gulijiamali Maimaitiaili*
School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang
Received: Mar. 19th, 2023; accepted: Apr. 20th, 2023; published: Apr. 27th, 2023
This paper investigates global exponential stability of Cohen-Grossberg neural networks with proportional delays. Firstly, the Cohen-Grossberg neural networks model with proportional delay is equivalent to the Cohen-Grossberg neural networks model with constant delay through appropriate transformation. Sufficient conditions for global exponential stability are established by applying M-matrix theory and inequality techniques. The validity of the obtained conclusions is verified by numerical simulation.
Keywords:Cohen-Grossberg Neural Networks, Global Exponential Stability, Proportional Delays, M-Matrix Theory
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Cohen-Grossberg神经网络 [
在实际应用中,要求CGNNs满足一定的稳定性。然而,由于网络在中信号的传输和切换速度是有限的,在网络运行中时滞是不可避免的,时滞会影响或甚至会破坏神经网络的稳定性 [
目前神经网络中涉及的时滞大致分为常时滞 [
基于上述讨论,本文研究了具有比例时滞的CGNNs的全局指数稳定性。与大多数时滞CGGNs现有结果不同,这里提到的比例时滞是无界且时变的。利用M-矩阵理论和不等式技巧得到了CGNNs的全局指数稳定性的充分条件。该充分条件以M-矩阵的形式给出,这意味着该稳定性充分条件具有更低的计算复杂度。
本文结构安排如下。在第2节中,介绍了具有比例时滞CGGNs的模型以及必要的定义和引理。第3节中给出了具有比例时滞CGGN的全局指数稳定性的判据。在第四节中,给出了一些例子与仿真实验以说明本文结果的有效性。第5节中得出了结论。
考虑下面的具有比例时滞Cohen-Grossberg神经网络模型:
{ u ˙ i ( t ) = − a i ( u i ( t ) ) [ b i ( u i ( t ) ) − ∑ j = 1 n c i j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 n d i j g j ( u j ( q j t ) ) + I i ] , t ≥ 1 u i ( s ) = φ i ( s ) , s ∈ [ ρ , 1 ] , i = 1 , 2 , ⋯ , n (2.1)
其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n ,n是神经元个数; u i ( t ) 表示t时刻第i个神经元的状态; a i ( u i ( t ) ) 表示放大函数; b i ( u i ( t ) ) 表示行为函数; f j , g j 表示激活函数; c i j , d i j 表示连接权重, I i 表示外部输入; q j 为比例时滞因子,满足 0 < q j ≤ 1 , q j t = t − ( 1 − q j ) t 为时滞函数,当 t → + ∞ 时, ( 1 − q j ) t → + ∞ ,即无界时滞; φ i ( s ) ∈ C ( [ ρ , 1 ] , R ) 为模型初始状态函数, ρ = min 1 ≤ j ≤ n { q j } 。
做变换 x i ( t ) = u i ( e t ) [
{ x ˙ i ( t ) = − e t a i ( x i ( t ) ) [ b i ( x i ( t ) ) − ∑ j = 1 n c i j f j ( x j ( t ) ) − ∑ j = 1 n d i j g j ( x j ( t − τ j ) ) + I i ] x i ( s ) = ψ i ( s ) , s ∈ [ − p , 0 ] , i = 1 , 2 , ⋯ , n (2.2)
其中 t ≥ 0 , τ j = − log q j , p = max { τ j } 。
本文我们做以下假设:
假设1: a i ∈ C ( R , R + ) ,并存在常数 α i − , α i + ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 使得
α i − ≤ a i ( u ) ≤ α i + , ∀ u ∈ R
假设2:函数 b i ( ⋅ ) 连续且存常数 B i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 使得
b i ( u ) − b i ( v ) u − v ≥ B i , ∀ u , v ∈ R 且 u ≠ v
假设3:激活函数 f j ( ⋅ ) , g j ( ⋅ ) 连续且存在常数 F j , G j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) 使得
| f j ( u ) − f j ( v ) | ≤ F j | u − v | , ∀ u , v ∈ R 且 u ≠ v
| g j ( u ) − g j ( v ) | ≤ G j | u − v | , ∀ u , v ∈ R 且 u ≠ v
记
B = d i a g ( B 1 , B 2 , ⋯ , B n ) , F = d i a g ( F 1 , F 2 , ⋯ , F n ) , G = d i a g ( G 1 , G 2 , ⋯ , G n )
引理1 [
引理2 [
1) 矩阵A是非奇异M-矩阵。
2) 存在非零向量 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) T 使得 A ξ > 0 。
定义1 [
| x i ( t ) − x i * | ≤ K ‖ ψ − x * ‖ e − λ t , t ≥ 0 ,
其中
‖ ψ − x * ‖ = sup s ∈ [ − τ , 0 ] | ψ i ( s ) − x i * |
则模型(2.2)的平衡点 x * = ( x 1 * , x 2 * , ⋯ , x n * ) T 是全局指数稳定的。
定理1如果假设1~假设3成立,且 B − | C | F − | D | G 是非奇异M-矩阵,则模型(2.2)的平衡点是全局指数稳定性的。
证明:设 x * = ( x 1 * , x 2 * , ⋯ , x n * ) 为模型(2.2)的平衡点,令 y ( t ) = x ( t ) − x * 则模型(2.2)可以转换为:
{ y ˙ i ( t ) = − e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ b ¯ i ( y i ( t ) ) − ∑ j = 1 n c i j f ¯ j ( y j ( t ) ) − ∑ j = 1 n d i j g ¯ j ( y j ( t − τ j ) ) + I i ] y i ( s ) = ϕ i ( s ) , s ∈ [ − p , 0 ] , i = 1 , 2 , ⋯ , n (3.1)
其中
a ¯ i ( y i ) = a i ( y i − x i * ) − a i ( x i * ) , b ¯ i ( y i ) = b i ( y i − x i * ) − b i ( x i * )
f ¯ j ( y j ) = f j ( y j − x j * ) − f j ( x j * ) , g ¯ j ( y j ) = g j ( y j − x j * ) − g j ( x j * )
ϕ i ( s ) = ψ i ( s ) − x i * , i , j = 1 , 2 , ⋯ , n
因为 B − | C | F − | D | G 非奇异M矩阵,所以由引理2可知,存在非零向量 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) T , i = 1 , 2 , ⋯ , n 使得:
− B i ξ i + ∑ j = 1 N ξ j | c i j | F j + ∑ j = 1 N ξ j | d i j | G j < 0 (3.2)
构造辅助函数 H ( x ) = ( H 1 ( x ) , H 2 ( x ) , ⋯ , H n ( x ) )
H i ( x ) = − ( B i − x i ) ξ i + ∑ j = 1 N ξ j | c i j | F j + ∑ j = 1 N e x j τ ξ j | d i j | G j (3.3)
显然
H i ( 0 ) = − B i ξ i + ∑ j = 1 N ξ j | c i j | F j + ∑ j = 1 N ξ j | d i j | G j < 0 (3.4)
因为 H i ( x ) 是连续且可微,所以 H i ( x ) 是严格单调递增函数。从而我们可以推断出存在常数 σ > 0 ,使得
H i ( σ ) = − ( B i − σ i ) ξ i + ∑ j = 1 N ξ j | c i j | F j + ∑ j = 1 N e σ j τ ξ j | d i j | G j = 0 (3.5)
由此可以推断出,一定存在一个常数 σ − ∈ ( 0 , σ ) 使得:
H i ( σ − ) = − ( B i − σ i − ) ξ i + ∑ j = 1 N ξ j | c i j | F j + ∑ j = 1 N e σ j − τ ξ j | d i j | G j < 0 (3.6)
考虑以下形式的Lyapunov泛函:
V i ( t ) = e λ t | y i ( t ) | , i = 1 , 2 , ⋯ , n (3.7)
对 V i ( t ) 求右上导:
D + V i ( t ) = e λ t sgn ( y i ( t ) ) { − e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ b ¯ i ( y i ( t ) ) − ∑ j = 1 n c i j f ¯ j ( y j ( t ) ) − ∑ j = 1 n d i j g ¯ j ( y j ( t − τ j ) ) ] } + λ e λ t | y i ( t ) | ≤ − e λ t e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ | b ¯ i ( y i ( t ) ) | − | ∑ j = 1 n c i j f ¯ j ( y j ( t ) ) | − | ∑ j = 1 n d i j g ¯ j ( y j ( t − τ j ) ) | ] + λ e λ t | y i ( t ) |
≤ − e λ t e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ B i | ( y i ( t ) ) | − ∑ j = 1 n | c i j | F j | y i ( t ) | − ∑ j = 1 n | d i j | G j | y j ( t − τ j ) | ] + λ e λ t | y i ( t ) | ≤ − e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ B i e λ t | ( y i ( t ) ) | − ∑ j = 1 n | c i j | F j e λ t | y i ( t ) | − ∑ j = 1 n e λ τ j | d i j | G j e λ ( t − τ j ) | y j ( t − τ j ) | ] + λ e λ t | y i ( t ) |
≤ − e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ B i V i ( t ) − ∑ j = 1 n | c i j | F j V i ( t ) − ∑ j = 1 n e λ τ j | d i j | G j V i ( t − τ j ) ] + λ e t a ¯ i ( y i ( t ) ) V i ( t ) = e t a ¯ i ( y i ( t ) ) [ − ( B i − λ ) V i ( t ) + ∑ j = 1 n | c i j | F j V i ( t ) + ∑ j = 1 n e λ τ j | d i j | G j V i ( t − τ j ) ] , i = 1 , 2 , ⋯ , n , t ≥ 0 (3.8)
令 q = ‖ ψ − x * ‖ min 1 ≤ i ≤ n { ξ i } ,则
V i ( s ) = e λ s | y i ( s ) | ≤ | ϕ i ( s ) | = | ψ i ( s ) − x i * | ≤ ξ i q (3.9)
假设
V i ( t ) ≤ ξ i q , t ≥ 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n (3.10)
反正法,若(3.7)式不成立,则存在 t * ≥ 0 ,使得
V i ( t * ) ≤ ξ i q , D * ( V i ( t * ) ) ≥ 0 ,且当 t ∈ [ − ρ , t * ] 时, V i ( t ) ≤ ξ i q (3.11)
由式(3.4)和式(3.5)得:
D + V i ( t * ) ≤ e t * a ¯ i ( y i ( t * ) ) [ − ( B i − λ ) V i ( t * ) + ∑ j = 1 n | c i j | F j V i ( t * ) + ∑ j = 1 n e λ τ j | d i j | G j V i ( t * − τ j ) ] < 0 (3.12)
式(3.11)与(3.12)相矛盾。因此式(3.10)成立,则
| y i ( t ) | ≤ e − λ t ξ i q ≤ e − λ t ∑ i = 1 n ξ i min { ξ i } ‖ ψ − x * ‖ = K ‖ ψ − x * ‖ e − λ t
即
| x i ( t ) − x * | ≤ K ‖ ψ − x * ‖ e − λ t (3.13)
其中 K = ∑ i = 1 n ξ i min { ξ i } , t ≥ 0 。
综上,由定义1和引理1可知模型(2.1)的平衡点是全局指数稳定性的。
例1考虑如下具有比例时滞的CGNNs,其中n = 2:
{ u ˙ 1 ( t ) = − a 1 ( u 1 ( t ) ) [ b 1 ( u 1 ( t ) ) − ∑ j = 1 2 c 1 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 2 d 1 j g j ( u j ( 0.6 t ) ) ] u ˙ 2 ( t ) = − a 2 ( u 2 ( t ) ) [ b 2 ( u 2 ( t ) ) − ∑ j = 1 2 c 2 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 2 d 2 j g j ( u j ( 0.8 t ) ) ] (4.1)
其中:
a 1 ( u ) = 1 + 0.5 cos ( u ) , a 2 ( u ) = 2 + 0.5 cos ( u ) ; b 1 ( u ) = 5 u , b 2 ( u ) = 12 u
f i ( u ) = 0.5 ( | u + 1 | − | u − 1 | ) , g i ( u ) = tanh ( u ) , i = 1 , 2
C = ( c i j ) 2 × 2 = [ 1 − 2 2 1 ] , D = ( d i j ) 2 × 2 = [ 1 − 1 − 1 1 ]
显然
α 1 − = 0.5 , α 1 + = 1.5 , α 2 − = 1.5 , α 2 + = 2.5
B = d i a g ( 5 , 12 ) , F = G = d i a g ( 1 , 1 )
计算可得:
B − | C | F − | D | G = [ 3 − 3 − 3 10 ]
由引理2可知 B − | C | F − | D | G 是M-矩阵,再由定理1可知模型(2.1)的平衡点 ( 0 , 0 ) T 是全局指数稳定的。仿真结果如图1和图2所示。
图1. 系统(4.1)的响应图
图2. 系统(4.1)的相轨迹
例2考虑如下具有比例时滞的CGNNs,其中n = 2:
{ u ˙ 1 ( t ) = − a 1 ( u 1 ( t ) ) [ b 1 ( u 1 ( t ) ) − ∑ j = 1 2 c 1 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 2 d 1 j g j ( u j ( 0.5 t ) ) − 1 ] u ˙ 2 ( t ) = − a 2 ( u 2 ( t ) ) [ b 2 ( u 2 ( t ) ) − ∑ j = 1 2 c 2 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 2 d 2 j g j ( u j ( 0.5 t ) ) + 1 ] (4.2)
其中:
a 1 ( u ) = 1 + 0.5 cos ( u ) , a 2 ( u ) = 2 + 0.5 cos ( u ) ; b 1 ( u ) = 5 u , b 2 ( u ) = 12 u
f i ( u ) = 0.5 ( | u + 1 | − | u − 1 | ) , g i ( u ) = tanh ( u ) , i = 1 , 2
C = ( c i j ) 2 × 2 = [ 1 − 2 2 1 ] , D = ( d i j ) 2 × 2 = [ 1 − 1 − 1 1 ]
显然
α 1 − = 0.5 , α 1 + = 1.5 , α 2 − = 1.5 , α 2 + = 2.5
B = d i a g ( 5 , 12 ) , F = G = d i a g ( 1 , 1 )
计算可得:
B − | C | F − | D | G = [ 3 − 3 − 3 10 ]
由引理2可知 B − | C | F − | D | G 是M-矩阵,再由定理1可知模型(2.1)的平衡点 ( − 0.023 , 0.364 ) T 是全局指数稳定的。仿真结果如图3和图4所示。
图3. 系统(4.2)的响应图
图4. 系统(4.2)的相轨迹
例3考虑如下具有比例时滞的 CGNNs,其中n = 3:
{ u ˙ 1 ( t ) = − a 1 ( u 1 ( t ) ) [ b 1 ( u 1 ( t ) ) − ∑ j = 1 3 c 1 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 3 d 1 j g j ( u j ( 0.5 t ) ) ] u ˙ 2 ( t ) = − a 2 ( u 2 ( t ) ) [ b 2 ( u 2 ( t ) ) − ∑ j = 1 3 c 1 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 3 d 1 j g j ( u j ( 0.6 t ) ) ] u ˙ 3 ( t ) = − a 3 ( u 3 ( t ) ) [ b 3 ( u 3 ( t ) ) − ∑ j = 1 3 c 1 j f j ( u j ( t ) ) − ∑ j = 1 3 d 1 j g j ( u j ( 0.8 t ) ) ] (4.3)
其中:
a 1 ( u ) = 1 + 0.5 cos ( u ) , a 2 ( u ) = 1 + 0.5 cos ( u ) , a 3 ( u ) = 2 + 0.5 sin ( u )
b 1 ( u ) = 6 u , b 2 ( u ) = 8 u , b 3 ( u ) = 10 u
f i ( u ) = 0.5 ( | u + 1 | − | u − 1 | ) , g i ( u ) = tanh ( u ) , i = 1 , 2 , 3
C = ( c i j ) 3 × 3 = [ 1 − 2 2 2 − 1 − 1 − 1 3 2 ] , D = ( d i j ) 3 × 3 = [ 1 − 1 2 − 1 − 1 − 2 2 − 1 − 1 ]
显然
α 1 − = α 2 − = 0.5 , α 3 − = 1.5 ; α 1 + = α 2 + = 1.5 , α 3 + = 2.5
B = d i a g ( 5 , 8 , 10 ) , F = G = d i a g ( 1 , 1 , 1 )
计算可得:
B − | C | F − | D | G = [ 4 − 3 − 4 − 3 7 − 3 − 3 − 4 7 ]
由引理2可知 B − | C | F − | D | G 是M-矩阵,再由定理1可知模型(4.3)的平衡点 ( 0 , 0 ) T 是全局指数稳定的。仿真结果如图5和图6所示。
图5. 系统(4.3)的响应图
图6. 系统(4.3)的相轨迹
由于CGNNs在Web服务质量路由决策,控制理论,生物系统等领域广泛应用,因而研究CGNNs的稳定性,在实际问题中将具有一定的应用意义。本文中,我们利用M-矩阵理论和不等式技巧研究了具有比例时滞的Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性。最后通过数值实验来验证了所得结论的有效性。不难看出,实验证实了我们理论结果的有效性。
古力加依娜•木合亚提,姑丽加玛丽•麦麦提艾力. 具比例时滞的Cohen-Grossberg神经网络的稳定性研究Stability Analysis of Cohen-Grossberg Neural Networks with Proportional Delays[J]. 理论数学, 2023, 13(04): 996-1006. https://doi.org/10.12677/PM.2023.134105