2. 预备知识(G-期望空间)本文中作者将研究在G框架下的多维极值定理，对此，我们将沿用文献 [6] 中的关于G-期望空间的相关定义以及应用条件。
定义2.1设 Ω 是一给定集合， H 是定义在 Ω 上的实值函数所组成的一个线性空间，并且满足以下的条件：
a) 每一个实值的常数c都在 H 中；
b) 如果 X ( ⋅ ) ∈ H ，则 | X ( ⋅ ) | ∈ H 。
那么我们把 H 中的函数称为随机变量，而称二元组 ( Ω , H ) 为随机变量空间。
定义2.2定义在随机变量空间 H 上的满足以下性质的泛函 E ^ : H ↦ ℝ ：
(1) 单调性：若 X ≥ Y ，则有 E ^ [ X ] ≥ E ^ [ Y ] ；
(2) 保常数性：对任意 c ∈ ℝ 都有 E ^ [ c ] = c ；
称三元组 ( Ω , H , E ^ ) 为非线性期望空间。称 E ^ 为一个非线性期望。
若 E ^ 还满足：
(3) 次可加性： E ^ [ X + Y ] ≤ E ^ [ X ] + E ^ [ Y ] , ∀ X , Y ∈ H ，
(4) 正齐次性： E ^ [ λ X ] = λ E ^ [ X ] , λ ≥ 0 。
称 ( Ω , H , E ^ ) 为次线性期望空间， E ^ 为 ( Ω , H ) 上的次线性期望。
定义2.3 (G-正态分布)
我们称次线性期望空间 ( Ω , H , E ^ ) 中的n维随机向量 X = ( x 1 , ⋯ , x n ) 服从G-正态分布，如果对任意的 a , b > 0 ，有：
a X + b X ¯ = n a 2 + b 2 X
其中 X ¯ 是X的任意独立复制。
定义2.4 (G-分布)
我们称次线性期望空间 ( Ω , H , E ^ ) 中的n维随机向量 ( X , η ) 服从G-分布，如果其满足
( a X + b X ¯ , a 2 η + b 2 η ¯ ) = n ( a 2 + b 2 X , ( a 2 + b 2 ) η )
其中 ( X ¯ , η ¯ ) 是 ( X , η ) 的独立复制。
3. 多维G-方程值定理鉴于所考虑的方程在空间上存在无界区域，而在实际数值计算过程中无法处理无界区域，因此，本研究在求解前首先对方程执行了边界截断处理。对于经过边界截断处理的方程，我们考虑其形式为：
{ ∂ t U − 1 2 a ( x , t ) ∑ i = 1 n ( σ ¯ 2 ( ∂ x i x i 2 U ) + − σ _ 2 ( ∂ x i x i 2 U ) − ) − ∑ i = 1 n b i ( x , t ) ( μ ¯ ( ∂ x U ) + − μ _ ( ∂ x U ) − ) = f ( t , x 1 , ⋯ , x n ) , − ∂ x i U | x i = − l = ϕ i ( t ) , ∂ x i U | x i = l = ϕ i + 1 ( t ) , ⋯ U | t = 0 = ψ ( x 1 , ⋯ , x n ) . (1)
其中： ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ [ 0 , T ) × [ − l , l ] × ⋯ × [ − l , l ] ︸ n 个 ， x + = max { 0 , x } ， x − = − min { 0 , x } 。
上述方程可以进一步等效表达为两种等价的形式：
等价形式一：
{ ∂ t U − 1 2 a ( x , t ) ∑ i = 1 n σ 2 ( ∂ x i x i 2 U ) ∂ x i x i 2 U − ∑ i = 1 n b i ( x , t ) μ ( ∂ x i U ) ∂ x i U = f ( t , x 1 , ⋯ , x n ) , − ∂ x i U | x i = − l = ϕ i ( t ) , ∂ x i U | x i = l = ϕ i + 1 ( t ) , ⋯ U | t = 0 = ψ ( x 1 , ⋯ , x n ) . (2)
其中：
σ 2 ( x ) = { σ ¯ 2 , x ≥ 0 σ _ 2 , x < 0 , μ ( x ) = { μ ¯ , x ≥ 0 μ _ , x < 0
等价形式二：
{ ∂ t U − 1 2 a ( x , t ) ∑ i = 1 n sup σ ( σ 2 ∂ x i x i 2 U ) − ∑ i = 1 n b i ( x , t ) sup σ ( μ ∂ x i U ) = f ( t , x 1 , ⋯ , x n ) , − ∂ x i U | x i = − l = ϕ i ( t ) , ∂ x i U | x i = l = ϕ i + 1 ( t ) , ⋯ U | t = 0 = ψ ( x 1 , ⋯ , x n ) . (3)
定理4.1 (多维极值原理) 若U满足(1)，且系数 a ( x , t ) 为非负的，我们设置一个辅助函数 L ¯ σ , μ ( U ) ，令：
L ¯ σ , μ ( U ) = ∂ t U − 1 2 a ( x , t ) ∑ i = 1 n σ 2 ( ∂ x i x i 2 U ) ∂ x i x i 2 U − ∑ i = 1 n b i ( x , t ) μ ( ∂ x i U ) ∂ x i U
若 L ¯ σ , μ ( U ) ≤ 0 在 D = [ 0 , T ) × [ − l , l ] × ⋯ × [ − l , l ] ︸ n 个 成立且U光滑，若U非常数，则U在 ∂ D = { t = 0 或 x i = ± l } 上取得最大值。
证明：在证明中，我们引入了Hessian矩阵来处理多维情境的复杂性。Hessian矩阵的负定性是证明中的关键，因为它表明在潜在的最大值点，函数的曲率向下。
构造函数 V ( t , x 1 , ⋯ , x n ) = U ( t , x 1 , ⋯ , x n ) − ε t ，其中， ε > 0 ，则
L ¯ σ , μ ( V ) = L ¯ σ , μ ( U ) − ε < 0.
下证 V ( t , x 1 , ⋯ , x n ) 的最大值在 ∂ D 取到。反证法：假设 V ( t , x 1 , ⋯ , x n ) 的最大值在内点取到，不妨假设
最大值点为 ( t * , x 1 * , ⋯ , x n * ) ，设 ∂ x i x i 2 V = ∂ 2 V ∂ x i 2 ，则在这一点函数的Hessian矩阵
H = [ ∂ 2 V ∂ t 2 ∂ 2 V ∂ t ∂ x 1 ∂ 2 V ∂ t ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 V ∂ t ∂ x n ∂ 2 V ∂ x 1 ∂ t ∂ 2 V ∂ x 1 2 ∂ 2 V ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 V ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 V ∂ x 2 ∂ t ∂ 2 V ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 V ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 V ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 V ∂ x n ∂ t ∂ 2 V ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 V ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 V ∂ x n 2 ]
为负定矩阵 [17] ，故H的对角元 ∂ 2 V ∂ x i 2 < 0 ，即 ∂ x i x i 2 V < 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n 在点 ( t * , x 1 * , ⋯ , x n * ) 处成立，且有 ∂ V ∂ t ≥ 0 ， ∂ V ∂ x i = 0 则有：
L ¯ σ , μ ( U ) = ∂ t U − 1 2 a ( x , t ) ∑ i = 1 n σ 2 ( ∂ x i x i 2 U ) ∂ x i x i 2 U − ∑ i = 1 n b i ( x , t ) μ ( ∂ x i U ) ∂ x i U ≥ 0
上式与 L ¯ σ , μ ( V ) < 0 矛盾，由此可见V的最大值在 ∂ D 取到。
下证 U ( t , x , y ) 的最大值也在 ∂ D 取到：
max D ( U ) = max D ( V + ε t ) ≤ max D ( V ) + max D ( ε t ) = max ∂ D ( V ) + max D ( ε t ) = max ∂ D ( U − ε t ) + max D ( ε t ) ≤ max ∂ D ( U ) + max ∂ D ( − ε t ) + max D ( ε t ) ≤ max ∂ D ( U ) + ε T ,
又因为 ∂ D ⊆ D ，所以 max D ( U ) ≥ max ∂ D ( U ) 。于是，对任意的 ε > 0 成立：
max ∂ D ( U ) ≤ max D ( U ) ≤ max ∂ D ( U ) + ε T 。
因此可得， max ∂ D ( U ) = max D ( U ) ，即U在边界取到最大值。
